缺口风险和回购定价：美国的经济资本方法

从交易对手信用风险缓解的角度来看，回购以股票作为抵押。基于衍生品的证券融资交易，如总回报掉期（TRS）或信用违约掉期（CDS）受ISDA主协议管辖，其中衍生品按市值计价根据信用支持附件（CSA）进行抵押。在通过TRS或CDS进行的证券融资交易中，贷款人单独购买的资产用于为其贷款提供担保。  衍生抵押品账户：根据MRA和GMRA，回购的应计利息是每日保证金的一部分，而融资利息的现值不是。当它被放入交易账簿时，回购权益的pv因此是无抵押的。根据负债侧定价理论（Lou 2015），一个虚构的抵押品账户LTT将获得借款人的最高无担保利率rcif≥0，或银行自身的利率rbif~nt<0，即Ltis上的收益率）0）（（）0）（（）） TitrtRtRcBe.对于基于衍生品的SFT，此处使用相同的抵押品账户LTI，但当完整CSA到位时，它只支付无风险利率r。显然，如果没有CSA，交易对手的利率适用。让Lt表示Γt抵押品的市场价值，如果为正，则由丙方转给乙方，如果为负，则由乙方转给丙方。为简单起见，我们假设抵押品已满，即V的抵押品被分为回购保证金账户，该账户处理回购本金和衍生品抵押品账户。经济体只接受或收取零折减的抵押物，并在余额Lt上支付或收取再融资。此外，抵押过程高效、迅速，且从不过度抵押。所有利率均为短期利率，由外部决定。

RBA和RCR都有信用风险，而rf-r是一种类似于债券CDS的融资基础。RN是一个占位符，它可能不同于RBI，如果该银行从其高级管理层以外的地方筹集资金。2.2财富和融资等式列出了经济体的各种账户，我们现在开始定义SFT经济体的财富，用πt，t表示≤T.如果任何一方违约，回购协议可在其预定到期日之前终止。为了便于讨论经济资本，我们假设回购抵押品（购买的证券）是分离的，而不是再抵押的。如果贷款人违约，借款人可以收回其证券，这样贷款人就不会从自己的违约中受益。因此，只需要考虑借款人的违约。这与标准贷款分析一致。写下经济的财富πtas如下，），（1（PSTTNNLLSVM)1（式中Γt=I（τ≤t） 是C的默认指标，τ是C的默认时间。不包括银行账户中的现金的账户有条件不终止，即Γt=0，因此所有相关数量都被理解为默认值。为了缩短配方，所有的TSUBCRIPTS都被删除了。按照简化形式的建模方法，我们进一步假设默认时间是一个停止时间，具有通常的概率三元组（Ω，P，）中定义的自适应强度过程λ。MTA和NTA是非负适应随机过程。当t=0时，财富减少到0万纳什. 设M=0，N=0，使得π=0，也就是说，经济的初始资本从零开始。请注意，hs≥0 aswhenhs≥美国证券交易委员会贷款和国际单项体育联合会贷款为0≤回购为0。

如果债务账户与剩余股票融资金额挂钩，Nt=hsSt，违约前经济体的财富将减少到银行账户的余额，πt=。对于τ>t≥0，在正常业务过程中，本行采取交易策略对冲嵌入衍生工具，并履行保证金协议规定的所有必要的融资和信贷支持职能。多余的现金被存入银行账户，债务（如果有的话）会根据需要进行偿还和滚动。利息是收取和支付的。具体来说，在一小段时间内，在套期保值方面，以St+dSt的价格做空或重新平衡dΔ更多股票将看到dΔt（St+dSt）金额的现金流入。由于股票是借来的，所以必须向sec贷款机构支付额外的资金。债务账户支付利息金额rNNtdt，并转入新发行的Nt+dNt。银行账户应计利息金额rMtdt。在抵押方面，丙方在支付利息金额时以现金支付额外的抵押金额。回购本金账户支付rfNpdt，EC储备账户在收取rNcdt利息的同时支付rkNcdt。由流动性提供者提供资金的回购本金的任何增加。财富方程式的所有默认效应都隐含在银行账户中。如果违约发生在T之前，即τ<T，交易将立即结算，由此产生的现金流将被刷入银行账户，该账户成为T之前唯一有效的账户。由于违约结算，MTM可能会在τ处出现跳跃。

