最优条件下可变年金担保的统一定价

表示TNA（t）之前和之后的收益基数值-n） 和A（t+n），财富账户w（t）也是如此-n） 和W（t+n）。合同产品规格确定：o本期合同（担保）提款金额（tn）-1，tn]这可能取决于收益基数A（t-n） 和/或W（t-n） .o与事件前后的状态变量相关的事件时间跳变条件，以撤回到容许空间an:W（t+n）：=hWn为准W（t）-n） ，A（t）-n） ，γn, （1） A（t+n）：=hAnW（t）-n） ，A（t-n） ，γn, （2） γn∈ 一W（t）-n） ，A（t）-n）, （3） 其中，hWn（·）和hAn（·）是一些函数，也可能取决于费用、惩罚和年度升级参数。例如，如果在tn处只能使用棘轮∈ Trand noother contract events，thenA（t+n）=maxA（t）-n） ，W（t）-n） ×1tn∈Tr.实际上，在同一时间可能会发生多个事件，如提款、棘轮、奖金等，合同规范决定了这些事件的顺序如果投保人在t=t时仍然在世，则合同到期时的支付PT（W，A）o如果投保人在（tn）期间死亡，则向tn的受益人支付Dn（W，A）-1，tn]，n=1，N.o保单持有人收到的现金流fn（W（t-n） ，A（t）-n） ，γn）在事件时间tn，n=1，N- 1.这可能与处罚不同。规格细节通常因不同公司而异，很难从很长的产品规格文件中提取。此外，学术文献中给出的特定GMxB的结果通常指的是不同的规范。一旦合同设计规定了上述条件，即函数hWn（·）、hAn（·）、PT（·）、PD（·）、efn（γn）和撤回的容许范围，并且在（tn）内假设状态变量的特定随机演变-1，tn），n=1。

N，则合同的定价可以通过数值方法完成。特别是，如果取款是最优的，那么定价可以通过PDE、直接积分或基于回归的MC方法来实现。如果取款是确定性的，那么可以使用标准MC、PDE和直接积分方法。特定数值技术的使用取决于潜在随机模型的复杂性。3随机模型通常在文献中，VA附加条款下的金融风险资产S（t）的随机模型假设金融市场中不存在套利，这意味着存在风险中性度量Q，根据该度量，支付流可以作为预期贴现价值进行估值。此外，这意味着复制合同的投资组合成本由其在Q下的预期贴现值给出。因此，合同的公平价格可以表示为合同贴现现金流相对于Q的预期。文献中考虑的一些模型假设金融市场是完整的，这意味着风险中性度量Q是唯一的。还假设市场拥有一项无风险资产，该资产以无风险利率持续累积。这些都是关于金融衍生品定价的学术研究文献中的典型假设，对于这方面的好教材，我们请读者参考，例如Bj¨ork（2004）。关于死亡风险，假设通过向许多投保人出售合同，死亡风险完全分散。对于系统性（未分散的）死亡风险，可使用精算保费原则调整风险中性公允价值，如Gaillardetz和Lakhmiri（2011）。

另一个常见的假设是死亡率和财务风险是独立的。关于VA骑手定价的文献中通常考虑的一个基准模型是著名的Black-Scholes动态模型，用于参考资产组合S（t），在风险中性度量下，Q已知于bedS（t）=r（t）S（t）dt+σ（t）S（t）dB（t）。（4） 这里，B（t）是标准的维纳过程，r（t）是无风险利率，σ（t）是波动率。在这种模式下，金融市场是完整的。在不丧失一般性的情况下，可以假设模型参数是时间离散化0=t<t<·tN=t的分段常数函数。将相应的资产价值表示为S（t），S（tN）和无风险利率和波动率，r和σ，σ。也就是说，σ是（t，t）的波动率；σ是（t，t）等的波动率，利率也是如此。在将上述模型扩展到随机利率和/或随机波动率的情况下，VA附加条款的定价已在Forsyth和Vetzal（2014）、Luo和Shevchenko（2016）、Bacinello等人（2011）、Huang和Kwok（2015）中制定。关于死亡率建模，标准方法是使用官方生命表来估计死亡概率qn=Pr[In=0 | In]-1=1]在（tn）期间-1，tn]。生命表提供特定国家每个年龄和性别的年死亡概率；一年内时间段的概率可以通过线性插值找到，见罗和舍甫琴科（2015b）。

