数学模型和技术分析策略的稳健性

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英文标题：
《Robustness of mathematical models and technical analysis strategies》
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作者：
Ahmed Bel Hadj Ayed, Gr\\\'egoire Loeper, Fr\\\'ed\\\'eric Abergel
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The aim of this paper is to compare the performances of the optimal strategy under parameters mis-specification and of a technical analysis trading strategy. The setting we consider is that of a stochastic asset price model where the trend follows an unobservable Ornstein-Uhlenbeck process. For both strategies, we provide the asymptotic expectation of the logarithmic return as a function of the model parameters. Finally, numerical examples find that an investment strategy using the cross moving averages rule is more robust than the optimal strategy under parameters mis-specification.
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中文摘要：
本文的目的是比较参数错误下最优策略和技术分析交易策略的性能。我们考虑的背景是随机资产价格模型，其中趋势遵循不可观察的Ornstein-Uhlenbeck过程。对于这两种策略，我们都提供了对数收益的渐近期望，作为模型参数的函数。最后，数值算例表明，在参数不确定的情况下，采用交叉移动平均规则的投资策略比最优策略更稳健。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
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关键词：分析策略 数学模型 技术分析 稳健性 Quantitative

数学模型和技术分析策略的稳健性Sahmed Bel Hadj Ayed，Grégoire Loeper，Frédéric AbergelAbstract。本文的目的是比较参数错误下最优策略和技术分析交易策略的性能。我们考虑的背景是随机资产价格模型，其中趋势遵循不可观测的Ornstein-Uhlenbeck过程。对于这两种策略，我们都提供了对数收益的渐近期望作为模型参数的函数。最后，数值例子发现，在参数特定的情况下，使用交叉移动平均规则的投资策略比最优策略更稳健。引言金融市场存在三种主要的投资方法（见Blanchet Scalliet等人（2007））。第一个是基于基本经济原则（详见Tideman（1972））。第二种方法称为技术分析方法，使用历史价格和数量（详见Taylor&Allen（1992）、Brown&Jennings（1989）和Edwards等人（2007）。第三个是数学模型的使用，在默顿（1969年）提出。他假设风险资产遵循几何布朗运动，并推导了投资者最大化其预期效用函数的最优投资规则。这个问题可能有几个概括（见Karatzas&Zhao（2001）、Brendle（2006）、Lakner（1998）、Sass&Hausmann（2004）或Rieder&Bauerle（2005）等），但所有这些模型都面临校准问题。在BelHadj Ayed等人（2015a）中，作者评估了通过未观察到的均值回复差异建模预测趋势的可行性。他们表示，由于信噪比很低，很可能会出现不好的校准。

Zhu&Zhou（2009）使用相同的风险资产模型，分析了基于几何移动平均规则的技术分析策略的绩效。在Blanchet Scalliet et al.（2007）中，作者假设漂移是一个不可观测的常数分段过程，在未知时间跳跃。它们提供了量化金融、实验室MAS、CentralessupélecBNP Paribas全球市场、纳什大学在参数错误规定下的最佳交易策略的绩效，并将该策略与基于蒙特卡罗模拟的简单移动平均规则的技术分析投资进行了比较。在本文中，我们考虑一个随机资产价格模型，其中趋势是不可观测的Ornstein-Uhlenbeck过程。这项工作的目的是描述和比较参数错误下最优策略和交叉移动平均策略的性能。本文的组织结构如下：第一部分介绍了模型，回顾了滤波理论的一些结果，并将卡尔曼滤波估值器改写为修正的指数平均值。第二部分研究了参数指定下的最优交易策略。对于这个投资组合，我们得到了对数收益率的随机微分方程。利用这一结果，我们以闭合形式给出了对数收益作为信噪比和趋势平均回归速度函数的渐近期望。我们通过给出模型的条件和策略参数来结束这一部分，这些条件和参数保证了正的渐近期望对数回报和最优持续时间的存在。在第三部分中，我们考虑交叉移动平均策略。对于这个投资组合，我们还提供了对数回报的随机微分方程。

