利率与通货膨胀

和我们的情况一样，它也发生在一个周期解作为一个参数从一个稳态解诞生时，时间延迟增加了。图2-3。说明从稳态（a=1.5）到非稳态（a=1.6）的变化的解Kakutani和Markus（1958年，定理8）还表明：如果0 1a<<和（z（t）–a）以离散零振荡，那么振荡是阻尼的。这意味着对于所有初始函数Φ（如上定义），fora<的解都是渐近的，而不是过渡到稳定振荡。在这种情况下，平衡点Z a=witha<被称为全局稳定，因为它不依赖于初始条件。图2.3左侧的曲线图表明，1的解仍然是渐近的。5a=。这里发生了什么？在他们论文的附录中，Kakutani和Markus说，Wright将“a”上界的估计值提高到了1.5。此外，Wright推测，这个上限的实际值是/2π。如果你观察z a=（Erneux，2009）附近解的扰动，你可以得到/2π的上界在上界为/2π的情况下，平衡点Z a=称为渐近稳定，因为它可能取决于初始条件。有没有关于/2π上界的全局稳定性的证明？显然还没有，但有些已经接近了。在最近一篇关于赖特猜想的论文中，Bánhelyi等人（2014年）提供了估计值1.5706，接近/2 1.570796。。。π=这意味着当（1/）1.5706eA<<时，我们有阻尼振荡。当na>1.5706并且经过足够长的时间后，解z（t）变成持续振荡（例如，振幅相等）（Bánhelyi、Csendes、Kristin和Neumaier，2014）。这与图2.3（和附录A1）所示的模拟结果一致。

本节中提到的结果的许多文献参考使用以下等式：（2-15）（（）（1）y t a y t a y t t t=· - · · -.该方程（也称为Wright方程）可通过变换y=z/a转换为方程（2-12）。如上所述，以“a”值为特征的特性适用于这两个方程。这对我们的利率模型意味着什么？我们将在第3.3节中讨论这一点。利率和通货膨胀。1.应用逻辑方程特征本节将第2.3节的结果应用于我们的利率和通货膨胀模型。定义一个初始函数（）tψ如下：（3-1）a tLi t eβ-= Ψ = ·  , 其中β是一个大于零的常数，t≤ ≤. 初始函数（）tψ满足方程，与方程（2-14）类似：（）[（0）]（）d tA tdtψ=- Ψ · Ψ .3.1.1. 渐近的，非振荡的，解：（）nLie t<≤·当（）nLie t<≤·. 对于足够大的t：（）（）aLi渐近到（）nLi A=，这意味着（从方程3-1）通货膨胀率最终接近于零。方程（3-1）中的初始条件确定了通货膨胀率的初始值。假设利率的单位为“1/年”，并且（）aLi t（被视为具有自己单位的时变小部件）可以每月更改，因此t和月份的单位为。请注意（）（）n a aL LI t i t a i t=- = - .如果0。035A=（3.5%/年），则当1。05t<个月。图3-1说明了whent=。图3-1。实际利率和通货膨胀率的渐近行为示例通货膨胀率（百分比）实际利率（百分比）3.1.2。振动解：（）nLie t<·振荡解出现在：（）nLie t<·. 当（）（1.5706/）nLi t<时，振荡会减弱。“实际利率”在nLi A=左右波动。

如果（）0.08nLi=（每年8%），那么（）当（1.05个月）<t<（44.8个月）时，aLi twill具有阻尼振荡。图3-2显示了whent=。图3-2。实际利率和通货膨胀率的阻尼振荡示例在图3-2中，通货膨胀率振荡约为零，表示通货膨胀和通货紧缩的时期。当：（）（1.5706/）nLt i<时，出现持续振荡解。如果（）0.12nLi=（12%/年），那么（）aLi将在13时具有持续振荡的解。09t>个月，这表明利率沟通过程非常缓慢。图3-3说明了这种情况。图3-3。实际利率和通货膨胀率持续波动的例子3。2.假设短期利率为非零常数，让我们放宽条件（）（）0aSi t=，而假设（3.2）aSi t w=，其中w是常数，w<a。将方程（3-2）代入方程（2-4）并假设（）（）nLi t a- =, 其中A为常数，则产生：（3-3）（（）（（））（（））（（））aa A aLL L L L DATA w i t wdt=· - - - · -.图3-4显示了当A=0.08（8%）、w=0（delaylogistic方程）、w=0.01（1%）和w=0.02（2%）时，该方程的模拟结果。引入非零指数会降低通货膨胀率，因此每次波动的通货紧缩量也会减少。此外，当时间t>243个月时，所有运行收敛到A=0.08。这意味着，至少对于我们测试的参数值，在延迟逻辑方程中引入微扰w不会改变稳定平衡。图3-4。方程（3-3）的模拟示例（A=0.08）和图3-5的各种值显示了当A=0.12、w=0（延迟逻辑方程）、w=0.01（1%）和w=0.02（2%）时该方程的模拟结果。图3-5。