与aLife表不同，Inley和Carter（1992）引入的基准Lee-Carter模型等随机死亡率模型也可用于预测所需的死亡概率（考虑系统死亡风险）。对于给定的风险资产过程S（t），t≥ 0，财富账户的价值W（t）演变为W（t-n） =W（t+n）-1） S（tn）-1） S（tn）e-αdtn，W（t+n）=max（W（t-n）- γn，0），n=1，2，N、 （5）式中，dtn=tn- tn-1和α是合同发行人为提供担保而持续收取的年费。在S（t）遵循几何布朗运动过程（4）的情况下，我们有S（tn）=S（tn）-1） e（注册护士）-σn）dtn+σn√dtnzn，其中z，ZN是独立且同分布的标准正态随机变量。在实践中，担保费的收取是离散的，与财富账户成比例的，而财富账户很容易被纳入财富流程（5）。以eα表示离散收费的基金，财富过程变为sw（t-n） =W（t+n-1） S（tn）-1） S（tn），W（t+n）=最大值W（t）-n） （1）- eα（dtn）- γn，0, n=1，2，N.（6）通常，在第7节给出的数值结果中，我们没有观察到连续收费和离散收费之间的差异。另一种流行的收费结构对应于按收益基础的比例收取的费用，因此W（t-n） =W（t+n）-1） S（tn）-1） S（tn），W（t+n）=最大值W（t）-n）- A（t）-n） eαdtn- γn，0, n=1，2，N.（7）此处，假设在提取前扣除离散费用，但也可以根据合同规格进行调整。为简单起见，我们不考虑共同基金为管理投资组合而收取的管理费。如果管理费α是外生的，则会对VA担保发行人应收取的公平费用α产生影响。这可以如中所述完成。

Forsyth和Vetzal（2014），可以很容易地纳入本文概述的框架。显然，与αm=0的情况相比，对于给定的αm>0，α将更大。管理费降低了投资账户的绩效，从而增加了担保的价值，如GMWBor Forsyth的Chen等人（2008年）和GLWB的Vetzal（2014年）所述。他们评论说，希望提供最廉价担保的保险公司可以在相应的廉价交易所交易指数基金上提供担保，而不是在收取额外费用的托管共同基金账户上提供担保。4.GMWB、GLWB、GMAB、GMIB和GMDB在行业和学术文献中有许多不同的规范。在本节中，我们提供了一些标准VA骑手设置的数学公式。我们假设担保费α是连续收取的。如果费用是分散收取的（在撤销和其他合同事件之前），则应对本节中的公式进行以下调整：W（t-n）→ W（t）-n） （1）- eαdtn），如果费用与财富账户成比例，则-n）→ 最大值（W（t）-n）- A（t）-n） eαdtn，0），如果费用与收益基数成比例。4.1 GMWBA VA与GMWB签订的合同承诺，无论投资组合表现如何，在保单有效期内，通过现金取款以及到期时的剩余账户余额，至少返还全部初始投资。通常在学术文献中，所研究的GMWB类型具有非常简单的结构，其中罚金适用于支付给合同持有人的现金流，而收益基础由全额提取金额减少。

具体来说，A（t+n）：=hAn（W（t）-n） ，A（t）-n） γn=A（t）-n）- γn，（8）带γn∈ An，An=[0，A（t-n） ]；支付给合同持有人的现金流量为-n） ，A（t）-n） ，γn）=γn，如果0≤ γn≤ Gn，Gn+（1）- β） （γn- 如果γn>Gn，（9）其中β∈ [0，1]是超额提款的惩罚参数。合同金额定义为Gn=W（0）（tn- tn-1） /T和到期条件isPT（W（T-N） ，A（t）-N） ）=max（W（t）-N） ，efn（A（t-N） ））。请注意，上述规定不允许提前退保，这可以通过扩大退保空间来实现。此外，没有死亡福利；假设在投保人死亡的情况下，受益人将维持合同。本合同仅具有便于比较不同学术研究结果的基本特征，如陈和福赛斯（2008）、戴等人（2008）、罗和舍甫琴科（2015c）、罗和舍甫琴科（2015a）。行业中常见的规范包括合同金额GNI与Gn=W（0）（tn）不同的情况- tn-1） /T，并对提取的金额和收益基数进行罚款。

例如，Moenig和Bauer（2015）中用于与行业产品进行比较的规范包括：efn（W（t-n） ，A（t）-n） ，γn）=γn- δ过剩- δ惩罚，δ超额=βenmax（γn- min（A（t）-n） ，Gn），0），δ罚金=βGn（γn- δ超额）×1x+tn<59.5，（10），其中x是投保人在t=0时的年龄，βenand和βgnare超额取款和早期取款惩罚参数可随时间变化，γn∈ 安安=0，麦克斯W（t）-n） ，min（A（t）-n） ，Gn）.Moenig和Bauer（2015）还考虑了几个关于效益基础跳跃条件的规范规格1:A（t+n）=（max（A（t-n）- γn，0），如果γn≤ 格恩，麦克斯闵A（t）-n）- γn，A（t）-n） W（t+n）W（t）-n）, 0, 如果γn>Gn。（11） o规格2:A（t+n）=麦克斯（A（t）-n）- γn，0），如果γn≤ Gn，最大值（最小值）A（t-n）- γn，W（t+n）），0），如果γn>Gn。（12） o规格3:A（t+n）=（max（A（t-n）- γn，0），如果γn≤ Gn，max（A（t-n）- Gn，0）W（t+n）最大值（W（t）-n）-Gn，0），如果γn>Gn。（13） 此外，可以在周年纪念日使用棘轮（如果财富账户的收益基数较高，则将其重置为财富账户）。如果在退出前发生，则在上述公式中，应进行以下调整a（t-n）→ 麦克斯（A（t）-n） ，W（t）-n） ），如果tn∈ Tr.如果重置是在退出后进行的，则应具有（t+n）→ 最大值（A（t+n），W（t+n）），如果tn∈ Tr.4.2 GLWBGLWB与GMWB类似，但提供终身退出保证；死亡后，剩余的财富账户价值将支付给受益人。合同提款金额GNI通常基于收益基数a（t）的固定比例g，即Gn=g×a（t-n） （tn）-tn-1).收益基础可以通过棘轮（递增）或奖金（累积）功能增加。如果在提款日期没有提款，奖金功能会增加福利基数。完全退保指的是整个保单账户的取款。

