适度偏差制度下的期权定价

（6.10）第一个因素是（ekt）- ekt）+=（kt）- kt+O（kt））+=εkt+O（kt）。对于（6.10）中的第二个因素，我们将（i）与kt:limt一起应用↓0tktlog P[Xt≥~kt]=-2v。因此，lim inft↓0tktlog c（kt，t）≥ 极限↓0tkt-2vktt1+o（1）= -（1+ε）2v。现在让ε↓ 0来获得c（kt，t）所需的下限。至于上限，我们让p>1，并注意到，通过定义p7→ T*（p） ，我们有[Sp+1t]<∞ 尽管如此，t∈ [0，t*（p+1）]。定义St=sup0≤U≤Tsut公司≥ 0.通过Doob不等式（文献[27]中的定理3.8），我们得到了*（p+1）≥ s]≤E[Sp+1t*（p+1）]sp+1，s>0。因此*（p+1）有一个固定的pth时刻：E[（\'St*（p+1）p]=pZ∞服务提供商-1P[\'St]*（p+1）≥ s] ds<∞.利用支配收敛定理和S的连续性，我们得出↓0E[Spt]=Sp.（6.11）现在让1/p+1/q=1并应用H¨older不等式：c（kt，t）=E[（eXt- ekt）+{Xt≥[kt}]≤ E[（（分机）- ekt）+）p]1/pP[Xt≥ kt]1/q≤ E[Spt]1/pP[Xt≥ 通过（6.11）和（i），我们得到了↓0tktlog c（kt，t）≤qlim supt↓0tktlog P[Xt≥ kt]=-2qv。现在让p↑ ∞, i、 e，q↓ 1.同一论点得出了蕴涵的下界（ii）==>（i） 。（ii）的剩余上限==> （i） 它的显示非常类似于含义的下限（i）==> （二）。参考文献[1]A.Bentata和R.Cont，半鞅边缘分布的短时间渐近性。预印本，可在http://arxiv.org/abs/1202.1302, 2012.[2] H.Berestycki，J.Busca和I.Florent，局部挥发性模型的渐近性和校准，Quant。《金融》，第2期（2002年），第61-69页。波动率建模特刊。[3] H.Berestycki，J.Busca和I.Florent，计算随机波动率模型中的隐含波动率，Comm.Pure Appl。数学57（2004），第1352-1373页。[4] N·H·宾厄姆、C·M·戈尔迪和J·L·泰格尔，《正则变分》，数学及其应用百科全书第27卷，剑桥大学出版社，剑桥，1987年。[5] 布鲁尼克和S。

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