对于w=0.20和w=0.00，用A=0.12模拟方程（3-3）的示例图3-5中的结果有趣的是，w从持续平衡（w=0）变为稳定平衡（w=0.02，t>months），其中实际利息最终等于A=0.12。短期利率非零似乎可以增加解决方案的稳定性，至少在本例中是这样。然而，这一结果还有更多。实际利息（分数）实际利息（分数）在查看图3-4和3-5中的结果后，我们想知道等式（3-3）与延迟逻辑方程的关系有多密切。结果表明，当我们进行转换时，aLi t x t w=+方程（3-3）变成了延迟逻辑方程：（3-4）dx tA w x t x t t tdt=- · - · -.而不是A t=·作为关键参数，它现在是“（）a w t=- ·, 这就解释了我们的结果。在图3-5中，w=对应于\'1.68 1.507a A t=· = > , 从而表明持续振荡的演变（见第2.3.2节）；0.2w=对应的\'（）1.41.507a w t=- · = < , 从而表明进化到渐近解。总结我们的结果：（3-5）a aL-Si-t x t i=+，其中（）aSi w=是一个带（）aSi的常数≥,（3-6）（）（L Sn aI t itix=- - , 其中（）（）nLi A=是一个常数，具有（）（）n aL Si i>，且x（t）满足逻辑延迟微分方程：（3-7）（（））n aL Sdx ti i x t x t t tdt=- · - · -.我们将其称为DD（延迟微分）利息方程。下面是一个初始条件的示例：（3-8）a w tLi t eβ- -= Ψ = ·  , 其中β是一个大于零的常数，t≤ ≤. 函数（）tψ满足约束条件：（3-9）（[（0）]（）d taw tdtψ=- - Ψ · Ψ .4.

结论：我们的模型和现实世界一样，可能会出现波动，并伴随着通货膨胀和通货紧缩（负通货膨胀）的时期。造成这种行为的原因是当模型足够大以满足条件时（见第3.1.2节和第3-2节）：（4-1）（（）（1/）（）n aL-Se i t<- ·.我们将解中振荡行为的存在解释为金融系统中的混沌。这种振荡特性对货币政策有影响。例如，由于金融体系保持稳定和有序（并避免波动）是可以预期的，那么由控制机构（如美联储）实施的任何变化都应该满足其内在质量：（4-2）（（）（1/）n aL-Se i it≥ - ·.一个相关的例子是我们模型中的银行改变其短期利率的效果。如果系统接近振荡条件，且短期实际利率（）设为负，而利率（）设为负，则系统可满足方程4-1并振荡。附录A-模拟精度测试本附录的目的是为使用我们的模拟应用程序探索延迟微分方程提供信心。A1。边界测试测试我们的模拟应用程序的准确性的一种方法是，看看它预测“a”从（1）纯渐近解增加到阻尼振荡（稳定状态），以及从（2）阻尼振荡增加到持续振荡（不稳定状态）时的过渡有多近。在本节中，我们将提供第二种情况的结果。图A-1说明了“A”在A=1.568和A=1.570之间时，从阻尼振荡（稳定状态）到持续振荡的过渡。这意味着稳定状态至少持续到a=1.568。

