无界条件下折扣报酬控制问题的光滑解

假设假设1的所有条件都满足，那么u（y，t）=supδ∈戴伊，tZTteRsh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds是光滑的（C2,1（RN×[0，T））∩ C（RN×[0，T]）解ut+u+maxδ∈Di（y，δ）u+h（y，δ）u+f（y，δ）= 0，t∈ [0，T），y∈ RNu（y，T）=g（y）。10 D.所有T∈ [0，T]和y∈ RN，我们有| u（y，t）|≤ZT-tκ（s，n）ds+p（t- t、 n）|u（y，t）|≤L+L | L|ZT-tmax{1，eLs}κ（s，n）ds+max{1，eL（T-t） }p（t）- t、 n）.证据让我们定义以下函数序列：hk（y，δ）=h（y，δ）if | y |≤ k、 h+（y，δ）2.-|y | k- H-（y，δ），如果k≤ |y|≤ 2k，-H-（y，δ）if | y |≥ 2k，fk（y，δ）=f（y，δ）if | y |≤ k、 f（y，δ）2.-|y | k, 如果k≤ |y|≤ 2k，0如果| y |≥ 2k，gk（y）=g（y）if | y |≤ k、 g（y）2.-|y | k, 如果k≤ |y|≤ 2k，0如果| y |≥ 2k。注意，Limk→∞hk（y，δ）=h（y，δ），limk→∞fk（y，δ）=f（y，δ），limk→∞gk（y）=g（y），hk（y，δ）≤ h（y，δ），|fk（y，δ）|≤ |f（y，δ）|，|gk（y）|≤ |g（y）| | hk（y，δ，η）- hk（`y，δ）|≤ Lk | y- \'y |，| fk（y，δ）- fk（`y，δ）|≤ Lk | y- \'y |，| gk（y）- gk（\'y）|≤ Lk | y- 其中Lk:=2L（1+k）。此外，fk、GK和hkis从上方有界。因此，收集引理3.4和Friedman[12，定理2.1]我们得到，对于所有T>0，存在uk——柯西问题（3.5）的有界解+u+maxδ∈Di（y，δ）u+hk（y，δ）u+fk（y，δ）= 0，终端条件u（y，T）=gk（y）。命题3.3确保（3.5）的解具有代表性Uk（y，t）=supδ∈戴伊，tZTteRsthk（Yl，δl）dlfk（Ys，δs）ds,尽管如此∈ B（0，n）满足以下不等式：折扣报酬控制问题11 | uk（y，t）|≤ZT-tκ（s，n）ds+p（t- t、 n）|英国（y，t）|≤Lk+Lk | L|ZT-tmax{1，eLs}κ（s，n）ds+max{1，eL（T-t） }p（t）- t、 n）,为了获得其他导数及其Lipschitz常数的局部一致界，我们可以将Uk乘以具有紧支撑的类C的函数α，这样α≡ 1在集合B（0，n）×（t，t）上。

现在，我们可以组合来自Fleming和Rischel[9]的（E8）和（E9），以获得uk的第一个导数在B（0，n）×（t，t）上所需的均匀界。二阶导数的界我jukwe可以通过标准的Schauder估计得到。借助于Arzel-Ascolli引理应用标准论点，我们可以推断出uk的某些子序列存在∧u（y，t）极限。此外，收敛性在（y，t）和所有合适的导数中保持局部一致。多亏了这一点，我们立即得到了∈ C2,1（RN×[0，T））∩ C（RN×[0，T]），是~ut+~u+maxδ∈Di（y，δ）~u+h（y，δ）~u+f（y，δ）= 0，t∈ [0，T），y∈ rnu（y，T）=g（y）。由于条件2.7已经满足，我们可以应用命题3.1来获得u（y，t）=u（y，t）=supδ∈戴伊，tZTteRsth（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds+eRTth（Yl，δl）dlg（YT）.4.无限视界模拟一旦我们对有限视界问题有了理想的结果，我们就可以将时间视界传递给有限视界问题，并证明适用于有限视界问题的结果。定理4.1。假设假设1和假设2的所有条件都满足。那么v（y）=supδ∈戴伊，0Z+∞erh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds是（4.1）的光滑（C（RN））溶液v+maxδ∈Di（y，δ）v+h（y，δ）v+f（y，δ）= 0.证明。让我们来兜售解决方案吧+u+maxδ∈Di（y，δ）u+h（y，δ）u+f（y，δ）= 0,12 D.扎维萨在命题3.5中构建。这里需要注意的是v（y，t）=uT（y，t- t） =ut（y，0）是及物动词-五、- 最大δ∈Di（y，δ）v+h（y，δ）v+f（y，δ）= 0，t∈ （0，T]v（y，0）=0。尽管如此∈ B（0，n）| v（y，t）|≤ LZtκ（s，n）ds,|v（y，t）|≤L+L | L|Ztmax{1，eLs}κ（s，n）ds,现在，让我们考虑一下关于电视（y，t）。也就是说，t>0是固定的。