我们通过以闭合形式给出对数回报作为模型参数函数的合意期望来结束这一部分。第四部分给出了数值算例。首先，在几种趋势模式下，说明了卡尔曼滤波器和最优策略低于参数错误规定的最佳持续时间。然后，我们比较了交叉移动平均策略和行业中使用的经典最优策略（持续时间τ=1年）在几个理论制度下的表现。我们还使用蒙特卡罗模拟比较了赫斯顿随机波动率模型下的这些表现。这些例子表明，在参数规定下，技术分析方法比最优策略更稳健。我们通过基于真实数据的实证检验来确认这一结论，从而结束这项研究。1.设置本节首先介绍模型，该模型对应于平均值回复差异。之后，我们在一个完全可观察的环境中重新构建了这个模型（详见Liptser&Shiriaev（1977））。此设置引入趋势的条件预期，了解过去的观察结果。然后，我们回顾了卡尔曼滤波器的渐近连续时间极限，并将该估计器改写为修正的指数平均值。1.1. 模型。考虑一个生活在随机基础上的金融市场(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft，t>0}是与二维（不相关）维纳过程（WS，Wu）相关的自然过滤，P是客观概率度量。风险集S的动态由DSTST=utdt+σSdWSt（1）dut=-λutdt+σudWut，（2）u=0。我们还假设（λ，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+. 参数λ称为趋势平均回归速度。实际上，λ可以被视为将趋势拉回到零的“力量”。

表示byFS=nFStobe是与价格过程相关的自然过滤。重要的一点是，只有适应FS的过程才是可观察的，这意味着该市场的代理商没有观察到趋势u1.2。可观察的框架。如上所述，经纪人只能观察股价过程。由于趋势u不可测量，经纪人不能直接观察。实际上，模型（1）-（2）对应于一个具有部分信息的系统。以下命题给出了模型（1）-（2）在observableframework中的表示（详见Liptser&Shiriaev（1977））。提议1。风险资产S的动态也由DSTST=Ehut | FStidt+σSdNt给出，（3），其中N是aP、 财政司司长维纳过程。备注1.1。在过滤理论中（详见Liptser&Shiriaev（1977），过程N被称为创新过程。要理解这个名称，请注意：dNt=σSdStSt- 呃ut | FStidt！。然后，DNTre展示了当前观察结果与我们期望了解的过去观察结果之间的差异。1.3. 最佳趋势估计器。系统（1）-（2）对应于线性高斯空间状态模型（详情见Brockwell&Davis（2002））。在这种情况下，卡尔曼滤波器给出了最佳估计量，它对应于条件期望Ehut|FSti。因为（λ，σu，σS）∈ R*+×R*+×R*+, 模型（1）-（2）是一个可控和可观测的时不变系统。在这种情况下，众所周知，估计误差方差收敛到一个唯一的常数值（详见Kalman et al.（1962））。这与稳态卡尔曼滤波器相对应。以下命题（见Bel Hadj Ayedet al.（2015a）的证明）给出了稳态卡尔曼滤波器的第一个连续表示：命题2。稳态卡尔曼滤波器的持续时间限制取决于资产回报率：dbut=-λβbutdt+λ（β- 1） dStSt，（4）其中β=1+σ||λσS！。

（5） 稳态卡尔曼滤波器也可以重写为修正的指数平均值：命题3。but=m*~u*t、 （6）其中m*=β-1β和u*是由以下公式给出的指数平均值：du*t=-τ*~u*tdt+τ*dStSt，（7）具有平均持续时间τ*=λβ.2. 参数错误规格下的最优策略在本节中，我们考虑参数错误规格下的最优交易策略。对于这个投资组合，我们首先给出了对数回报的随机微分方程，并给出了对数回报的渐近期望。2.1. 上下文考虑第一节中定义的金融市场，该市场具有无风险利率且无交易成本。设P为自筹资金投资组合，由以下公式给出：dPtPt=ωtdStSt，P=x，其中ω是投资于风险资产的财富比例（也称为控制变量）。代理的目标是在分配过程的容许域A上最大化其期望的对数效用。在本节中，我们假设代理无法观察趋势u。形式上，A表示所有FS渐进过程和可测过程，问题是：ω*= arg supω∈AE[ln（Pt）| P=x]。这个问题的解决方案是众所周知且易于计算的（例如，seeLakner（1998））。事实上，它有以下形式：ω*t=Ehut | FStiσS。在实践中，参数未知，必须进行估计。在BelHadj Ayed等人（2015a）中，作者评估了通过未观察到的均值回复差异建模预测趋势的可行性。他们表明，由于信噪比很低，很可能出现错误的校准。使用命题3，稳态卡尔曼滤波器是过去收益的修正指数移动平均数。

