关于与之相关的原动力值函数和对偶动力值函数的正则性

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英文标题：
《On regularity of primal and dual dynamic value functions related to
  investment problem》
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作者：
Michael Mania and Revaz Tevzadze
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We study regularity properties of the dynamic value functions of primal and dual problems of optimal investing for utility functions defined on the whole real line. Relations between decomposition terms of value processes of primal and dual problems and between optimal solutions of basic and conditional utility maximization problems are established. These properties are used to show that the value function satisfies a corresponding backward stochastic partial differential equation.   In the case of complete markets we give conditions on the utility function when this equation admits a solution.
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中文摘要：
研究了在整条实线上定义的效用函数的最优投资原问题和对偶问题的动态值函数的正则性。建立了原问题和对偶问题的值过程分解项之间的关系，以及基本效用最大化问题和条件效用最大化问题的最优解之间的关系。利用这些性质证明了该值函数满足一个相应的倒向随机偏微分方程。在完全市场的情况下，当这个方程允许解时，我们给出了效用函数的条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_regularity_of_primal_and_dual_dynamic_value_functions_related_to_investment_problem.pdf (221.97 KB)

2022-5-11 04:26:55 上传

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关键词：原动力 正则性 Differential Mathematical Quantitative

关于与投资问题有关的原始和对偶动态价值函数的正则性。Mania和R.TevzadzeAbstract。我们研究了在整条实线上定义的效用函数的最优投资的原始和对偶问题的动态值函数的正则性。建立了原问题和对偶问题的值过程分解项之间的关系，以及基本效用最大化问题和条件效用最大化问题的最优解之间的关系。这些性质被用来表明价值函数满足相应的倒向随机偏微分方程。在完全市场的情况下，当这个方程允许解时，我们给出效用函数的条件。2010年数学学科一班。90A09，60H30，90C3 9关键词：效用最大化，完全和不完全市场，对偶性，倒向随机偏微分方程，价值函数。1引言我们考虑一个金融市场模型，其中资产价格的动态由定义在完备概率空间上的连续半鞅描述(Ohm, F、 P）连续过滤F=（Ft，t∈ [0，T]），其中F=T和T<∞. 我们使用贴现条款，即假定债券为常数。用Me（分别为Ma）表示概率测度的集合Q等价于P（分别为绝对连续与resp ect），使得S是Q下的局部鞅。在本文中，我们假设过滤F是连续的（即所有F-局部鞅是连续的），Me6=. （1） F的连续性和满足结构条件的等价mart ingale测度的存在性，即。

S允许分解st=Mt+ZtλsdhMis，ZtλsdhMis<∞对于所有的tp-a.s.，其中M是一个连续的局部鞅，λ是一个可预测过程。设U=U（x）：R→ R是一个效用函数，在实线R的所有点上取有限值，使得U连续可差、递增、严格凹，并满足Inada条件su′(∞) = 利克斯→∞U′（x）=0，U′(-∞) = 利克斯→-∞U′（x）=∞ . （2） 我们还假设满足合理的渐近弹性条件（见[6]和[13]），即lim supx→∞xU′（x）U（x）<1，lim infx→-∞xU′（x）U（x）>1。（3） 我们考虑效用最大化问题，即发现交易策略（πt，t）的问题∈ [0，T]），使得终端财富Xx，πT的预期效用达到最大。财富过程由自我融资交易策略π和初始资本x决定，定义为随机积分lxx，πt=x+ZtπudSu，0≤ T≤ T.可预测的，可预测的-可积过程π如果随机积分（RtπudSu，t∈ [0，T]）从下面一致有界。与问题相关的值函数V由V（x）=supπ给出∈πEUx+ZTπudSu, （4） 其中∏是可容许策略的类别。对于U函数，我们用它的凸共轭表示U（y）=supx（U（x）- xy），y>0。（5） （4）iseV（y）=infQ的对偶问题∈MeE[eU（yρQT）]，y>0，（6）其中ρQT=dQt/dpt是测量Q的密度过程∈ 与基本度量P相关。设τ为停止时间，取值为[0，T]。用∏τ表示容许过程的类别，使得π=π1[τ，T]。定义Zτ，y={y:y=yρTρτ，ρT=dQdP，Q∈ 我}。原问题和对偶问题的动态值函数定义为asV（τ，x）=ess supπ∈πτEUx+ZTτπudSu英尺, （7） eV（τ，y）=ess infY∈Zτ，yEheU（Y）|Fti，Y>0。（8） 对于V（0，x）和V（0，y），我们分别使用符号V（x）和V（y）。在[13]之后，我们做了一个假设。