观察0<ξ<t | ut（y，0）- 美国犹他州-ξ（y，0）|≤ supδ∈DI（t，y，η，δ）- I（t）- ξ、 y，η，δ）,式中i（t，y，η，δ）：=Ey，0zterhs（Yk，δk）dk | f（Ys，δs）|ds.注意I（t，y，δ）- I（t）- ξ、 y，δ）= 哦，0Ztt-ξerh（Yk，δk）dk | f（Ys，δs）|ds≤Ztt-ξκ（s，n）ds≤ ξmax∈[t]-ξ、 t]κ（s，n），产生（4.2）电视（y，t）≤ κ（t，n）。将通过取极限v（y）=limt来构造解决方案→∞v（y，t）（满足该极限存在假设2）。正如前面定理的证明一样，我们可以将Fleming和Rishel[9]中的E8和E9结合起来，以获得所有导数的合适界。根据Arzel-Ascolli引理，对于每个B（0，n），都存在一个序列（tn，n=1，2，…）使得v（y，tn）收敛到某个两次连续可微函数，而且，通过适当的导数，该收敛在局部保持一致。此外，从（4.2）可以得出limn→∞电视（y，tn）=0。这表明v是（4.1）的解决方案。这里应该注意的是，在有限视界的情况下，我们只证明了价值函数是偏微分方程的光滑解，但我们仍然不确定（4.1）中的最大值是否决定了问题的最优控制。我们建议使用以下结果来代替标准推理，这可以应用于许多经典问题公式。折扣报酬控制问题13命题4.2。假设limn→∞Tn=+∞ 和（δn，n）∈ N） 是一系列渐进可测量的过程，如limn→∞δnt=δta。s、 还有limn→∞Yδnt→ Yδta。s、 在定理4.1的条件下，我们得到了limn→∞Ey，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dk | f（Yns，δns）| ds=Ey，0Z+∞erh（Yδk，δk）dk | f（Ys，δs）|ds。证据固定ε>0。

注意，存在n∈ N以至于对于任何N≥ nsupδ∈戴伊，0Z+∞tNers（Yk，δnk）dk | f（Ys，δs）| ds<ε并且存在n′，使得对于任何n≥ n′Y，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dkf（Yδns，δns）ds- Ey，0ZTneRsh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds<ε.修理≥ max{n，n′}并考虑Y，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dkf（Yδns，δns）ds- 哦，0Z+∞erh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds≤Y，0ZTneRsh（Yδnk，δnk）dkf（Yδnk，δns）ds- Ey，0ZTneRsh（Yk，δk）dkf（Ys，δs）ds+ Y，0ZTnTneRsh（Yδnk，δnk）dk | f（Yδns，δns）| ds+Ey，0Z+∞tnerhs（Yk，δk）dk | f（Ys，δs）| ds<ε。上述结果表明，在许多问题中，我们可以找到一系列有限时间范围公式的最优反馈控制δn（y，t），并证明它们收敛于有限时间范围反馈控制δ（y，t）。为了完成这个推理，我们还应该检查一下limn→∞Yδnt=Yδt。使用以下结果将是有用的。提案4.3。Le t bk（y，t），k∈ N是连续函数族，存在常数K>0和序列Kn>0，N∈ N（独立于k）使得| bk（y，t）- bk（\'y，t）|≤ Kn | y- \'y |，y，\'y∈ B（0，n），t∈ [0，T]，|bk（y，T）|≤ K（1+| y |），y∈ RN，t∈ [0，T]。再进一步设想一下，那只脚→∞bk（y，t）=b（y，t），其中b（y，t）是连续函数，Yk，k∈ N是溶液的顺序，todYkt=bk（Ykt，t）dt+dWt。然后limk→∞Ykt=Yta。s、 对于所有t>0，其中Y是todYt=b（Yt，t）dt+dWt的解。14 D.扎维萨证明。首先假设所有n的Kn=K′∈ N.然后，|Ykt-Yt|≤Zt | bk（Yks，s）-b（Ys，s）|ds≤Zt | bk（Yks，s）-bk（Ys，s）| ds+Zt | bk（Ys，s）-b（Ys，s）|ds≤ K′Zt | Yks- Ys | ds+Zt | bk（Ys，s）- b（Ys，s）|ds。利用Gronwall不等式和limk→∞Rt | bk（Ys，s）- b（Ys，s）| ds=0对于allt>0，我们得到limk→∞Ykt=Yta。s、 对于任何t>0的情况。

