菲利普斯曲线的Mittag-Leffler拟合

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英文标题：
《The Mittag-Leffler Fitting of the Phillips Curve》
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作者：
Tomas Skovranek
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, a mathematical model based on the one-parameter Mittag-Leffler function is proposed to be used for the first time to describe the relation between unemployment rate and inflation rate, also known as the Phillips curve. The Phillips curve is in the literature often represented by an exponential-like shape. On the other hand, Phillips in his fundamental paper used a power function in the model definition. Considering that the ordinary as well as generalised Mittag-Leffler function behaves between a purely exponential function and a power function it is natural to implement it in the definition of the model used to describe the relation between the data representing the Phillips curve. For the modelling purposes the data of two different European economies, France and Switzerland, were used and an \"out-of-sample\" forecast was done to compare the performance of the Mittag-Leffler model to the performance of the power-type and exponential-type model. The results demonstrate that the ability of the Mittag-Leffler function to fit data that manifest signs of stretched exponentials, oscillations or even damped oscillations can be of use when describing economic relations and phenomenons, such as the Phillips curve.
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中文摘要：
本文首次提出了一个基于单参数Mittag-Leffler函数的数学模型来描述失业率与通货膨胀率之间的关系，即菲利普斯曲线。菲利普斯曲线在文献中通常以指数形状表示。另一方面，菲利普斯在他的基础论文中在模型定义中使用了幂函数。考虑到普通和广义Mittag-Leffler函数在纯指数函数和幂函数之间的行为，在用于描述代表菲利普斯曲线的数据之间关系的模型定义中实现它是很自然的。出于建模目的，使用了法国和瑞士两个不同欧洲经济体的数据，并进行了“样本外”预测，以比较Mittag-Leffler模型与幂型和指数型模型的性能。结果表明，Mittag-Leffler函数拟合表现出拉伸指数、振荡甚至阻尼振荡迹象的数据的能力，在描述经济关系和现象（如菲利普斯曲线）时可以使用。
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分类信息：

一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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PDF下载：
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关键词：菲利普斯曲线 菲利普斯 tag MIT ITT

Phillips CurveTomas SkovranekInstitute of Control and Information of Production Processs的Mittag Le Fitter Fitting Kosicenemcovej3 042 00 Kosice，Slovak Republic电话：+421556025143电子邮件：tomas。skovranek@tuke本文首次提出了一个基于单参数Mittag-Le-Fuel函数的数学模型来描述失业率和通货膨胀率之间的关系，也称为菲利普斯曲线。菲利普斯曲线在文献中通常以指数形状表示。另一方面，菲利普斯在其基础论文中在模型定义中使用了幂函数。考虑到普通和广义的Mittag-Le-fier函数表现为纯指数函数和幂函数之间的关系，在定义用于描述代表菲利普斯曲线的数据之间关系的模型时，很自然地要实现它。出于建模目的，使用了两个不同的欧洲经济体（Fra nc e和瑞士）的数据，并进行了“样本外”预测，以比较Mittag-Le-Freeger模型与幂型和指数型模型的性能。结果表明，在描述经济关系和现象（如P-hillips曲线）时，Mittag-L e-fluer函数拟合数据的能力可以使用，这些数据表现出伸缩势、振荡甚至阻尼振荡的迹象。关键词：经济计量模型；识别；菲利普斯曲线；Mittag Le Figer Function 1简介正是“因为”或“感谢”保罗·安东尼·萨缪尔森（Paul Anthony Samuelson）和罗伯特·默顿·索洛（Robert Merton Solow，1960），世界各地的经济学家将工资变化率（或物价波动率）和失业率之间的负相关称为菲利普斯曲线（PC）。