对于每个y>0，双值函数EV（y）是有限的，且最小值为Q*（y）∈ Me（称为极小极大鞅测度）存在。设∏xbe可预测的S可积过程类π，使得u（x+（π·S）T）∈ L（P）和π·S是每个Q下的上鞅∈ Ma表示单位期望值EeU（dQdP），其中符号π·S表示余弦积分。表示Q（x）=Q*（y） =Q*（V′（x））。在[12]中证明了选择imal策略π（x）∈ 存在∏xof问题（4），它是唯一的，且V（x）=EU（XT（x）），其中最优解XT（x）=x+RTπu（x）是一致可积的Q（x）-马氏体。此外，以下二元关系几乎可以肯定成立：u′（XT（x））=ZT（y），y=V′（x），（9）V′t、 x+Ztπu（x）dSu= Zt（y），t∈ [0，T]，（10），其中y=V′（x）（参见[13]和[11]中的命题A3，了解动态版本）。此后，我们将使用这些结果，无需进一步评论。我们的目标是研究动态价值函数V（t，x）和最优财富过程Xt（x）的性质。众所周知（参见[10]）对于任何x∈ R过程（V（t，x），t∈ [0，T]）是一个允许RCLL（左极限右连续）修改的超鞅。因此，使用Galchouk–Kunita–Watanabe（GKW）分解，值函数表示为V（t，x）=V（0，x）- A（t，x）+Ztψ（s，x）dMs+L（t，x），（11）其中∈ R过程A（t，x）是递增的，而L（t，x）是与M正交的局部鞅。让我们考虑以下假设：A）V（t，x）在xp-A.s是连续可微的两倍。

无论如何∈ [0，T]，b）对于任何x∈ 过程V（t，x）是一个特殊的半鞅，其有界变量部分相对于hMi绝对连续，即a（t，x）=Zta（s，x）dhMis，对于某些实值函数a（s，x），它对任何x都是可预测和hMi可积的∈ R、 c）对于任何x∈ R过程V′（t，x）是分解为V′（t，x）=V′（0，x）的特殊半鞅-Zta′（s，x）dhMis+Ztψ′（s，x）dMs+L′（t，x），其中V′、a′、ψ′和L′分别是V、a、ψ和L的x的偏导数。我们可以说（V（t，x），t∈ [0，T]）是一个正则的半鞅族，如果V条件a）、b）和c）满足，我们还将考虑以下条件：d）条件优化问题（7）允许解，即anyt∈ [0，T]和x∈ 存在一个策略π（t，x），使得v（t，x）=E每个s的U（x+ZTtπU（t，x）dSu）| Ft，（12）e）∈ 函数（Xs（t，x）=x+Rstπu（t，x）dSu，s≥ t） 在（t，x）P连续-a、 s。[8,9,10]中显示，如果价值函数满足条件a）-e），那么它将求解以下后向随机偏微分方程（BSPDE）V（t，x）=V（0，x）+Zt（~n′（s，x）+λ（s）V′（s，x））V′（s，x）dhMis+Zt洋（s，x）dMs+L（t，x），V（t，x）=U（x）。（13） 我们的目标是研究基本对象（资产价格模型和目标函数U）的条件，这将保证价值函数V（t，x）是一个正则的半鞅族，条件d）和e）也满足，以证明方程（13）的解存在。在第5节的定理3中，我们在完全市场的情况下提供了这样的类型条件。满足所有条件a）-e）的主要例子是指数效用函数U（x）=-E-带有风险规避参数γ的γx∈ (0, ∞).

在这种情况下，相应的值函数为for mV（t，x）=-E-γxVt，其中vt是一个特殊的半鞅。此外，eU（y）=yγlnyγ- 1.假设1等价于Q的存在∈ 具有有限相对熵EZQTln ZQT（见例[1]）。我们首先研究假设1是否意味着条件最大化问题（7）存在非最优策略，以及该策略与基本问题（4）的最优策略之间的关系。[13]中显示，如果我们从时间τ开始，以最佳财富xτ（x）为起点，那么（7）中的最佳值由π（τ，x）=π（0，x）I]τ，t]得到，即e[U（XT（x））|Fτ]≥ E[U（Xτ（X）+ZTτπudSu）| Fτ]，π∈ πτ，从贝尔曼原理可以很好地理解。在附加条件下，我们将证明（见定理1），如果westart在时间τ上的财富等于任意数量的x，那么（7）的最优策略π（τ，x）表示为最优策略π（x）=π（0，x），而（4）在时间τ上的最优财富xτ（x）=xτ（0，x）表示为πt（τ，x）=πt（x）-1τ（x）），t≥ τuhSi- a、 e.其中X-1t（x）是最优财富Xt（x）的倒数。在第三节中，我们建立了价值过程V（t，x）（11）的分解项与对偶价值过程V（t，y）的相应项之间的关系。[5]研究了与条件a）相关的问题，针对时间0时在正实线上定义的效用函数，以及[11]研究了与整个实线上定义的效用函数相关的动态价值函数V（t，x）。与条件b）和c）有关的问题，我们联系到反流X的存在性-1吨（x）的最佳财富。[11]给出了当f或任意t时，最优财富是xp-a.s的增函数，且存在Xt（x）的自适应逆的条件。