现在让我们考虑一下一般问题，并定义sequencebnk（y，t）=bk（y，t）if | y |≤ n、 bk（y，t）2.-|y | n, 如果n≤ |y|≤ 2n，0如果| y |≥ 2n。修理∈ N并考虑差异Dyk，nt=bnk（Yk，nt，t）dt+dWt的顺序。我们已经证明了limk→∞Yk，nt=Ynt。因为bnk（y，t）=bk（y，t）代表所有y∈ B（0，n），然后由弗里德曼[11，第5章，定理2.1]P（sup0≤T≤τn，k | Yk，nt- Ykt |=0）=1，P（sup0≤T≤τn|Ynt- Yt |=0）=1对于所有k，n∈ N、 式中，τk是过程ykb（0，N）的第一个出口。使用（2.5）我们知道| Yk，nt |≤LT+| y |+最大值∈[0，T]| Wt|埃克莱特的定义OhmN={ω∈ Ohm|LT+| y |+最大值∈[0，T]| Wt|eKT≤ N} 。重要的是要注意这一点+∞N=1OhmN=Ohm.如果我们∈ N取任意ω∈ Ohmn|Yk，nt（ω）|≤ N代表所有k，N∈ 但是我们知道这一点≤T≤T | YNt（ω）- Yt（ω）|=0和sup0≤T≤T | Yk，Nt（ω）- 几乎所有ω的Ykt（ω）|=0∈ OhmN.将这种推理应用于每一个N∈ N我们得到P（对于所有t∈ [0，T]limk→∞Ykt=Yt=1。备注4.4。迄今为止给出的所有结果都可以推广到形式为Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs方程的极大极小问题+u+maxδ∈Dminη∈Γ[i（y，δ）+l（δ，η）]u+h（y，δ，η）u+f（y，δ，η）= 0，t∈ [0，T），y∈ RN，折扣报酬控制问题及其有限期模拟。在这种情况下，可以导出Kalton-Elliott形式的随机表示：u（y，t）=supδ∈Dinfη∈NEl（δ，η（δ））y，tZTteRsth（Yk，δk，η（δk））dkf（Ys，δs，η（δs））ds+erth（Yk，δk，η（δk））dkg（YT）,式中，Y是dYt=i（Yt，δt，η（δt））dt+dWt的解，D是以D为值的所有渐进可测过程的类，N是所有函数的族：η：D×[0+∞)×Ohm →Γ的性质是∈ D过程（η（δt）：=η（δt，t，·）|0≤ t<+∞) 我是可测量的。

