风险受限的凯利赌博

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英文标题：
《Risk-Constrained Kelly Gambling》
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作者：
Enzo Busseti, Ernest K. Ryu, Stephen Boyd
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We consider the classic Kelly gambling problem with general distribution of outcomes, and an additional risk constraint that limits the probability of a drawdown of wealth to a given undesirable level. We develop a bound on the drawdown probability; using this bound instead of the original risk constraint yields a convex optimization problem that guarantees the drawdown risk constraint holds. Numerical experiments show that our bound on drawdown probability is reasonably close to the actual drawdown risk, as computed by Monte Carlo simulation. Our method is parametrized by a single parameter that has a natural interpretation as a risk-aversion parameter, allowing us to systematically trade off asymptotic growth rate and drawdown risk. Simulations show that this method yields bets that out perform fractional-Kelly bets for the same drawdown risk level or growth rate. Finally, we show that a natural quadratic approximation of our convex problem is closely connected to the classical mean-variance Markowitz portfolio selection problem.
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中文摘要：
我们考虑了具有一般结果分布的经典凯利赌博问题，以及一个额外的风险约束，该约束将财富减少的概率限制在给定的不良水平。我们给出了下降概率的一个界；使用这个界限而不是原始的风险约束会产生一个凸优化问题，该问题保证了提取风险约束成立。数值实验表明，根据蒙特卡罗模拟计算，我们的水位下降概率界限与实际水位下降风险相当接近。我们的方法由一个单独的参数进行参数化，该参数具有风险规避参数的自然解释，允许我们系统地权衡渐进增长率和下降风险。仿真结果表明，在相同的提款风险水平或增长率下，该方法产生的赌注超过了分数凯利赌注。最后，我们证明了凸问题的一个自然二次逼近与经典的均值-方差Markowitz投资组合问题密切相关。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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关键词：Optimization Quantitative Stephen boyd distribution Probability

风险约束的Kelly GamblingEnzo Busseti Ernest K.Ryu Stephen BoydMarch，2016年第22期摘要我们考虑了具有一般结果分布的经典Kelly赌博问题，以及一个额外的风险约束，该约束将财富减少的概率限制在给定的不良水平。我们给出了下降概率的一个界；使用这个界限而不是原始的风险约束会产生一个凸优化问题，该问题保证了提取风险约束成立。数值实验表明，根据蒙特卡罗模拟计算，我们的水位下降概率界限与实际水位下降风险相当接近。我们的方法由一个单一参数进行参数化，该参数具有风险规避参数的自然解释，允许我们系统地权衡渐进增长率和下降风险。仿真结果表明，在相同的提款风险水平或增长率下，该方法产生的赌注超过了分数凯利赌注。最后，我们证明了凸问题的自然二次逼近与经典均值方差马科维茨投资组合选择问题密切相关。1简介1956年，John Kelly提出了一种系统化的方法，将总财富分配到多个赌注中，以便在赌博重复时最大化长期增长率[Kel56，MTZ11]。类似的结果后来在金融文献中以增长最佳投资组合的名义得出；参见，例如[Mer90，第6章]）。众所周知，在凯利最优押注中，财富有可能在增加之前从其原始价值大幅下降，即减少。可以使用几种特殊方法来限制这种提款风险，但代价是增长率下降。最著名的方法是分数凯利下注，其中只有一小部分凯利最优下注[DL12]。

财务文献[Bro00]也提出了同样的方法。另一种特别方法是马科维茨的均值方差投资组合优化[Mar52]，它权衡两个与长期增长率和提款风险相关但不相同的目标。在本文中，我们直接讨论提款风险，并展示如何找到交易提款风险和增长率的赌注。我们引入了风险约束的Kelly赌博问题，在这个问题中，长期财富增长率是最大的，而附加的约束将提款的概率限制在特定的水平。这个理想化的问题抓住了我们想要的，但似乎很难解决。然后我们引入了一个凸优化问题，它是这个问题的一个限制条件；也就是说，它的可行集小于风险约束问题的可行集。使用现代凸优化方法，这个问题是可处理的。我们的方法有两种用途。首先，它可以用来找到一组保守的赌注，保证满足给定的提款风险约束。或者，它的单个参数可以解释为一个风险规避参数，控制增长率和提取风险之间的权衡，类似于Markowitz均值-方差组合优化[Mar52]，它权衡平均收益和（方差）风险。事实上，我们证明了凸问题的自然二次逼近可以与马尔科维茨均值-方差投资组合优化密切相关。在§2中，我们回顾了凯利赌博问题，并描述了使用凸优化计算最优下注的方法。在简单的情况下，例如当有两个可能的EOUTCOME时，Kelly最优下注是众所周知的。在其他情况下，例如当返回值来自有限分布时，这些方法似乎并不广为人知。在§3中，我们定义了提款风险，在§4中，我们推导了提款风险的界限。