综上所述，经济体的违约前融资方程t<min（t，τ）如下所示，）（）（）（1)2（注意ls=（1+hs）ΔS和L=Γ，收集要达到的术语）（）（（1（SdtrdtrdtNrrdSddtNrrrMdtdMseckpfpt）)3（wheresnsshrr） )1.（是经济体的有效股票融资利率。当借款人违约于τ时，对冲可以在没有损失的情况下解除，因为在已建立的交易所进行股票交易，交易对手风险可以忽略不计。delta对冲的股票融资账户也会立即解除，并返还超额抵押金额hτ，以支付已发行票据Nτ。因此，不会产生净现金流。）om股票对冲账户τ、股票融资账户Ls和已发行债务账户N。此外，嵌入式衍生工具Γtoffset与衍生工具抵押品账户L。在回购协议中，τ时的贷款金额为Np（τ），抵押品市场价值为Np（τ）/（1-h）。在这里，我们假设在默认时间之前，即在τ-，没有未命中精加工。实际上，我们将第一次未获追加保证金通知视为违约。这是用于建模的简化默认时间线。有关保证金和违约时间线的详细讨论，请参见安徒生、皮克廷和索科尔（2016）。假设股票抵押品在风险u的保证金期结束时以清算折扣（表示市场流动性溢价）进行清算，回购保证金账户将以（11）、（min）的金额进行结算(pupNSShgN. 结算金额可能会导致低于PO本金金额。

贷款人的损失由第111条（（）1）款给出(SShgNRulup）4（其中R是丙方的适用回收率。在违约时间τ和τ+u的损失结算之间，向流动性提供方支付的利息可以继续累积。由于MPR规定的累积期较短，通常为5个工作日，因此暂时可以忽略累积。在违约时，可以暂停向资本融资方支付股息，等待违约结算。因此，MPR期间的唯一现金流是在r时累积的银行账户。由于除银行账户外的所有账户都匹配，在完成违约结算之前的经济财富是银行账户的余额。如果发生损失，将从余额中扣除。如果余额为负值，将提取独立准备金账户来弥补差额。在损失不超过Nc的范围内，本金金额为无损失NP，并全额返还给流动性提供者。NPC仍可能遭受损失，尽管尾部损失的可能性可以忽略不计，比如当资本的置信区间设定为99.9%时，损失为0.1%。我们假设这一尾部损失以Np的利率定价，并由流动性提供者吸收。2.3 PDE推导，包括滞后违约结算，时间t，t的微分财富方程≥u、 可以这样写，）（））（（1（）（）（sdtrdtrdtnrrdsddtnrrttlutdtrdseckpfptt)5（如果t=τ+u，则dΓ项记录时间t的默认现金流结算。假设股票价格遵循几何布朗运动，其真实世界收益率μ和波动率σ，dS=μSdt+σSdW。

将伊藤引理应用于Γt，建立delta对冲，并假设确定性短期利率和违约强度，结果如下：dttelnrrrrrsssrtdttteltlutdtrdckpfpesttt（）（）（）（1（）（）1（）（）（22221`)6（式中）（[）（utlEtElt.  右侧的第二项是第一项的补偿，假设t+u处的损失与违约无关，即没有特定的错误方向风险。将右侧的dt项设置为零会导致以下PDE，0（）（22221CKPFPESNRRTRERSSSRT)7（方程式（7）是回购嵌入衍生工具的公允价格以及回购公允价值的适用PDE。左边的前四个术语与衍生工具负债侧定价相同（Lou 2015）。第五项是回购融资所得收入，第六项是MPR期间预期损失的冲销或时间衰减，最后一项是因gaprisk而产生的经济资本融资成本。典型的FVA PDE中没有最后两个术语，例如Burgard和Kjaer（2013），因为其中没有考虑差距风险。第六个术语与其他KVA PDE不同，比如Green等人（2014年），在监管资本上直接收取资本成本，而不建模缺口风险及其经济价值。隔离经济体的净财富πt代表一个对冲误差，该误差源于跳转到违约事件时的缺口损失l（t）。在下一节中，我们将指出与SFT经济体对冲误差对应的经济资本，该经济体已进入上述PDE，但尚未指定。3.

用经济资本衡量和管理套期保值误差现在假设嵌入衍生工具公允价值过程满足PDE（7），套期保值误差项（6）变为TTELLDTRDDATUTTT)()1()( .)8（对于时间s>0，数据可以被积分得到，因为延迟结算，跳跃项需要从u积分到s+u，而生存项需要从0积分到s。stssdttEllA0）1(.)9（假设违约结算损失独立于跳转到违约事件，可以很容易地验证E[As]=0和a=0的鞅，对于s>t>u，条件是在时间t，t<τ，）（）（）(^sttsdyyEllstIAA.）10（A可以被解释为截至时间s的净对冲损失累积，不包括银行账户中的无风险增长。看待经济损失和资本要求的自然方式是考虑终端损失。3.1确定经济资本的检查，在给定q-tile的VaR度量中，}1）Pr（：），0[inf{qxAxVaRTA.)11（其中ATI的尾部分布由 TTdPdttElxlxA0 0）0（））（（）（Pr[）Pr()12（因为E[AT]为零，经济资本与VaRA相同，即Nc=VaRA。显然，Varaca可以在远期时间t定义，假设丙方当时尚未违约。VaRAis为固定时间，到期日t，而准备金账户Nc（t）从时间0开始设置。一个简单的调整是将其折价，即Nc（t）=VaRA*β（t）/β（t），其中trdst0）exp（）(.  这个定义自然适用于某些固定时间范围内的套期保值误差最小化方案，如Duffie和Richardson（1991）。或者，可以检查套期保值错误，并将其最小化。乘以无风险平减指数βtto方程（8），并从t积分到t再积分到arriveat，TTSSTTDA.

