低交通限制和首次通行时间，适用于一个简单的

该近似值由三个步骤组成，如下所述：o首先，考虑一个简单的对称颅骨行走中的离散首次通过时间eT（d），带有两个反射屏障和离散±1个步骤，其分布为（8）P（eT（d）=h）=N- 1N-2Xk=1(-1） k+1sinkπN- 1.cosh-1.kπN- 1.罪kπ对于h≥ 1.上述分布可在[16]中找到，并在[17]中进行了广泛讨论，并进行了几次概括所有订单的限额订单到达率为λ/（λ+u）=ρ/（ρ+1），在低交易近似下，所有限额订单在账簿为空时到达。限价买入（或卖出）指令以旧价格p或p+1（或- 1） 概率各为1/2。因此，在任何给定的时间，价格都会随着ρ2（ρ+1）的变化而变化。因此，给定净（d）=h，考虑一个负二项式变量NB，参数为h和ρ2（ρ+1），定义T（d）=NB+1。变量T（d）也是一个离散的随机变量，它统计实际执行价格变化后的事件数量两个连续事件之间的间隔时间服从指数分布，平均值为2u（1+ρ）。因此，给定T（d）=h，通过参数h和2u（1+ρ）的Gammadistribution后的随机变量来近似初始信息时间。综上所述，首次通过时间的分布可以用伽马分布的适当混合T（a）来近似，其参数根据公式（8）中的离散情况计算。

请注意，在前面的构造中，只有当我们假设限价单到达时账簿为空时，才使用低效率假设。为了证明这种近似对ρ的小值很有效，我们在图7中绘制了对数（T）和（a10）的经验累积分布函数（ECDF），ENRICO SCALAS，FABIO RAPALLO和TIJANA RADIVOJEVI\'C5 6 7 8 100.0 0 0.4 0.8 Rho=0.01Fn（x）3 4 5 6 80.0.4 0.8 Rho=0.05Fn（x）3 4 5 70.0.4 0.8 Rho=0.1Fn（x）2 3 4 5 70.0.4 0.0.8 Rho=0.5Fn（x）图7。N=11，N=1时对数（T）（黑色）及其低转换近似对数（T（a））（虚线，红色）的ECDF。N=11时4个不同ρ值的对数（T（a））分布的蒙特卡罗近似。在这些模拟中，我们只考虑了u=1的情况。我们可以在图7中观察到，对于ρ=0.01，ρ=0.05，模拟分布及其理论近似值几乎相同（基于10000次蒙特卡罗重复的科尔莫戈罗夫-斯米尔诺夫的p值对于ρ=0.01为0.7212，对于ρ=0.05为0.0116。当ρ=0.1时，两个分布显示出一些差异，而在最后一种情况下（ρ=0.5），近似值失败。低转化率T（a）往往低估了T的分布。在ρ=0.1的情况下也观察到了这种行为，但在ρ=0.5的情况下，这种行为更为明显，这是预期的。当n>1时，等式（8）中的公式不再可用。然而，我们可以通过研究分布的期望值来分析低转换近似。事实上，通过线性系统（9）（I）可以计算出低转换近似下离散链的首次通过时间u（d）的预期值- P2，N-1） x=1，其中P2，N-1是仅限于瞬态的转移矩阵，I是（N-2） ×（N）-2） 单位矩阵，1是维数为N的1的列向量-2（详情见E.g.[18]）。

然后，按照与上述相同的推理，通过因子1/（2ρ）缩放u（d）tb获得连续设置中的平均时间ut。在表1中，蒙特卡罗模拟的平均值T和理论预期值Low TRAFFIC In A DOUBLE AUCTION MODEL 11ρ=0.01ρ=0.02ρ=0.05N TuT% TuT% TuT%10 5 273.17 275.67 -0.91 136.58 137.76 -0.85 54.63 56.44 -3.2040 5 2787.28 2821.84 -1.22 1393.64 1433.86 -2.80 557.46 598.03 -6.7840 10 1176.20 1197.19 -1.75 588.10 604.54 -2.72 235.24 248.15 -5.2080 5 9939.48 9888.86 +0.51 4969.74 5181.18 -4.08 1987.90 2164.12 -8.1480 20 1598.81 1617.58 -1.16 799.41 824.12 -3.00 319.76 342.19 -6.55100 5 15151.93 15183.58 -0.21 7575.97 7807.49 -2.97 3030.39 3267.66 -7.26100 25 1763.36 1768.67 -0.30 881.68 903.18 -2.38 352.67 369.58 -4.58ρ=0.10ρ=0.50N n TuT% TuT%10 5 27.32 29.47 -7.31 5.46 8.72 -37.3540 5 278.73 319.18 -12.67 55.75 124.99 -55.4040 10 117.62 132.71 -11.37 23.52 45.54 -48.3580 5 993.95 1159.32 -14.26 198.79 495.32 -59.8780 20 159.88 182.86 -12.57 31.98 62.29 -48.66100 5 1515.19 1780.02 -14.88 303.04 769.96 -60.64100 25 176.34 198.62 -11.22 35.27 70.41 -49.91表1。实际设置中的平均时间以及N、N和ρ不同值的相应低转换近似值。在几种设置的低转换近似下，给出u皮重。对于ρ高达0。05近似值运行良好，在所有设置下的相对误差小于10%，而对于ρ=0.1和ρ=0.5，差异变得相关，尤其是在后一种情况下。4.总结与结论在本文中，我们在低交易极限ρ下刻画了连续双重拍卖的一个简单模型的遍历区域 1.在此限制条件下，可以针对模型参数n和n的任何值导出价格分布。补充资料中给出了确定价格分布的具体数值程序。

我们还表明，这些结果合理地近似了ρ<1/2时的拍卖行为。我们使用蒙特卡罗模拟进一步研究了首次通过时间Tin 1或N。我们注意到，T的低转换极限近似对ρ是合理的 在这种情况下是1/2。我们想回答几个悬而未决的问题。这个简单模型的一个自然扩展是它的半马尔可夫模型，其中引入了事件之间等待时间的非指数分布。在这种扩展中，嵌入链的行为不会改变，但链的混合时间会改变。12 ENRICO SCALAS、FABIO RAPALLO和TIJANA RADIVOJEVI’CA特别有趣的例子是，等待时间的分布与最终平均值密切相关。这与我们最近关于半马尔科夫图动力学的结果有关[19,20]。另一个值得探索的研究方向是考虑限制和市场指令的非独立过程。致谢。Radivojevi\'c和E.Scalas感谢J.Anselmi的有益讨论。E.Scalas感谢N.Georgiou对多类排队的讨论。参考文献[1]J.Blanchet和X.Chen，《限额订单簿中买卖价差和价格动态的连续时间建模》，arXiv:1310.1103[q-fin.TR]（2013年）。[2] P.A.法拉利，J.B.马丁，多类Hammersley-Aldous Diaconis流程和多类客户队列，安。Inst.H.Poincar\'e，45250–265（2009）。[3] T.Radivojevi\'c，J.Anselmi和E.Scalas，《连续双重拍卖的简单模型中的遍历转换》，PLOS ONE 9，e88095（2014）。[4] E.Scalas、T.Kaizoji、M.Kirchler、J.Huber和A.Tedeschi，《双重拍卖市场中订单和交易之间的等待时间》，Physica A 366463–471（2006）。[5] E.史密斯、J.多恩·法默、L.吉勒莫和S。

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