在§5中，我们使用这个约束来形成风险约束的Kelly赌博问题，这是一个易于处理的凸优化问题。在§6中，我们推导了风险约束凯利赌博问题的二次近似，并将其与经典的马科维茨投资组合优化相关联。最后，在§7中，我们给出了一些数值例子来说明这些方法。2 Kelly gambling在Kelly gambling中，我们将总财富的固定部分（假设为正）放在n个赌注上。我们把分数表示为b∈ Rn，所以b≥ 0和1Tb=1，其中1是包含所有分量1的向量。n个赌注有一个随机的非负支付或回报，表示为r∈ Rn+，因此下注后的财富会按（随机）系数rTb变化。我们将假设所有的赌注都没有预期的最终回报，即Eri<∞ 对于i=1，n、 我们还将假设下注n有一定的回报率，即rn=1，几乎可以肯定。这意味着BN代表了我们财富中不下注或不作为现金持有的那一部分。betvector b=响应于根本不下注。我们指的是赌注1，N-1.riskybets。我们提到了凯利赌博集团的一些特殊情况两个结果。n=2，r只有两个值：（P，1），概率为π，和（0，1），概率为1-π. 第一个结果对应于赢得赌注（π是获胜的概率），P>1是赔付相互排斥的结果。有n个-1相互排斥的结果，返回向量：r=（Pkek，1）概率πk>0，对于k=1，N- 1，其中Pk>1是结果k的支付，ek是单位向量，第k个条目1和所有其他条目0。在这里，我们打赌结果1，N- 1将是赢家（例如，赛马的赢家）一般最终结果。返回向量取K值r，rK，概率π，πK。

这种情况允许更复杂的赌注，例如赛马表演、地点、exacta、perfecta等等一般回报。回报率r来自任意的有限分布（Rn几乎可以肯定=1）。如果回报率是对数正态的，那么这场赌博就是一个简单的n型投资（仅限多头）模型-1.具有对数正常回报的资产；第n项资产无风险（现金）。更一般地说，我们可以有n- 1任意衍生工具（如期权），其收益取决于基础随机变量。2.1财富增长这场赌博在t=1,2。，使用IID（独立且相同分配）返回。从初始财富w=1开始，时间t的财富由wt=（rTb）·（rTt）给出-1b），其中rth表示时间t时的已实现收益（而不是向量的第tth项）。财富序列{wt}是一个随机过程，它取决于赌注向量b的选择，以及回报向量r的分布。我们的目标是选择b，这样，粗略地达到峰值，财富就会变大。注意，wt≥ 0，自从r≥ 0和b≥ wt=0的事件称为破产，如果rTb=0具有正概率，则通常会发生。我们下面讨论的选择b的方法都排除了破产，所以我们假设它不会发生，也就是说，几乎可以肯定的是，所有t的wt>0。请注意，如果bn>0，则自rTb起不会发生破产≥ 几乎可以肯定。vt=log表示财富的对数，我们有vt=log（rTb）+···+log（rTt-1b）。因此{vt}是一个随机游动，增量分布由log分布（rTb）给出。随机游动的漂移为E log（rTb）；我们有Evt=（t- 1） E log（rTb）和var vt=（t- 1） 变量日志（rTb）。数量E log（rTb）可以解释为财富的平均增长率；这是随机游动中的漂移。

