动态自适应混合模型

至于DAMM，我们考虑了多元高斯（GDCC–mG）和学生-t GDCC（GDCC–mT），以及GDCC高斯copula（GDCC–copG）和学生-t copula（GDCC–copT）规范（Jondeau和Rockger，2006）。Bollerslev（1987）的单变量GARCH–T模型给出了GDCC–copG和GDCC–copT规范的边际规范。所有模型均采用极大似然估计。copula模型是利用Patton（2006）中详述的两步边际推断函数（IFM）估计器进行估计的。GDCC–mG模型是利用Engle（2002）中详述的两步估计器进行估计的，而GDCC–mT则是最大化全似然估计的。对于所有考虑的模型，通过最大化其时不变版本的可能性来选择起始值，例如，对于DAMM（J）–uT，我们估计J Student–t分布的静态混合。为了节省空间，估算系数被省略，并在论文附带的补充材料中报告。R和C++计算机代码可从作者处获得。5.1.1. 单变量规格在这里，我们评估所考虑的单变量规格在每个时间点代表单变量收益序列的条件分布方面的充分性。我们将AMM–uT和GARCH–T模型与我们分别命名为ELDAMM–uG和GARCH–G的模拟高斯版本进行比较，这两个模型将作为copula模型的边缘规范用于其余分析。为了研究DAMM的动态特性，我们还将DAMM–uT和DAMM–uG的约束版本包括在我们的单变量分析中。具体来说，我们考虑了具有时不变混合成分（ω）的模型、具有时变混合成分和时不变混合成分（θ）的模型以及静态混合模型（st）。

综上所述，我们的一组单变量模型由Mu={DAMM–uG，DAMM–uG–θ，DAMM uG–ω，DAMM uG–st，DAMM–uT–θ，DAMM–uT–ω，DAMM–uT–st，GARCH–G，GARCH–T}给出。比较结果是根据优度给出的，考虑到两个惩罚似然标准AIC和BIC，以及模型规格在表示序列动态特征方面的充分性。表B.5报告了两个信息标准AIC和BIC，以及在所有考虑的单变量规范的最佳状态下评估的对数可能性。我们注意到，DAMM–uT规范报告了最高的对数可能性，并且根据AAPL和GE的AIC，GARCH–T模型是首选的，根据BIC，GE除外，其中BIC倾向于DAMM–uT-ω规范。我们还注意到，根据AIC和BIC，在几乎所有情况下，静态混合模型（st）以及约束模型（‘ω，’θ）与它们的无约束对应模型相比都是次优的。关于每个模型分布假设的充分性，我们采用了与Diebold等人（1998）相同的测试程序，另见Jondeau和Rockinger（2006）以及Bernardi和Catania（2015）。如果根据估计的条件分布，凹坑均匀分布在区间（0,1），则该程序将重新测试。测试的“iid”部分包括一个拉格朗日乘数（LM）测试，用于确定根据估计坑的k次方估计的20阶自回归系数。该测试标记为DGT- k=1,2,3,4时的AR（k），并根据χ（20）分布，在5%置信水平下的临界值约为31.4。该测试有助于调查估计凹坑的第k阶矩的相关性，见Diebold等人（1998年）。

表B.6显示了考虑混合物成分和混合物成分的时间变化的有用性。事实上，我们注意到，DAMM–uT规范始终能够充分模拟所考虑系列的第二和第四个条件时刻所具有的系列依赖性。不同的是，GARCH–G和GARCH–T规范无法完全解释AAPL和WFC的条件方差。值得注意的是，与GARCH案例不同的是，在GAUSAS和Student-t假设下，LM测试被拒的情况下，回报的条件分布，DAMM-uG和DAMM-uT的结果是不同的。事实上，DAMM–uT规范的LM测试建议接受所有考虑序列的第二和第四条件矩的正确规范为空。不同的是，DAMM–uG规格的LM测试与WFC和GE系列的完整测试相对应。这一明显违反直觉的结果与移动条件方差的分数更新机制直接相关。事实上，如第2节和Creal等人（2013）所述，分数更新机制使用来自完全条件分布的信息，而不仅仅是GARCH案例中预期值中包含的信息。这意味着，如果条件分布假设是合适的，那么序列的动态特性也更有可能得到适当的解释。为了总结拟合优度分析，表B.6的第五行名为DGT- H、 报告了坑无条件分布的统一假设测试。我们再次采用Diebold等人（1998年）和Jondeau and Rockinger（2006年）中详述的相同测试程序。