不太为人所知的是，这一想法发生在30多年前，在欧文·费舍尔（Irving Fisher，1926）的著作中发表了阿尔班·威廉·豪斯戈（Alban William Housego）的著名论文（Phillips，1958年）。费舍尔并不是唯一一个值得以他的名字命名的如此重要的“发现”。阿瑟·约瑟夫·布朗（Arthur Joseph Br）在他的书（布朗，1955年）中准确地描述了工资和物价波动与失业率之间的反比关系，这本书比菲利普斯的论文早3年出版。AlsoRichard George Lipsey（Lipsey，1960）在个人电脑的诞生、理论基础的创建和普及方面发挥了重要作用。萨缪尔森和索洛在他们的论文（萨缪尔森和索洛，1960）中首次提到了政策含义。在英国的实证研究（布朗，1955年；菲利普斯，1958年；利普西，1960年）和联合国各州的实证研究（鲍恩，1960年；萨缪尔森和索洛，1960年；博德金，1966年）中，工资变化率和失业率之间的反比关系得到了证明。

政策制定者一开始广泛使用该政策，利用贸易效应，以较小的额外流动成本减少就业——“牺牲率”。从那时起，许多作者对PC进行了研究、扩展和重新制定。个人电脑的一种“现代”形式是通过模型来表示的，在这种模型中，预期不是以向后看的行为为基础的，而是可以跳跃式地响应当前和预期的政策变化——新凯恩斯主义的产出影响交易理论。被称为新凯恩斯主义菲利普斯曲线（NKPC）的模型建立在泰勒（Taylor，1979年，1980年）和卡尔沃（Calvo，1983年）的著作之上，在那里发展了有标签的合同模型，并建立在罗滕伯格和伍德福德（Rotemberg，1982年；Rotemberg和伍德福德，1997年）的二次价格调整成本模型之上，所有这些都与弗里德曼和菲尔普斯（Friedman，1968；Phelps，1968）的预期增强PC有相似的表述。Clarida e t al.（Clarida et al.，1999）的工作说明了该模型在货币政策理论分析中的广泛应用。随着焦点从失业率转移到产出缺口，菲利普斯的关系已经变成了一条总供给曲线，但想法仍然是一样的。McCallum（McCallum，1997）称其为“最接近标准规格的产品”。在90年代末和21世纪初，NKP作为一种理解通货膨胀动力学的理论也很流行。在这项工作中（Galiand Gertler，1999；Galiet al.，20012005），NKPC被转化为一个混合版本，它将通货膨胀与预期未来的通货膨胀、滞后通货膨胀和实际边际成本联系起来。当马格努斯·古斯塔夫·米塔格·勒菲耶在他的著作（米塔格·勒菲耶，1903a，b）中提出一个新的函数Eα（x）时，他肯定没有想到指数函数exhe的重要推广是如何发展起来的。

ML函数及其推广介于纯指数定律和类似幂律的行为之间，它们自然出现在分数阶积分微分方程的求解、随机游动、列夫函数、复杂系统的研究和其他领域。在众多作品中，研究了ML型函数的推广和应用。（Hille和Tamarkin，1930年；Dzhrbashyan，1966年；Caputo和Mainardi，1971年；Blair，1974年；Torvik和Bagley，1984年；Samko等人，1993年；Goren-flo和Vessella，1991年；Goren-flo和Mainardi，1996年，1997年；Goren-flo等人，2002年，2014年；Kilbas等人，2004年；Mainardi和Goren-flo，1996年；Srivastava和Saxena，2001年；Srivastava和Tomovski，2009年；West等人，2003年；Haubold等人al.，2011年；Garrappa，2015），并开发了用于评估MLF功能的计算程序，例如（Goren Flo等人，2002年；C hen，2008a，b；Podlubny，20052011；Garrappa，2015年；Matychyn，2017年）。Mittag-Le-Friener（ML）函数不仅在血液美容师中具有重要的用途，而且由于其特殊的性质和解决应用问题的巨大潜力，它在心理流变学（Blair，1974）、电工学（Capelas de Oliveira et al.，2011；Petras et al.，2012；Sierociuk et al.，2013）等领域也具有适用性，对扩散（Maindardi，2018）、燃烧（Samuel等人，2016）、宇宙膨胀（Zeng等人，2015）等过程进行建模。