在第4节的命题2中，我们推导了最优财富ψt（x）=x的逆的随机微分方程-根据这一结果，我们给出了当b）和c）被填满时的3个假设条件。最后，在第5节中，在完全市场的情况下，我们给出了满足所有条件a）-e）的效用函数的条件，以及满足BSP DE（13）的价值函数V（t，x）。在本文[3]中，提出了一种新的方法，将问题（4）的解简化为前向后方程组的可解性，这也是一项艰巨的任务。注意，他们表明，在完全市场的情况下，该系统允许在类似于第5.2节条件r1）的条件下解决基本和条件效用最大化问题之间的关系。在本节中，我们研究了不完全市场中基于整条实线定义的效用函数的基本和条件效用最大化问题，并建立了关系在这些问题的最优策略之间。为此，我们首先给出一些定义和辅助断言。我们可以说，一个适应的随机过程（Xt，t∈ [τ，T]）是广义鞅（分别为上鞅）如果1）E（|Xt |/Fτ）<∞, 无论如何∈ [τ，T]2）E（Xt/Ft′）=Xt′（分别为。≤ Xt′）表示任何t′≤ t、 其中t′，t∈ [τ，T]（参见[14]定义中的广义条件期望和离散时间广义超鞅的定义）。如果E（U（x+RTτπudSu）/Fτ）是有限的且（（π·S）t，t），则可预测的S可积过程π在∏x，τ中≥ τ） 是每个Q下的广义超鞅∈ 有明确预期的最大产量（dQdP）。我们还需要两个补充假设。过滤是连续的、有限的→∞对于进程ZT（y）=ydQ，ZT（y）/y>0*（y） dP=yρ*T（y）。第三章。

效用函数U是可微分的两倍，常数c>0和c>0使得c<-U′（x）U′（x）<c，x∈ R.（14）最后一个条件类似于[5]中介绍的相对风险规避条件。对于指数效用函数，风险规避系数-U′（x）U′（x）=γ是一个常数，对于具有不同风险规避参数的指数效用函数的线性组合，条件（14）也满足。以下断言的证明来自[11]的定理4.1和命题3.1。提议1。假设1-3是满足的，那么对于任何∈ [0，T]最优财富过程（Xt（x），x）存在修正∈ R） （Zt（y）的对应）几乎所有的路径都是严格递增的，并且相对于dx（对应dy）是绝对连续的。除此之外，x′t（x）>0，等式（x）（x′t（x））≤ C、 （15）limx→∞Xt（x）=∞, 利克斯→-∞Xt（x）=-∞ （16） 任何t的P-a.s∈ [0，T]和适应的逆X-1t（x）（分别为Z）-存在最优财富过程的1t（y））。我们还需要平方特征Shx（x）的连续性- X（y）i可以从命题1中推导出来。引理1。假设命题1b的条件满足，那么，对于任何∈ [0，T]随机场（hX（x）- X（y）它，X，y∈ R） 允许持续修改。Proo f.根据命题1，Xt（b）- Xt（a）=RbaX′t（x）dx和ZbaEQ（x）hX′（x）iTdx=ZbaEQ（x）x′t（x）dx<∞通过Fubini定理Rbau′（XT（x））V′（x）hX′（x）iTdx<∞, P- a、 美国。