表达式El（δ，η（δ））y，用来表示在测量Ql（δ，η（δ））下的期望值，其中dql（δ，η（δ））dP=expZTl（δs，η（δs））dWs-ZT | l（δs，η（δs））|ds.有关更多详细信息，请参见Zawisza[25，引理4.1]。一旦我们建立了这样的表述，我们就可以重复本文中包含的所有结果和证明。对于其他可处理的极小极大问题和可能的随机表示，我们推荐Fleming和Hernandez[6]的工作。最优消费-投资问题5。1.消费投资问题。假设投资者可以投资两种原始证券：银行账户（Bt，0≤ t<+∞) 和a股（St，0≤ t<+∞). 我们还假设价格受其他可观察随机因素（Yt，0）的影响≤ t<+∞).该因素可能代表不确定性的另一个来源，例如：随机波动性、随机利率或其他经济条件。我们的经济由以下随机微分方程组给出dBt=r（Yt）Btdt，dSt=[r（Yt）+b（Yt）]Stdt+σ（Yt）StdWt，dYt=i（Yt）dt+（ρdWt+p1- ρdWt），其中与Wand-Ware无关的Wiener过程，ρ是相关系数。投资者财富过程的动力学（Xπ，ct，0≤ t<+∞) 由随机微分方程（5.1）给出（dXt=（r（Yt）Xt+πtb（Yt）Xt）dt+πtσ（Yt）XtdWt）- ctXtdt，Xs=x，其中x表示投资者当前的财富，π我们可以解释为资本投资，而c是消费率。我们假设π和c是渐进可测的，并且只允许在区间内取值[-R、 R]和[0，m]分别。投资者的目标是最大化jπ，c（x，y，t）=Ex，y，tE-wT（XπT）γγ+ZTte-ws（csXs）γds,或者它的有限视界类似物kπ，c（x，y）=Ex，yZ+∞E-ws（csXs）γds,其中w>0是一个折扣系数。上述模型是modelspropose的一些扩展，例如，在：Chang et。

al[4]，Korn and Kraft[15]，Trybu la[23]，然而，对于我们在这里限制的那些工作，当π，c是约束过程时，是不合适的。不受约束的问题将在其他地方处理。注意，在π和c过程的一些温和条件下，方程（5.1）存在唯一的强解，由xt=xeRts[r（Yk）+b（Yk）πk给出-σ（Yk）πk-ck]dk+RTtσ（Yk）πkdWk。上述过程是在起始条件Xs=x下确定的。因此，函数jπ，c（x，y，t）和Kπ，c（x，y）可以用以下方式转换：jπ，c（x，y，t）=xγγEQπTy，0“eRTt（γ[r（Ys）+b（Ys）πs-(1-γ） σ（Ys）πs-[政务司司长]-w） ds+ZTteRst（γ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1-γ） σ（Yk）πk-[ck]-w） dkcγsds#，Kπ，c（x，y）=limT→+∞等式πTy，0ZTeRs（γ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1-γ） σ（Yk）πk-[ck]-w） dkcγSdsweedqπTdP=e-RTσ（Yk）πkdk+RTσ（Yk）πkdwk和πk=0表示所有k≤ t（适用于有限地平线案例）。这表明termxγγ可以省略，只需要考虑只依赖于（y，t）的函数。Girsanow定理给了我们考虑形式为（5.2）ut+uy+i（y）uy+maxπ的HJB的动机∈[-R、 R]ρπσ（y）uy+γb（y）π-(γ - γ） πσ（y）U+ 马克斯∈[0，m](-γcu+cγ）+[γr（y）- w] u=0，终端条件u（y，T）=1。考虑到假设1和假设2，我们假设如下。折扣报酬控制问题假设3。存在L>0，L<0，对于i，ζ=b，σ，r，i和所有y，\'y∈ RN，我们有|ζ（y）- ζ（\'y）|≤ L|y- “y”|，（y）- “y”[i（y）- i（\'y）]≤ L|y- “y”。提议5.1。假设假设3的所有条件都满足，则存在C2,1（RN×[0，T））∩ （5.2）的C（RN×[0，T]）解。此外，（5.2）中的任何Borel可测最大化子都是Jπ，c（x，y，t）的最优反馈策略。证据定理（3.5）证明了（5.2）的光滑解的存在性。让u代表这个定理中构造的解。