到目前为止，已经证明（见第2.3.2节），这种稳定状态持续到15706。因此，我们的模拟至少精确到三个有效数字，这对于我们的目的来说已经足够了。图A-1。从稳定状态过渡到不稳定状态。精确解检验解的准确性的另一种方法是提供精确解，然后比较模拟解和精确解。我们在0 3t区间内求解了“t”的方程（2-12）≤ ≤. 我们假设方程（2-13）中的初始函数（）tΦ为0 1t≤ ≤. 然后我们推导了两个区间的z（t）：1 2t≤ ≤和23吨≤ ≤. 我们在方程（2-14）中设置/2aβ=以简化结果。否则，解将包含不完整的伽马函数。这将使在Stella Pro中输入精确的解决方案变得更加困难。表A-1包含解决方案，表A-1。z（t）为0 3t的溶液≤ ≤.图A-2至少从图形上说明了实际解决方案与模拟解决方案的匹配。图A-2。模拟和实际解决方案的比较本文中的大多数运行是在模拟时间步长=1/512（即模拟的步长）的情况下进行的。表A-1显示，使用该时间步的误差精确到三位有效数字，如果我们使用较小的时间步，我们可以将精度提高一倍2。表A-2。比较两个时间步的实际和模拟解。附录B——模拟代码我们使用了isee系统公司的Stella Professional(http://www.iseesystems.com/softwares/stellapro/v1.aspx#)生成本文中的所有模拟运行。我们发现Stella Professional、avisual、交互式建模工具在研究延迟微分方程方面很有用。

它主要用于系统动力学建模。我们同意系统动力学领域创始人杰伊·弗雷斯特（Jay Forrester）的观点，他认为系统动力学（应用软件）在求解和理解微分方程方面很有用。我们遵守系统动力学社区的政策，包括用于生成结果的仿真代码。因此，我们提供了一个代码图（图B-1），该图取自Stella Pro，以及代码本身。其他系统动力学软件也可用于生成与本文所含类似的图表和代码。图B-1。Stella Pro模型图这里是Stella Pro生成的方程，对应于图B-1中的变量。我在括号内添加了一些解释。y（t）=y（t-dt）+（dy\\u dt）*dt{变量dy/dt在Stella Pro中由dy\\u dt表示。标有y的存储（框）是流入dy/dt的积分}INIT y=b{初始函数是（b）*（A-b）*EXP（time*（A-b））。y=b，time=0。}流入量：dy_dt=如果时间>=1，那么-y*ydlay+y*A ELSE（b）*（A-b）*EXP（TIME*（A-b））{当包含在dy/dt中时，初始函数需要区分，因为它将被集成到股票y（t）中。这就是为什么我们在指数前面有因子A-b。}A=0.12b=0.02通货膨胀率=A-y{Fisher关系}通货膨胀率=通货膨胀率*100{将通货膨胀率转换为百分比}利息率*100{将y转换为百分比}时间}年=时间/12{将月转换为年}到=14{月延迟}延迟}确认作者感谢理查德·德蒙教授对我们的分析提供了有益的评论。参考Bánhelyi，B.等人（2014年）。“莱特方程零解的全局吸引性。”暹罗应用动力系统杂志13（1）：537-563。库珀史密斯，M.（2011）《利率与通货膨胀》。ArXiv e-prints 1104新泽西州库宁汉姆（1954年）。

“一个非线性微分差分增长方程。”美国国家科学院院刊40（8）：708713。Erneux，T.（2009）。应用延迟微分方程。纽约，斯普林格。费希尔，I.（1930）。由对收入的不耐烦和投资机会决定的利息理论。纽约，麦克米伦公司。哈钦森，G.E.（1948）。“生态学中的循环因果系统。”《纽约科学院年鉴》50（4）：221-246。卡库塔尼、S.和L.马库斯（1958年）。关于非线性差分微分方程y’（t）=[A-乘（t-tau）]y（t）。数学研究年鉴。S.Lefschetz。普林斯顿大学新泽西州，普林斯顿大学出版社。对非线性理论的贡献：振荡：第四卷。Lefschetz，S.（1958年）。对非线性理论的贡献：振荡：第四卷。普林斯顿大学N、 J.，普林斯顿大学出版社。史密斯·H.（2011）。延迟微分方程的介绍及其在生命科学中的应用。纽约，斯普林格·维拉格。Touboul，J.（2014）hipster效应：当抗共患者看起来都一样时。ArXiv电子版1410，R.M.莱特（1955年）。“一个非线性差分微分方程。”雷恩·安圭。Math494:66-87。