Heston和Black Scholes的GMWB定价和套期保值

结果见表17。在这个测试中，我们用偏微分方程方法得到了很好的结果：尽管问题的维数很高，但HPDE的值非常规则。APDE的结果良好，但比HPDE稍差，尤其是在BS HWDE情况下（参见示例情况（T，wf）=（20，2））。Monte Carlo方法支持少数情况，有时置信区间非常大。在（T，wf）=（20，2）的情况下，我们在BS-HW模型中也得到了一些收敛问题。5.2.4动态GMWB-CF的最佳退出策略图在图5.1和图5.2中，我们计算了BS-HW模型和Heston模型的GMWB-CF产品的最佳退出策略（T，wF）=（10，1）。

我们使用HPDE方法获得这些图：我们在时间t=1的初始值周围选择树的三个节点，并使用最佳取款来获得这些图。我们注意到，这些图与[9]中提出的图非常相似：我们注意到平分线周围的结构相同，并且经常撤离的区域也很大。英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语1.62±1.23282.32282.63312.123.58±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 160.38162162162.5142.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 160 160.162162162162162162162162.51162162162162162162.515142.5142.5142.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0±7.7.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 18 18 18±18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18.6 6 6 6 6 6 6 6 6 6.6 6 6 6 6 6 6 6.18 18 18 18.18.18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18.6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 SMC HPDE APDEA 29 s 31 s31 s 30 sB 121 s 124 s 121 s 123 sC 484 s 484 s 489 s 474 sD 1881 s 1927 s 1899 s 1901稳定14：测试4。在第一个表中，Black-Scholes-Hull-White车型的公平费用为每半年或每年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，在运行时间表的相同情况下，绘制了四种方法的相对误差（w.r.t.BM值）图。

表3和表5列出了本试验所用的参数。英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语±0.77 246.64 246.68 253.06±1.56 251.79±1.58 256.70 256.31A 125.77±4.03 123.42±4.05 133.70 133.92133.72132.71±12.0 119.84±11.1 137.85 146.61137.00B 126.16±2.47 126.92±2.51 133.89 133.91 118.80±4.59 122.60±4.57 138.12 139 C 129.47±1.76 130.41±1.73 133.98 133.96±0.86125.17±3.07.124.11±2.97±2.133.89 133.91 118.80±4.59 122.60±4.78±1.79±1.13.79±1.73±1.73±1.13.73±1.98±1.13.13.73±1.13.13.73±1.13.96±1.13.73±1.96±1.29±1.13.13.13.1337.46±7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.3582.48±6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8±3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 HPDE APDEA 32 s 32 s 29 s30 sB 123 s 124 s 122 s 118 sC 483 s 475 s 474 s 495 sD 1903 s 1882 s 1923 s 1947稳定15：测试5。在第一个表中，Heston模型的公平费用为每半年或每半年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，在运行时间表的相同情况下，四种方法的相对误差（w.r.t.BM值）图。

表3和表7给出了该试验所用的参数。TW F=1 W F=25 350 35010 200 200 20 150 150表16：动态BS HW情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 4986±311 4790±310 4474 44654753±537 4117±429 4191 4187B 4455±171 4443±179 4477 4469 4220±182 4362±222 4196 4191C 4385±130 4420±122 4478 4473±624057±196 3987±170 4198 4195±68D 4319±103 4432±170 4478 4476 4158±170 4198 4198A 476 542±25433 4684270 4325B 4577±320 4367±307 4636 4616 4628±460 3846±362 4296 4316C 4665±259 4548±240 4639 4631±1123898±310 4122±303 4304 4300±123D 4517±178 4537±175 4639 4635 4492±329 4201±276 4306 430 4A 4053±302 4223±112 4129 41494152±150 4037±144 3639 4062B 4370±105 4253±108 4153 4118 4095±4039 3924C 337±337 417 4164150±1434078±72 4049±60 3766 3803±211D 3980±268 3857±242 4157 4145 3434±294 3659±332 3780 3798表17：试验6。动态BS HW情况下的增量计算。