电信总局- H teststatistic根据χ（19）分布近似渐近分布，在5%的置信水平下，临界值约为30.14。我们注意到，高斯分布在描述财务回报的条件分布方面表现不佳，而Student–t显然更合适。我们还发现，如果考虑到所考虑序列的动态特征，高斯分布和Student-t分布的混合通常适用于财务回报。具体而言，我们发现动态混合成分的模型比静态混合成分的模型表现得更好，因为可以注意到比较，例如DAMM–uG和DAMM–uG–ω规范。图A.2报告了每个单变量序列上估计的DAMM–uT所暗示的估计条件标准偏差和估计条件混合成分。混合物成分由在时间t的每个点分配给混合物第二组分的权重表示。条件标准偏差是指条件混合物分布所暗示的那些。我们还比较了DAMM–uT模型和GARCH–T模型所给出的条件标准差。对于每个边际模型，第二个混合成分报告了与更新j–th Student–tscale参数（ψ）的条件分数相关的更高系数。未报告估算系数以节省空间，可在本文随附的补充材料中找到。这些发现意味着，第二个分量比例参数对来自市场的新信息的反应更大。观察混合物组成的时间演化，我们注意到几个有趣的结果。

例如，我们发现，对于所考虑的所有系列，在样本的第一部分，混合物的成分发生了偏离第二组分的趋势。混合物的组成在2004年初左右开始变化，这与2000-2002年互联网泡沫所暗示的动荡时期的结束相吻合。我们注意到，对于AAPL和XOM，混合物成分发生了急剧变化，而对于WFC和GET，变化更为平稳。关于样品的第二部分，所考虑的系列之间的混合物成分更不均匀。然而，对于所考虑的所有系列，GFC的开始意味着混合物成分的突然变化有利于第二组分。5.1.2. 与单变量分析类似，我们将多变量DAMM与GDCC模型进行比较。根据AIC和BIC的拟合优度，报告了多变量模型之间的样本内比较。我们考虑的八种规格是Mm={DAMM–mG，DAMM–mT，DAMM–copG，DAMM–copT，GDCC–mG，GDCC–mT，GDCC–copG，GDCC–copT}，其中DAMM–copG和DAMM–copT共享相同的单变量规格，即DAMM–uT，而对于GDCC copula模型，单变量规格假定为GARCH–T。表B。7报告了我们考虑的八个多变量规格的AIC和BIC。与单变量分析类似，我们发现DAMM报告了更高的对数似然值，并且总是根据AIC与GDCC对应项进行比较。根据BIC得出的排名，我们发现DAMM–gCop优于GDCC–gCop，DAMM–mG优于GDCC–mG。

在进行全球比较时，我们发现DAMM–tCop报告的对数可能性最高，根据AIC，它是首选的，而根据BIC，GDCC tCop是首选的。图A.3报告了DAMM–copT和GDCC–copT隐含的条件相关性。条件相关性是根据100\'000个模拟图进行经验评估的，这些模拟图来自DAMM–tCop和GDCC–copT规范（如Incollete等人（2009年））所暗示的联合条件分布。与条件标准差类似，我们发现两个模型隐含的条件相关性非常相似。AAPL–WFC、XOM–WFC和AAPL–XOM对样本的第一部分存在显著差异，而XOM–GE对样本的2000–2002年和2007–2008年的动荡期刚刚到来。总体而言，我们发现，在我们的样本期内，所考虑的资产之间的相关性有所增加，与美国经济经历的危机期同时出现了显著的上升趋势。5.2. 样本外分析为了验证DAMMs准确预测所考虑的收益组合的提前一步条件分布的能力，我们报告了基于评分规则的样本外分析。为此，从2010年2月2日到样本结束的最后一次H=1500观测被视为验证样本，并用于比较所考虑的模型。我们估计了样本分析中详细说明的单变量和多变量规格，然后对整个验证期内的回报条件分布进行滚动一步预测。使用固定窗口，每40次观察（2个月）更新一次模型参数。比较结果以单变量和多变量规格给出。

具体而言，对于每种型号M∈ （Mu，Mm），我们报告预测日志分数的总和，即LSm=HXs=1log pmyF+s |θmF+s, （59）式中，F是样本期内的时间长度和pmyT+s |θmT+s模型m在F+s时的提前一步预测分布是否取决于F+s时的信息- 1.为了进一步证实我们的发现，我们还将Hansen等人（2011）的模型置信集（MCS）程序应用于负对数分数系列。表B.8报告了单变量规范的对数分数。我们注意到，对于AAPL和GE，报告最高对数分数的模型是DAMM–uT，对于XOM，最好的模型是DAMM uG，对于WFC，约束条件是DAMM–uT–ω。关于MCS程序提供的SSM，我们发现，仅对于AAPL而言，MCS程序是一种迭代模型选择算法，可提供“高级模型集”（SSM），在一定的置信水平下，不会拒绝同等预测能力（EPA）的无效假设。在我们的例子中，模型m在每个时间点F+s的“预测能力”是通过\'mF+s=log pm来衡量的yF+s |θmF+s, “损失”向量，用于在每次迭代中测试EPA的空值，由m=(-`mF+s，s=1，H） ，详见Hansenet al.（2011）。DAMM uT规范属于集合，对于XOM，它由{DAMM uG，DAMM uT，GARCH-T}给出，对于WFC，由{DAMM–uT，DAMM–uT-\'ω，GARCH-T}给出，对于GE，由{DAMM–uT，DAMM–uTθ，DAMM–uT-\'ω}给出。表B.9报告了与第5.1.2小节详述的多变量规范相关的LS。此外，在这种情况下，我们发现DAMM规范在所考虑的回报面板提前一步联合条件分布的预测准确性方面优于GDCC规范。