为了证明（5.2）中的极大化子是一个最优反馈策略，有必要观察到对于任何策略πEQπTy，tsup0≤s≤TeRsth（Yk，δk）dk|u（Ys，s）|+∞我们可以应用标准的修正论证（例如，参见Zawisza[26，附录，定理6.1]的推理）。假设4。存在一个确定性函数κ（t，n），t>0，n∈ N、 对于任何逐步可测量的控制（π）取值[-R、 我们有eqπty，0eRt（h（Yk，πk））dk≤ κ（t，n），y∈ B（0，n），Z+∞κ（t，n）dt<+∞,其中h（y，π）=γ[r（y）+b（y）π-(1 - γ） σ（y）π]- w、 现在是考虑有限水平HJB:（5.3）uy y+i（y）uy+maxπ的时候了∈[-R、 R]ρπσ（y）uy+γb（y）π-(γ - γ） πσ（y）U+ 马克斯∈[0，m](-γcu+cγ）+[γr（y）- w] u=0。提议5.2。假设假设3和假设4的所有条件都满足，则（5.3）存在C（RN）解。此外，对于Kπ，c（x，y），任何Borel可测极大值（5.3）都是最优反馈策略。证据定理4.1构造了（5.3）的光滑经典解。为了证明方程中的最大值决定最优策略，有必要证明命题4.2的类比。下面的引理显示了如何确定贴现系数w，以确保满足假设4的所有条件。18 D.ZAWISZALemma 5.3。假设存在α，β，P，Q≥ 0，α6=0 thati（y）≤ -αy+β，γr（y）- W≤ -P+Qy，δ∈ D、 η∈ Γ，y∈ 对于所有连续过程π，我们有ztγ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1 - γ） σ（Yk）πk]- Wdk≤γQβα- γPt+γQy+α+Ztψ（Ys，s，t）ds+γQZtα1.- eα（s）-（t）dWπs，其中ψ（y，s，t）=maxπ∈[-R、 R]γQρα（1）- eα（s）-t） ）+γb（y）πσ（y）dk-(γ - γ） σ（y）π- WWπ：=ρW1，π+p1- ρW，W1，πt=Wt-Rtπsσ（Ys）ds。证据

注意，在量度Qπt下，过程Y具有以下动力学dynamicDyt=[i（Yt）+ρπtσ（Yt）]dt+dWπt。重复命题2.4证明中的步骤，我们得到ztys≤y+α+βαt+ρZte-αsZseαkπkσ（Yk）dkds+Ztα1.- eα（s）-（t）dWπs。通过部件的集成，usZte-αsZseαkρπkσ（Yk）dkds=ραZt（1）- eα（k）-t） πkσ（Yk）dk。因此zt（γr（Yk）- w） dk≤ -pt+Qy+α+QραZt（1-eα（k）-t） πkσ（Yk）dk+Qβαt+QZtα1.- eα（s）-（t）dWπ砂，因此ztγ[r（Yk）+b（Yk）πk-(1 - γ） σ（Yk）πk]- wdk≤γQβα- γPt+γQy+α+ZtγQρα（1）- eα（k）-t） ）+γb（Yk）πkσ（Yk）dk-Zt(γ - γ） σ（Yk）πk- Wdk+γQZtα1.- eα（s）-（t）dWπs。上述结果可以很容易地推广到多资产和多因素模型。关于泛化的可能方向，请参见Berdjane和Pergamenschikov[2]，Noh和Kim[18]。此外，备注4.4指出了稳健投资组合优化问题的可能扩展（见Schied[22]、Flor and Larsen[10]或Gagliardini等人[13]）。折扣报酬控制问题19参考文献[1]Y.Aktar，E.Ta flin，关于具有幂终端成本函数和随机波动性的随机控制问题的光滑解的评论，数学。财务部。经济。，8（2014），第489-509页。[2] B.Berdjane，S.Pergamenschikov，《随机系数市场的最佳消费和投资》，金融史托赫。，17（2013），第419-446页[3]N.Castaneda Leyva，D.Herndadez Herndadez，最优消费-不完全市场中随机系数的投资问题，暹罗J.控制优化。，44（2005），第1322-1344页。[4] 张浩，荣X，赵浩，何利利率模型下的最优投资和消费决策，数学12（2013），第1065-1075页。[5] W.H.Fleming，D.Hernandez-Hernandez，一个具有随机波动性的最优消费模型，金融Stoch。，7（2003），第245-262页。[6] W.H.Fleming，D.Hernandez Hernandez，关于stoc hastic微分游戏的价值，Common。斯托克。肛门。，5（2011），pp。

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