所有结果必须乘以10-4.本试验所用参数见表3、16和表7。TW F=1 W F=25 300 30010 150 20 100 100表18：动态Heston情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 5732±40 5727±26 5629 56315878±97 5803±62 5571 5577B 5715±28 5699±27 5628 5630 5678±88 5603±78 5570 5572C 5614±49 5668±66 5628 5629±265674±122 5635±78 5570 5570±25D 5607±44 5653±55 5628 5628 5628 5695±103 5618±63 5569 5570A 6082±59 592 592 563±55 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 567 568±133 5886±125 6006 6007 6225±263 6058±142 5936 5942C 5909±117 6062±136 6005 6006±585779±151 6026±116 5936 5939±55D 6008±113 6059±97 6004 6005 5980±121 5840±114 5936 5937A 5604±480 5658±383 5636 56444162±987 5886±831 5540 5122B 5428±405 5855±433 5635 5642 5056±362 5543±437 557 5340 53C 5410 297 5571±56565221±369 5542 5543±174D 5734±213 5571±199 5635 5638 5379±226 5416±198 5543 5550表19：试验6。动态Heston情况下的增量计算。所有结果必须乘以10-4.本试验所用参数见表3、18和表7。图5.1：根据r的不同值，BS HW模型在t=1时的最佳取款曲线图：从顶部到底部r=0.03、r=0.05和r=0.07。用于获得这些图的参数与T=10、W DF=1情况下的增量计算相同：见表3、5和16。图5.2：根据波动率v的不同值，赫斯顿模型在t=1时的最佳提款曲线图：从顶部到底部v=0、v=0.04和v=0.16。

获得这些图所用的参数与T=10、W DF=1情况下的增量计算相同：见表3、7和18。合同时间（T，T）（0,25）或（10,25）GMW Gmax[P，WT]T-两次提款频率为1年M1.0初始账户价值A100。S100。0初始溢价100.0 r 0.0325退出惩罚κ0.10σ0.30PH的行为静态或放弃死亡率表20：Yang和Dai在[17]中使用的参数。（T，T）静态放弃PDE MC YD PDE MC YD（0，25）102.02 101.95±0.21 102 158.28 157.33±0.41 158（10，25）254.01 253.99±0.16 170 305.35 305.26±0.50 248表21：α-金-布莱克-斯科尔斯模型的公平bp值，对于参数与[9]中相同的GMWB-YD，5.3 GMWB YD的静态退出和最优放弃在静态退出的情况下，我们假设PH完全以保证的速率退出，而在非最佳退出的情况下，PH可以在每个事件时间停止合同。测试7和测试8的灵感来自[17]：在他们的文章中，Yang和Dai price在Black-Scholes模型下建立了一个GMWB合同，包括不稳定和动态（最优放弃）框架。首先，我们用Black和Scholes模型对不同到期日和提款率的产品进行定价，以获得该模型中的参考价格，并将我们的结果与作者的结果进行比较。对于Black-Scholes模型，我们使用了标准的蒙特卡罗方法和标准的偏微分方程方法。然后，我们加入随机波动率和随机利率。模型参数见表20，我们得到的αG值见表21。我们处理了四个数字案例：延迟或不延迟，静态行为或投降。我们注意到，在（t，t）=（10，25）的情况下，使用不同的方法（一种简单的蒙特卡罗方法，以及BlackScholes模型的偏微分方程方法），我们没有获得Yang和Dai的相同结果。我们可能误解了一些关于延期案件的合同规定。

我们使用相似性降低（见第2.5节）和不使用相似性降低对这些产品进行定价，获得了相同的结果。我们要指出的是，杨和戴没有在他们的产品中使用这种技术。5.3.1测试7：Black-Scholes-Hull-White模型中的GMWB-YD在论文[17]的结论中，杨和戴建议自己评估他们的合同，包括随机利率。这就是我们在论文中所做的，在测试7中，我们给出了一些关于GMWB-YD定价的数值结果。合同规格见表20，模型参数见表22，公允价值见表23。所有四种数值方法在静态情况下表现良好，但偏微分方程方法优于其他方法。在投降的案例中，情况有所不同：Longsta ff-Schwartz方法显示了它的局限性：在BSHW模型中，基础价值和账户价值在25年内可能会发生如此大的变化，而对如此广泛的一组价值的回归是有限的。PDE方法被证明是可靠和稳定的，尤其是在（T，T）=（0，25）的情况下，其中需要25个回归。5.3.2测试8：赫斯顿模型中的GMWB-YD在BS和BS HW模型中为GMWB-CF产品定价后，我们在赫斯顿模型中进行了定价。合同规格见表20，模型参数见表24，公允价值见表25。与之前的测试一样，所有四种数值方法在静态情况下表现良好；HPDE和ApdeOut执行了其他功能，并在该框架中被证明是等效的。在这个测试中，投降情况下的MC方法的数值结果是好的：可能在Hestoncase中最小二乘回归更容易。