因此，对参数（λ，σu）的错误规定等同于对因子β的错误规定-1β和关于持续时间τ*.假设一个代理认为最佳持续时间为τ，并考虑：dut=-τutdt+τdStSt，（8）u=0。（9） 使用该估计器，代理人将投资以下项目：dPtPt=m)utσSdStSt，（10）P=x，（11）其中m>0。下面的引理给出了这个过滤器的定律：引理2.1。等式（8）的指数移动平均值由以下公式给出：)ut=e-tττ中兴通讯τusds+σSZtesτdWSs. （12） 此外，该滤波器是一个中心高斯过程，其方差为：V[~ut]=σS2τ1.- E-2tτ+σuτλτ- λτe-2tτ- 1+1 - E-t（λ+τ）τ+λ+2e-t（λ+τ）- E-2t（λ+τ）- E-4tτ- λ.证据将它的引理应用于函数f（ut，t）=tutetτ，并使用方程（1），可以得出：df（ut，t）=etτutdt+σSdWSt.这个随机微分方程从0到t的积分给出了一个等式（12）。因此，μ是一个高斯过程。其平均值为空（因为u=0）。由于u和Ws被认为是独立的，因此过程的方差μ等于V的和E-tτRtesτsds和VE-tτσSRtesτdWSs. 第一项使用以下公式计算：V中兴通讯=中兴通讯+sτE[usus]DSD。因为u是以Ornstein Uhlenbeck为中心的≥ 0，我们有：E[usut]=Cov[us，ut]=σu2λE-λ（s+t）e2λs∧T- 1..最后，使用以下公式计算第二项：VZteksdWSs=2ke2kt- 1.,k>0时。2.2. 投资组合动态。以下命题给出了错误规定的最优投资组合的随机微分方程：命题4。方程（10）得出：d ln（Pt）=mτ2σSd＠ut+m＠utσS1.-M-2τ!dt。（13） 证据。等式（10）等价于（通过它的引理）：d ln（Pt）=mutσSdStSt-m/ut2σSdt。使用方程（6），d ln（Pt）=mτσS＠utd＠ut+m＠utσS-mutσSdt，方程（6）上的引理给出：dut=2utdut+σsτdt。利用这个方程，对数回报率的动态如下。备注2.2。

命题4表明，最优策略的收益可以分解为两项。第一个代表已实现回报平方上的期权（称为期权价格）。第二个术语称为交易影响。这些术语在Bruder&Gaussel（2011）中针对该策略进行了介绍和讨论，但没有考虑风险资产的具体差异。2.3. 预期对数回报。下面的定理给出了错误指定的最优策略的合意预期对数回报。定理2.3。考虑等式（10）给出的投资组合。在这种情况下：limT→∞埃林PTPiT=mτ（β）- 1) (2 - m）- Mτ +λ4ττ +λ, （14） 式中，β由等式（5）给出。证据利用命题4，可以得出如下结论：E自然对数PTP=mτ2σSE（μuT）+mZTE（μuT）（2）- m） 2σS-2τ!dt。此外，引理2.1给出了Eh（)ut）iis。然后，将表达式从0积分到T，并使T趋于∞, 结果如下。下面的结果是前一个定理的推论。它表示作为信噪比和趋势平均回复速度λ函数的渐近预期对数回报。推论2.4。考虑等式（10）给出的投资组合。在这种情况下：limT→∞埃林PTPiT=m2τ（2）- m） 信噪比- m（λτ+1）4τ（λτ+1），（15）其中SNR是信噪比：SNR=σu2λσS。（16）此外：（1）如果m<2，对于固定的参数值λ，该渐近期望对数返回是SNR的递增函数。（2） 对于固定参数值SNR，它是λ的递减函数。证据由于β=q1+2SNRλ，在等式（14）中使用该表达式得出结果。备注2.5。假设代理进行了良好的校准，并使用m*=β-1β和τ*=λβ. 在这种情况下，我们得到了BelHadj Ayed等人的结果。