因此，通过v′（x）U′（XT（x））的连续性，我们得到了zbahx′（x）iTdx≤ 马克斯∈[a，b]V′（x）U′（XT（x））ZbaU′（XT（x））V′（x）hX′（x）iTdx<∞, P- a、 因此，利用渡边坤田不等式和H¨older不等式，我们得到Hx（b）- X（a）it=ZbaZbahX′（X），X′（y）itdxdy≤≤ZbaZbahX′（x）i1/2thX′（y）i1/2tdxdy=ZbahX′（x）i1/2tdx≤≤ （b）- a） ZbahX′（x）itdx<∞, P- a、 它由不等式hx（b′）得出- X（a′）it- hX（b）- X（a）它≤ hX（b′）- X（b）i1/2thX（b′）- X（a′）+X（b）- X（a）i1/2t+hX（a′）- X（a）i1/2thX（b′）- X（a′）+X（b）- X（a）i1/2thx（bn）- X（an）it→ hX（b）- X（a）它，P- a、 当bn→ b、 安→ a、 因此，由Hx（x）定义的随机场-X（y）i*t=limr→a、 r′→bhX（r）- 如果极限不存在于hX（X）的连续且随机等价的t，则它，r，r′是有理的，0- X（y）它。定理1。假设1-3是满足的。那么在∏τ，x和Zτ，y分别和等式XT（τ，x）=XT（x）中存在（7）的最大值和（8）的最小值-1τ（x）），πt（τ，x）=πt（x-1τ（x）），t≥ τ、 （17）Y（τ，Y）=ZT（Z）-1τ（y）），ρQ*T（τ，y）=ρQ*τ（y）ZT（Z）-1τ（y））y（18）满足。此外，P-a.s.V（τ，x）=EUx+ZTτπu（x-1τ（x））dSu| Fτ, （19） eV（τ，y）=EheU（ZT（Z-1τ（y））| Fτi，以下对偶关系x+ZTτπu（x-1τ（x））dSu= ZT（Z）-1τ（y）），y=V′（τ，x）（20）和过程zt（Z-1τ（y））Xt（X-1τ（x）），t∈ [τ，T]，其中y=V′（τ，x），（21）是广义鞅。根据最优性原理（参见[10]），V（t，Xt（x））是一个鞅，因为V（t，x）=U（x），我们对任何x都有它∈ RV（τ，Xτ（X））=EU（XT（x））/FτP- a、 s.（22）因为对于任何τ，函数V（τ，x）和xτ（x）对于几乎所有ω都是连续的∈ Ohm, 这个等式（22）对所有x持有P-a.s∈ R和X-1τ（x）在这个等式中，我们得到v（τ，x）=EU（XT（X）-1τ（x））/FτP- a、 这意味着XT（X）的最大值-1τ（x））。

让我们显示XT（X-1τ（x））等于随机积分xt（x-1τ（x））=x+ZTτπu（x）-1τ（x））dSu（23）和π（x-1τ（x））属于∏τ类，xIn为了表示等式（23），表示rtτπu（x）dSu就足够了x=ξ=RTτπu（ξ）dSu，对于ξ=x-1τ（x）。让我们考虑简单随机变量序列ξn=P∞k=-∞ckAk，其中Ak=（kn≤ ξ<k+1n），ck=kn。我们有ξn→ ξ统一与ztτπu（ξn）dSu=∞Xk=-∞ZTτπu（ck）1AkdSu==∞Xk=-∞AkZTτπu（ck）dSu=ZTτπu（x）dSux=ξn。另一方面，ztτπu（x）dSux=ξn-ZTτπu（x）dSux=ξ==XT（ξn）- Xτ（ξn）- （XT（ξ）- Xτ（ξ））→ 0，作为n→ ∞, 因为Xt（x）是连续的，而ztτ（πu（ξn）- πu（ξ））dhSiu==hX（x）- X（y）它- hX（x）- X（y）iτ| X=ξn，y=ξ→ 0，P- a、 s.as n→ ∞, 通过hX（x）的连续性-X（y）它。HenceRTτπu（ξn）dSu→RTτπu（ξ）dSu概率和RTτπu（x）dSux=ξ=RTτπu（ξ）dSu- P.a.s。。自从E|U（XT（x））|<∞ 和等式| Xt（x）|<∞, T∈ [0，T]对于任何Q∈ 马兰德X-1τ（x）是Fτ-可测的，我们有-1τ（x））|Fτ]<∞, EQ（| Xt（X）-1τ（x））|/Fτ）<∞ P-a、 科技部≥ τ另一方面，因为对于任何t∈ [0，T]函数（Xt（x），x∈ R） 连续且递增的超马氏不等式EQ（Xt（x）/Ft′）≤Xt′（x），t′≤ T≤ T意味着eq（Xt（X-1τ（x））/Ft′）≤ Xt′（X）-1τ（x）），τ≤ t′≤ T≤ t任何问题∈ 因此π（τ，x）=π（x-1τ（x））属于∏τ类，x（19）适用。