此外，（T，T）=（10，25）情况下的结果非常好：在这种情况下，Longsta-Schwartz算法只需要15次数值回归，我们可以模拟比另一种情况更多的情况。Sr曲线kωρσ100 0.0325 f lat 1.0 0.2-0.5 0.30表22：试验7的模型参数。（T，T）T（T，T）n（0，25）A（0，25）A（0）A）8.11±3.11±3.55（81）81.30±3.81±3.81.30±3.81±3.80（80）81.30±2.80（80）8（80）80.80±2.80（80）80（80.80）80（80）80.80）80（80.80）80.80（80）80.80（80）80.80.80 80.80）80 80 80（80.80.80.80.80.80.80 80.80 80 80 80.80.80 80 80.80.80 80.80 80.80 80 80.80.80.80 80 80（80.80.80.80.80 80.80.80 80 80.80.80 80 80.80.80.80.80.80 80 80 80.80.80.80.80 80 80 80 80 80.80.80 80 80 80 80 80 80 80 72.89.60±1.1090.22±10.22±1.11（9.22±10.22±1.11±1.11±1.11（9.22±10.25）A（10，25）A（10，25）A（213.21±10.21±10.58±2.21±2.21±2.10 10 10（10）10（10）10（10）10（10）10）10（10）21.58±10.58±2.28（210）210.210.210.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.210.210.210.4110 10 10 10 10 10.210.210.210.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.210.210.210.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.10 10.41414110.210.210.210.210.10 10 10.4141414110.10 10 10 10 10 10 10.210.210.210.210.210.10 10 10 10 10 10 10.4141419.61±1.29 239.75±1.27 242.97 243.04表23：试验7。BS HW模型的公平费用为50个基点，具有静态撤回或放弃期权。

表20和表22给出了本试验所用的参数。Svθkωρr100 0.300.301.0 0.2-0.5 0.0325表24：关于试验8的模型参数。静态交出mC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BM（T，T）=（0,25）A 104.19±3.43 104.49±3.64 101.17 101.10100.71142.75±4.67 140.41±4.60 145.58 145.86143.71B 101.04±2.36 102.43±2.62 101.07 101.07 139.92±2.97 138.92±2.82.145.80 C 101.49±1.30 102.19±1.42 101.08±0.52141.55±1.45±0.78±0.45±0.45±0.45101.07 101.07 101.07 101.07 101.01 101.08 101.101.101.01.01.01 101.01 101.01.01.01.101.01.01.01.01.01 101.01 101.101.01 101.01.01 101.01 101.01 101.01 101.01.01.04±1.01.01±1.05±1.04±2.11±24244.244.247（10，25）A）246.246.6.6.57±0 0 0 0 246.246.57±2.247±2.2480 0 0 0 0 0 0 0 247.246.246.247±2.246.246.247±2.247±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 247.247.244.244.247.247.247±2.246.247±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 245.42±0.60 245.18±0.65244.81 244.80 286.54±1.01 286.41±1.01 286.57 286.60表25：试验8。Heston模型的公平费用为50个基点，具有静态退出或放弃选项。表20和表24.6中提供了用于该测试的参数。结论在本文中，我们开发了四种数值方法，在不同条件下为两种版本的GMWB合同定价。关于随机模型，考虑了随机利率和随机波动效应。关于投保人的行为，考虑了静态和动态策略。由于GMWB可变年金是一种长期产品，随机利率和随机波动的影响不容忽视。特别是，随机利率的影响似乎更为相关。这四种方法在定价和增量计算方面都给出了兼容的结果。

公平套期保值费用（即维持复制投资组合的成本）是使用一系列参数确定的。PDE方法被证明不是非常昂贵，而MC方法被证明更昂贵。由于其收敛速度和结果的稳定性，混合偏微分方程似乎比其他偏微分方程表现得更好。ADI PDE也表现得很好，但实现起来比混合PDE要难一些；此外，ADI PDE的良好参数的选择也是一个麻烦的来源。在HWBS模型的情况下，由于精确的模拟，标准MC优于混合方法，而在赫斯顿模型的情况下，MC方法被证明大致相当，即使混合MC更容易实现。正如我们之前所说，PDE方法被证明比MC方法更有效，尤其是在动态情况下，实现最佳退出选择要简单得多。在GMWB的情况下，相似性约简将问题的维数降低到2，因此PDE方法表现良好。在GMWB-CF案例中，相似性降低无法应用，因此定价是一项艰巨的任务，尤其是在六个月提款和20年到期的情况下。