事实上，DAMM–tCop规范报告的对数分数约为-9222，而与最佳GDCC规范相关的LS仅为-9289.971。此外，根据MCS测试，多元规范的SSM由{DAMM–gCop，DAMM–Mt，DAMM–tCop}给出，不包括任何GDCC规范。为了总结我们的分析，我们报告了DAMM tCop规范及其两个受限版本之间的样本外比较。通过这种方式，我们希望从收益联合条件分布的预测准确性、动态相关性和动态混合成分等方面研究收益。为此，我们介绍了DAMM–tCop–ω和DAMM–tCop–ρ规范，其中ρ和ω标签的含义与第4.2节相同。值得注意的是，所有三种规格都能够在Yt的第二个条件时刻再现时间变化，但灵活性不同。此外，由于我们正在对收益面板的条件copula分布进行建模，混合权重只影响收益序列的依赖结构，而不影响均值和方差。事实上，三种模型的序列边际条件分布是相同的，不影响这部分分析。DAMM–tCop–ω和DAMM–tCop–ρ规格的预测日志分数分别为-9281.876和-9243.246。回顾DAMM–tCop规范的预测日志分数之和为-9222.006，我们发现DAMM–tCop相对于DAMM–tCop–ω和DAMM–tCop–ρ规范的日志分数分别提高了约60分和21分。为了进一步研究所考虑的模型之间的差异，在图A.4中，我们报告了三个DAMM copula规范所暗示的一步预测相关性。

我们注意到，DAMM–tCop–ω（红线）预测的相关性与DAMM–tCop（黑线）和DAMM–tCop–ρ（蓝线）规范预测的相关性存在显著差异。有趣的是，我们发现，在DAMM–tCop和DAMM–tCop–ρ规范中，XOM–GE对的条件相关性非常相似。在2012/01年至2001/12年期间，AAPL–XOM对和在样本最后部分期间，WFC–GE对也是如此。DAMM–tCop–ρ规范预测的XOM–WFC对的相关性与DAMM–tCop规范暗示的相关性相似，但显示出更低的可变性。在其他情况下，DAMM–tCop和DAMM–tCop–ρ规格之间的两种条件相关性存在显著差异。这些结果表明，在完全多变量的框架中，混合物成分以及混合物成分相关矩阵中存在时间变量的好处更大，其中更多的异质性会影响回报的依赖结构。事实上，在我们对四种收益进行的分析中，我们发现，在大多数情况下，考虑到时变混合成分和混合成分相关矩阵，在收益的隐含条件相关性方面会产生不同的预测。在双变量环境中，就隐含的条件相关动力学的灵活性而言，具有时变混合物成分和时变混合物成分相关矩阵的好处可能要低得多。然而，预测条件分布的其他特征，例如市场动荡期间数据的尾部依赖性，仍然可以从更丰富的模型参数化中受益。6.

结论本文介绍了一类新的动态混合模型，称为动态自适应混合模型（DAMMs）。DAMM是一种灵活的工具，用于动态更新其组成及其成分的分布混合物。更新机制基于条件混合分布的核心，利用了Harvey（2013）和Creal等人（2013）分数驱动模型的最新进展。DAMM首先使用适当的映射函数根据辅助动态参数重新参数化，然后使用每个时间点重新参数化条件混合的分数更新辅助参数的过程。最后，通过将辅助参数映射到适当的参数空间，找到感兴趣的参数。DAMM属于观察驱动模型（Cox等人，1981年），通常具有封闭形式的可能性。因此，可以很容易地通过最大似然法估计DAMM，例如，见Blaskes等人（2015）。蒙特卡罗实验表明，新提出的规范能够充分估计前两个条件动量以及由高度非线性随机动态混合模型产生的动态混合成分，以及假设条件相关性和条件随机变量混合成分的几个过程。在本文的最后一部分，我们报告了金融计量经济学中的一个经验应用，其中使用一组金融收益估计了多个单变量和多变量DAMM规格。我们发现，无论是在样本内的fit优度方面，还是在边际分布和联合条件分布的样本外可预测性方面，DAMM通常比USGARCH/DCC方案更受欢迎。