因为平减指数是连续的，是一个鞅，所以贴现套期保值误差也是一个鞅。在一个非默认路径上，其中Γs=0，对于t，dΓs=0≤s≤T、 路径积分给出ttstttsusel.）()13（这表明经济体的贴现财富在无违约路径上以违约强度乘以MPR期间预期损失的速率持续累积。在违约时间<T的违约路径上，由于违约结算而跳跃，可能导致损失，路径积分变为注意，我们总是有TTfor<T。现在我们可以定义在经济的整个剩余持续时间内，在时间T的经济价值损失及其VaR，如下所示：^1）^Pr（：inf{qxRxVaRtt）.)15（因为E[t^]为零，Nc（t）=VaRt。这个定义在形式上更简单，用于公式（7）。当一项损失实现，而财富不足以支付损失时，储备账户中的资金将被提取以弥补损失。在预期的基础上，财富增长足以弥补损失，因此经济资本确实是用于意外损失的。如果资产价格动态不取决于借款人违约，那么^变成TttttdPxIEx）（]|）^（[）^Pr(,)16（其中dPt（τ）是在时间t上看到的时间τ的违约概率，即远期违约曲线，tsttdsElxbblxIE），Pr（]|）^（[）17（3.2新的估值调整GAP_EVA和KVA随着经济资本的定义，PDE（eqt.7）被完全指定。应用费曼-卡克定理并注意到Γ（T）=0得出定价公式，）（）（[）（Dsselsnsnsnsseetckptdurtste)18（其中sp=rp Rf为流动性利差，sk=rk-r为资本费用利差。

在不考虑交易对手风险和MPR缺口风险的情况下，]（[）（*DSNSEETPTTRDUQTST假设U（t）=Γ*（t）-Γ（t）是对Γ*的估值调整，由以下公式给出：（[]，）（[GAP_]，）（[，GAP_]）（[GAP_]）（[DsensekVdSesselevesResrrakvaevacrattDurckqttdureqtsteste)19（除了交易对手风险调整（CRA），我们现在发现capturinggap risk引入了两种新的公允价值调整，即gap risk value adjustment（gap-EVA）和economic capital value adjustment（KVA），分别反映了gap risk capital的经济增加值和融资成本。CRA和KVA之间没有重叠，因为后者致力于解决CRA中不存在的MPR缺口风险。请注意，与其他KVA研究（Greenet al 2014）相比，GAP-EVA是新的，其中KVA基于监管资本，而非经济资本，如本文所示。如果预期损失El和经济资本Nc（t）是通过引用标准化进度表等方式进行外部计算的，则PDE可以通过有限差分法求解。将CRA分解为双边、一致的CVA和FVAcan，可以通过在各方的合成曲线或现金曲线中转换来解决PDE（2015年）。因为KVA本身是公允价值的一部分，所以KVA的公式通常是递归的。然而，如果直接实施，开放式IR01可能会带来风险，在定义不准确的情况下，它可能会以与FVA相同的方式吸引资本。3.3回购公式DE（7）以与期权相同的方式精确规定了回购公允价值对股价的依赖性。

然而，一般的理解和商业惯例通常不会将回购协议视为衍生产品，因为存在大量的折减、每日保证金和契约，尤其是对于非cusip回购融资工具，这将阻止资产价格依赖。事实上，如果Γ不是S的函数，则PDE（7）简化为一个常微分方程，0（ tElNsNsrdtdckppe)20（当Np和El在时间上是常数，并且如果Ncis设置为常数，例如账面期间的平均资本，λ为常数，则通过求解方程（20），ApvelnsCkPP，可以找到回购公允价值公式）()21（其中apv是借款人的风险贴现年金。对于交易前定价，通过将Γ设置为零，我们获得盈亏平衡回购公式，.ppckfpnelnsr)22（我们现在在等式（21和22）中直观地看到经济资本费用。公式（22）特别正式说明了街头交易者在向基金rf成本加上监管资本费用以及利润利差以达到回购利率时所做的事情。El和Ncare由一个考虑抵押资产和借款人信贷联合动态的折减模型提供，例如Lou（2016），其中资产回报和信贷利差之间的相关性仅显示出轻微的影响。这是由于每日保证金和短期MPR。因此，不存在引入随机违约强度的实际需要。