（2015b）：limT→∞埃林PTP它=信噪比+λ-qλ（λ+2SNR）, （17） 式中，SNR在等式（16）中定义。下面的命题给出了趋势参数和持续时间τ的条件，这些条件保证了正的渐近期望对数回报和最优持续时间的存在。提议5。考虑等式（10）给出的投资组合，假设m<2。在这种情况下，渐近期望对数回归是正的当且仅当：（1）SNRλ>2m2-m、 （2）τ>τmin，式中：τmin=m2（2- m） 信噪比- λm.（18）此外，存在一个最佳持续时间τmin<τopt<∞ 如果且仅当yIFSNRλ>2m2-mand:τopt=m+q（2- m） 2mSNRλ2（2- m） 信噪比- λm.（19）证明。使用等式（15），命题的第一部分如下。由于错误指定策略的渐近预期对数回报在τmin之后为正，如果τ趋于完整，则趋于零，因此存在最佳持续时间τopt。将方程（15）对参数τ的导数设为零计算该点。3.交叉移动平均线策略在本节中，我们考虑基于几何移动平均线的交叉移动平均线策略。对于该投资组合，我们首先给出对数回报的随机微分方程，并以闭合形式提供对数回报的渐近期望。3.1. 上下文考虑第一节中定义的金融市场，该市场具有无风险利率且无交易成本。设G（t，L）为窗口上股票价格在t时刻的几何移动平均值L:G（t，L）=expLZtt-洛格（苏）杜. （20） 假设Q是一个自融资投资组合，由以下公式给出：dQtQt=θtdStSt，（21）Q=x，（22），其中θ是代理人在风险集合中投资的财富份额：θt=γ+α1G（t，L）>G（t，L）和γ，α∈ R和0<L<L<t。这种交易策略是固定策略和纯交叉移动平均策略的组合。3.2. 投资组合动态。

以下命题给出了交叉移动平均投资组合的随机微分方程。提议6。方程式（21）得出：d ln（Qt）=γ+α1G（t，L）>G（t，L）ut-γσS-（α+2αγ）σSG（t，L）>G（t，L）！dt+γ+α1G（t，L）>G（t，L）σSdWSt。证据将它的引理应用于过程ln（Q）并使用G（t，L）>G（t，L）=1G（t，L）>G（t，L），命题6如下。3.3. 预期对数回报。下面的定理给出了交叉移动平均投资组合的辛期望对数回报。定理3.1。考虑等式（21）给出的投资组合。在这种情况下：limT→∞埃林QTQ它=-γσS-（α+2αγ）σSΦm（L，L，σS）√s（L，L，λ，σu，σs）+ασuL1.- E-λL- L1.- E-λL2λLL√s（L，L，λ，σu，σs）Φ-m（L，L，σS）√s（L，L，λ，σu，σs）！，式中Φ是标准正态变量的累积分布函数，m（L，L，σS）=-σS（L）- 五十） ，s（L，L，λ，σu，σs）=σ|λ+σs！（L）- 五十） 3L-σuλL-L+σλ“L1.- E-λL+L1.- E-λL-陆上通信线1.- E-λL1.- E-λL-陆上通信线E-λ（L）-L）- E-λ（L+L）.证据由于过程u和WSQ以中心为中心，命题6暗示：E“lnQTQ#=-γσS（T）- 五十） +αZTLEhutG（t，L）>G（t，L）idt-（α+2αγ）σSZTLEhG（t，L）>G（t，L）idt，其中t>L。让t>Land考虑以下过程：Xt=m（t）- m（t），（23）在哪里我∈ {1,2}:mi（t）=LiZtt-李洛（苏）杜。那么X是一个高斯过程。基于朱周（2009）的引理2，t>L:{G（t，L）>G（t，L）}<=> {Xt>0}，（24）EhG（t，L）>G（t，L）i=ΦE[Xt]qVar[Xt], （25）EhutG（t，L）>G（t，L）i=Cov[Xt，ut]qVar[Xt]Φ-E[Xt]qVar[Xt]（26）下面的引理给出了过程X的平均值、渐近方差以及过程X和u之间的协方差函数。引理3.2。考虑等式（23）中定义的过程X。在这种情况下，t>L:E[Xt]=-σS（L）- 五十） ，（27）限制→∞Var[Xt]=s（L，L，λ，σu，σs），（28）Cov[Xt，ut]=g（t，L）- g（t，L），（29），其中s（L，L，λ，σu，σs）在定理3.1和g（t，L）中定义=-σue-λtλL（λL+sinh（λ（t- 五十） )- sinh（λt））。（30）引理3.2的证明。