（预期）增长率E log（rTb）是下注向量b.2.2 Kelly gambling的函数。在Kelly gambling中，我们选择b来最大化E log（rTb），即财富的增长率。这导致了优化问题，即最大化日志（rTb），使1Tb=1，b≥ 0，（1）带有变量b。我们称之为解决方案b？这个问题的一组最优下注。凯利赌博问题总是可行的，因为b=en（相当于不下注）是可行的。这个选择达到了目标值零，所以凯利赌博问题的最优值总是非负的。凯利赌博问题（1）是一个凸优化问题，因为目标是凹的，约束是凸的。凯利最优赌注使财富增长率最大化。如果b是一个非凯利最优的下注向量，与财富序列wt和b相关？Kelly是最优的吗，关联财富序列w？t、 那么w？t/~wt→ ∞ 概率1为t→ ∞. （这是自随机游走日志w？t- 对数具有正漂移[Fel71，§XII.2]。关于凯利赌博的一般性讨论，参见[CT12，§16]。）我们注意到bet向量b=enis-Kelly最优当且仅当Eri≤ 1表示i=1，N-1.因此，如果所有赌注都是预期中的输家，我们就根本不应该下注；相反，如果只有一个赌注是预期中的赢家，那么最优的赌注不是微不足道的赌注，最优的增长率是正的。我们在附录中展示了这一点。2.3计算Kelly最优下注我们描述了计算Kelly最优下注的方法，即解决Kelly优化问题（1）。对于简单情况，它可以解析或半解析求解；一般有限结果情况可以通过标准凸优化工具处理，而一般情况可以通过随机优化处理。两个结果。

对于有两种结果的简单下注，利用赢概率π和payoff P，我们通过一个单变量函数的简单最小化得到了最优下注。我们有吗=πP-1P- 1，P- πPP- 1.,提供πP>1；如果πP≤ 1.最佳赌注是b？=(0, 1). 因此我们应该下注一个分数（πP）-1） /（P-1） 如果这个数量是正数的话，我们每次的财富。一般最终结果。当收益分布确定时，凯利-甘布林问题将tomaximizePKi=1πilog（rTib）减少到1Tb=1，b≥ 0，（2）这是很容易解决的凸优化方法[BV04]。凸优化软件系统，如CVX[GB14]、CVXPY[DB16]和凸优化。jl[UMZ+14]基于DCP（纪律凸规划[GBY06]或类似YALMIP[L–04]的其他方法，可以直接处理此类问题。在我们的数值模拟中，我们将CVXPY与开源solverECOS[DCB13]结合使用，后者最近扩展到处理指数锥约束[Ser15]。一般回报。我们可以解决凯利赌博问题（1），即使在最一般的情况下，当r具有一定数量的值时，只要我们可以从r的分布中生成样本。在这种情况下，我们可以使用投影随机梯度法进行平均[RM51，NY83，Pol87，KY03，Bub15]。作为一个技术假设，我们假设凯利最优下注b？满意度（b？）n> 0，也就是说，最佳赌注是持有一些现金。我们假设我们知道ε>0满足ε<（b？）n（这意味着rTb>εa.s.）和定义ε={b |1Tb=1，b≥ 亿美元≥ ε}.然后目标的梯度由bE log（rTb）=E博客（rTb）=ERTBR对于任何b∈ ε.

因此，如果r（k）是分布中的IID样本，则r（k）Tbr（k）（3）是b处目标梯度的无偏估计，即随机梯度（通过对多个返回样本的表达式（3）进行平均，可以获得梯度的另一无偏估计）具有平均值的（投影）随机梯度法计算迭代‘b（k+1）=∏b（k）+tk（r（k）T‘b（k））r（k）！，k=1，2，其中，起始点b（1）是ε、 r（k）是r分布的IID样本，而∏是（欧几里德）投影ε（易于计算；见引理3）。步长tk>0必须满足tk→ 0,∞Xk=1tk=∞.（例如，tk=C）/√任何C>0的k都满足此条件。）然后（加权）运行平均值b（k）=Pki=1ti¨b（i）Pki=1ti收敛为Kelly最优。随机梯度法的收敛速度可能很慢，但它总是有效的；即E log（rTb（k））收敛到最优增长率。实际上，人们并不知道ε应该有多小。解决这个问题的一种方法是选择一个小的ε，然后检查（b（k））n>ε是否适用于大的k，在这种情况下，我们知道我们对ε的猜测是有效的。该算法的一个更重要的实际变化是批处理，我们将梯度的无偏估计替换为若干样本的平均值。这不会影响算法的理论收敛性，但可以在实践中提高收敛性。3提取我们将最低财富定义为随时间变化的财富轨迹的上限，Wmin=inft=1,2，。。。wt。这是一个随机变量，其分布取决于b。当b=en时，所有t的wt=1，因此Wmin=1。对于E log（rTb）>0（我们假设）的b，Wmintakesvalues in（0，1）。Small wmin与初始财富在最终增加之前下降到一个较小的值的情况相对应。提取定义为1-维明。