几位作者阐述了使用分数阶微积分和ML函数对经济学和经济物理学领域的现象进行建模的想法（Scalas等人，2000年；Goren-flo等人，2001年；Mainardi等人，2000年，2002年；Cartea和del C astillo-Negrete，2007年；Vilela Mendes，2008年；加里波第和Scalas，2010年；Skovranek等人，2012年；Tejado，2015年，2018年；塔拉索夫，2016年；塔拉索夫和塔拉索夫，2017年；塔拉索夫和塔拉索夫，2018年；塔拉索夫，2018年，2019年，a，b，C）。本文首次使用单参数ML函数来模拟失业率和通货膨胀率之间的关系——菲利普斯曲线，并将其性能与幂型模型和指数型模型进行了比较。从portalEconStatsTM（Econstats.com，2019）获取1980年至2017年期间的法国和瑞士经济计量数据，以确定这些经济体的PC。数据集分为两个子集，“建模”子集用于识别模型参数，较短的“样本外”子集用于评估模型的预测性能。所有三个模型的性能都是基于拟合标准进行评估的，即误差平方和（SSE）。结果以图表和表格的形式呈现，其中列出了拟合曲线对“建模”子集的SSE、拟合曲线对“样本外”子集的SSE、拟合曲线对完整数据集的SSE，以及一些其他关于拟合优度的质量标准。本文的组织结构如下。第2节概述了Mittag-Le-freger泛函及其推广。第3节介绍了原始菲利普斯曲线以及用于拟合菲利普斯曲线的Mittag-Le-filer模型。数值结果和对实验的讨论见第4节。

最后，第5.2节序言中给出了结论：Mittag-Le-figuer函数及其推广1903年，M.G.Mittag-Le-figuer（Mittag-Le-figuer，1903a，b）引入了一个新的函数Eα（x），它是经典指数函数ex的推广，直到今天被称为单参数ML函数。使用Erd’elyi的符号（Erd’elyi et al.，1955），其中使用z代替x，函数可以写成：Eα（z）=∞Xk=0zkΓ（αk+1），α∈ C、 Re（α）>0，z∈ C、 （1）式中，Γ表示（完全）伽马函数，其性质为Γ（n）=（n）-1)!. 在（Mittag Le Frienger，1904，1905；Wiman，1905a，b；Pollard，1948；Agarwal，1953；Humbert，1953；Humbert and Agarwal，1953）中进一步研究了单参数ML函数及其性质，随后一些作者将其推广到了一个称为Wiman函数的双参数ML型函数（一些作者将其归功于Agarwal）。在theErd’elyi的han dbook之后，公式的形式是（Erd’elyi等人，1955年）：Eα，β（z）=∞Xk=0zkΓ（αk+β），α，β∈ C、 Re（α）>0，Re（β）>0，z∈ C.（2）上述函数和其他ML类型函数的主要属性可在Erd’elyi等人（Erd’elyi等人，1955年）的书中找到，Dzhrbashyan（Dzhrbashyan，1966年）的书中有详细概述。为了证明ML型函数的广义概念，让我们指出，单参数（1）的ML函数是双参数ML函数的特例，即如果我们在（2）中替换β=1。因此，经典指数f函数是单参数MLF函数的特例，其中α=1:Eα，1（z）=∞Xk=0zkΓ（αk+1）≡ Eα（z），E（z）=∞Xk=0zkΓ（k+1）=∞Xk=0zkk！=简单1971年，T.R.引入了ML型（2）双参数函数的推广。