提款金额可以超过合同金额，在这种情况下，投保人收到的净金额将受到罚款。根据黄和郭（2015）所考虑的典型规格，投保人收到的现金流为fn（W（t-n） ，A（t）-n） ，γn）=γn，如果0≤ γn≤ Gn，Gn+（1）- β） （γn- 如果γn>Gn，（14）γn∈ An，An=[0，max（W（t-n） ，Gn）]，其中β是超额提取的惩罚参数。收益基础跳跃条件，包括棘轮和奖金特征，由a（t+n）=max给出A（t）-n） （1+bn），W（t）-n） 1tn∈Tr×1γn=0+maxA（t）-n） ，max（W（t）-n）- γn，0）×1tn∈Tr×10<γn≤Gn+maxA（t）-n） W（t）-n）- γnW（t-n）- Gn，（W（t）-n）- γn）×1tn∈Tr×1Gn<γn≤W（t）-n） ，（15）其中bn是可能随时间变化的奖金率参数。最后，如果投保人在-1，tn]，受益人收到死亡抚恤金Dn（W（t-n） ，A（t）-n） ）=W（t-n） 而TN相当于被认为无法生存的最大年龄。4.3 GMABGMAB附加条款提供了在某个到期日（如10年或20年）之前的资本确定性，以及资本增长的可能性。市场上销售的典型GMAB产品不会对投保人的取款金额施加限制，但在某些情况下会对受益基数（受保护的资本余额）进行处罚。还有一种常见的棘轮特征，即如果财富账户在周年日较高，受保护的资本余额将增加到财富账户。允许从账户中提款，但要受到处罚。

例如，MLC（2014）和AMP（2014）在澳大利亚销售的产品的规格与以下公式非常相似：efn（W（t-n） ，A（t）-n） ，γn）=γn，（16）A（t+n）：=hAn（W（t）-n） ，A（t）-n） ，γn）=麦克斯（A（t）-n） ，W（t）-n） )- Cn（γn），如果tn∈ Tr，max（A（t-n）- Cn（γn），0），否则，（17）其中Cn（γn）是一个惩罚函数，可以大于下面定义的γ和γn∈ An=[0，W（t-n） ]。该产品适用于超级账户和养老金账户类型。超级账户是为处于积累阶段的投资者设计的，而养老金账户是为处于年金化阶段的退休投资者设计的。在技术细节方面，账户之间的差异仅体现在提款后对受保护资本的处罚上；超级账户比养老金账户更不鼓励提款。在这两种情况下，罚金的形式是减少保护资本（收益基数）的金额大于提取金额。仅当财富账户余额低于受保护资本金额时，罚款才适用。

超级账户惩罚任何金额的取款，而压力账户只惩罚过度取款。具体来说，对于超级账户，函数Cn（γn）由Cn（γn）给出=γn，如果W（t-n）≥ A（t）-n） ，A（t）-n） γn/W（t-n） ，如果W（t-n） <A（t）-n） ，（18）和养老金账户的罚款为isCn（γn）=γn，如果W（t-n）≥ A（t）-n） 或γn≤ Gn，A（t）-n） γn/W（t-n） ，如果W（t-n） <A（t）-n） γn>Gn。（19） 也就是说，只有当财富账户余额低于受保护资本金额且提取金额高于预定金额时，养老金账户的罚款才适用。最后，终端条件由pt（W（t）给出-N） ，A（t）-N） ）=max（W（t）-N） ，A（t）-N） ）。财富账户余额的全部提取有效地终止了合同，因为授权机制确保受保护的资本在完全提取时总是耗尽到零。4.4 GMIB到期时，GMIB附加条款持有人可以选择一次性提取财富账户W（T）或按年金化率（到期时的现行利率）将该金额年金化，或将收益基础a（T）年金化-) 按照预先规定的年金化率–ag。年金化率定义为每年支付一美元的年金价格。如果账户价值低于收益基数，则客户不能接受（t-) 一次性支付，但仅作为预先指定日期的年金。因此，在时间T isPT（W（T-N） ，A（t）-N） ）=maxW（t）-N） ，A（t）-N） ¨aT¨ag.收益基础可能包括滚动和棘轮。同样，这名骑手可以与其他骑手一起使用。例如，它可以是GMWB或GMAB合同到期条件的一部分。有关学术文献中对GMIB的讨论和定价，请参见Marshall et al.（2010）和Baueret al.（2008）。4.5 GMDBGMDB附加条款规定，如果保单持有人在合同到期前或到期时死亡，则该附加条款可提供死亡福利。