减少0.3意味着我们的财富从最初的价值（1）下降了30%，然后才增加（这最终是必须的，因为→ ∞概率为1）。文献中还使用了其他几个缩编定义。一个大的支取意味着我们的财富很小，也就是说，我们的财富在增长之前就降到了一个很小的值。提取风险定义为Prob（Wmin<α），其中α∈ （0，1）是给定的目标（不期望的）最低财富。这种风险以一种非常复杂的方式取决于下注向量b。一般来说，没有关于b的风险公式，但我们可以使用蒙特卡罗模拟（近似）计算给定b的水位下降风险。例如，当α=0.7时，下降风险为0.1意味着下降超过30%的概率仅为10%。提款风险越小（有任何目标），越好。3.1分数Kelly Gambling众所周知，Kelly最优下注可能会导致巨大的提款风险。处理这个问题的一种方法是计算凯利最优下注b？，然后使用B=fb？+(1 - f） 其中f∈ （0，1）是分数。分数凯利赌注按f缩小（风险）赌注。分数凯利赌注的支取比凯利赌注小，代价是增长率降低。我们将看到，交易增长率和提款风险可以得到更直接（更好）的处理。3.2具有提款风险的凯利赌博我们可以在凯利赌博问题（1）中添加提款风险约束，以获得最大化问题日志（rTb），前提是1Tb=1，b≥ 0，Prob（Wmin<α）<β，（5）带变量b，其中α，β∈ （0，1）是给定的参数。最后一个限制条件将财富下降的可能性限制在α值不超过β值。例如，我们可以取α=0.7和β=0.1，这意味着我们要求下降超过30%的概率小于10%。

（这对下注向量b施加了约束。）不幸的是，据我们所知，问题（5）总体上是一个困难的优化问题。在下一节中，我们将开发一个关于下降风险的边界，该边界将导致b上的可处理凸约束。我们将在数值模拟中看到，该边界通常相当好。4提款风险界限在本节中，我们推导了一个限制提款风险的条件。考虑任意λ>0，并对任意α下注b∈ （0,1）和β∈ （0,1）满足λ=对数β/对数α（rTb）-λ≤ 1 ==> Prob（Wmin<α）<β。（6） 换句话说，如果我们的赌注满足E（rTb）-λ≤ 1，则其下降风险概率（Wmin<α）小于β。要看到这一点，考虑停止时间τ=inf{t≥ 1 | wt<a}，并注意τ<∞ 当且仅当Wmin<α。从附录的引理5，我们得到1≥ E经验(-λlog wτ- τloge（rTb）-λ) | τ < ∞Prob（Wmin<α）。自从-τloge（rTb）-λ≥ 当τ<∞, 我们有1个≥ E[exp(-λlog wτ）|τ<∞] Prob（Wmin<α）。当τ<∞, 我们有1>经验(-λlogα）Prob（Wmin<α）。因此，我们有prob（Wmin<α）<αλ=β。5风险约束的Kelly gambling将问题（5）中的下降风险约束替换为（6）的左侧，用λ=logβ/logα，得到风险约束的Kelly赌博问题（RCK）最大化E log（rTb），前提是1Tb=1，b≥ 0，E（rTb）-λ≤ 1，（7）使用变量b。我们将此问题的解决方案称为RCK下注。RCK问题是问题（5）的一个限制，因为它有一个较小的可行集：任何对RCK可行的b都必须满足提款风险约束问题（Wmin<α）<β。在极限状态下→ 1或α→ 我们得到λ→ 0.对于λ=0，第二个约束总是满足的，并且RCK问题（7）简化为（无约束）Kelly赌博问题（1）。现在让我们证明RCK问题（7）是凸的。物镜是凹面的，约束条件为1Tb=1，b≥ 0是凸的。