Prabhakar（Prabhakar，1971）在级数表示方面：Eγα，β（z）=∞Xk=0（γ）kzkΓ（αk+β）k！，α, β, γ ∈ C、 Re（α）>0，Re（β）>0，z∈ C、 （3）其中（γ）是波奇哈默的符号（Rainville，1960），定义为：（γ）k=Γ（γ+k）Γ（γ）=1，（k=0，γ6=0），γ（γ+1）。（γ+k）- 1） ，（k）∈ N、 γ∈ C） 。（3）中定义的函数是指数函数ez、单参数ML函数eα（z）和Wiman函数eα，β（z）的自然推广。2007年，Shukla和Prajapati（Shukla和Prajapati，2007）提出并研究了函数Eγ，qα，β（z），定义为：Eγ，qα，β（z）=∞Xk=0（γ）qkzkΓ（αk+β）k！，α, β, γ ∈ C、 Re（α）>0，Re（β）>0，Re（γ）>0，z∈ C、 q在哪里∈ (0, 1) ∪ N、 （γ）qkdenotes是广义的波克哈默符号：（γ）qk=Γ（γ+qk）Γ（γ），它特别简化为：qqk=qYr=1γ+r- 1qk、 如果q∈ N.其他作者也介绍和研究了ML函数的进一步推广，但为了证明ML函数的潜力，这四种指数函数的推广是有效的。3建模菲利普斯曲线在许多科学领域和应用领域，例如在经济学中，为了描述两个变量之间的关系，通常使用回归分析。人们可以使用不同的回归模型，从简单的线性模型、指数型和幂型模型，到多项式，以及许多其他更复杂和复杂的模型。关于线性或非线性的讨论，以及PC的凸形或凹形，如果它被认为是非线性的，仍在进行中。一些作者支持凸形（Cover，1992；Karras，1996；Nobay and Peel，2000；Schaling，2004），一些凹形（Stiglitz，1997），以及一些他们的组合（Filardo，1998）。

在本讨论中，ML类型函数用于描述PCF的应用是完美的。3.1《菲利普斯曲线图》（Phillips，1958年）中的“原始”菲利普斯曲线图使用了英国经济计量数据——由贸易委员会和劳动部提供的货币下注率变化率（由PhelpsBrown和Sheila Hopkins（Brown和Hopkins，1950年）计算），以及贝弗里奇的相应百分比就业数据，《自由社会的充分就业》，表22。但是，为了进行更简单的评估，首先对数据进行了预处理，即计算了6个不同失业水平（0-2、2-3、3-4、4-5、5-7、7-11）的货币工资率变化率和失业率的平均值。图1中的十字表示这些平均值。如果失业率保持在指定的失业率水平不变，则每个十字表示与该失业率相关的工资变化率的近似值。最后，菲利普斯用一个形式为：y+a=BxC的模型向十字军发射了一个电流=> （4） log（y+a）=log b+c log x，其中y是工资率的变化率，x是失业率。使用最小二乘法对常数b和c进行估计，以确定位于0-5%失业率之间的四个交叉点，并选择常数a确定位于5-11%失业率之间的其余两个交叉点。

根据这一“拟合标准”，菲利普斯确定了模型（4）的参数如下：y+0.900=9.638 x-1.394=>对数（y+0.900）=0.984- 1.394对数x.图1:“原始”菲利普斯曲线（菲利普斯，1958）。3.2拟合菲利普斯曲线的米塔格-勒菲涅尔模型使用ML型函数来描述经济计量数据（代表菲利普斯曲线）的想法自然来自对两个事实的观察：o菲利普斯在其论文（菲利普斯，1958）中使用的模型的简单性，如（4）所示，如果使用幂型回归拟合数据，则模型可定义为：y（x）=bxc- a、 a，b，c∈ R、 （5）o文献中使用的PC的美国形状，这提醒了指数型函数：y（x）=b ec x-a、 a，b，c∈ R、 （6）其中，对于这两种情况，（5）和（6），x代表未经修正的分配率，y f代表通货膨胀率。基于这些事实，单参数ML函数似乎是一个通用模型，用于拟合PC关系，因为它的行为介于纯指数函数和幂函数之间。图2显示了ML函数的一些可能表现形式（使用Igor Podlubny（Podlubny，2011）发布的Matlab演示生成的图）。（1）中定义的单参数ML函数，包括α=1时的特殊情况，即经典指数函数，用于建模待研究的计量经济数据。通常，建议的拟合模型可以写成如下：y（x）=ceα（bxα），α∈ C、 Re（α）>0，b，C∈ R、 （7）参数α、b、c需经过优化程序，以最小化数据点和拟合曲线之间垂直力集的平方和。