最优条件下可变年金担保的统一定价

与（36）相同。回顾费曼-卡克定理，很容易看出，与此偏微分方程相对应的W的随机过程是风险中性过程（4）。7数值示例：为VA乘客定价的GMAB Pricinumerical解决方案涉及许多复杂的数值过程和特征。与金融市场中大多数奇异衍生产品的定价相比，这些风险更大。这些解决方案必须经过适当的测试和验证。作为一个数字示例，我们使用直接积分法（GHQC）计算GMAB的准确价格，并考虑到第4.3节中规定的年度棘轮和最优取款。凭借这些特点，GMAB非常接近MLC（2014）和AMP（2014）在澳大利亚销售的真实产品。我们假设风险资产的几何布朗运动模型（4）。在适用的情况下，我们将结果与MC和差异PDE方法进行比较。在为GMAB附加条款定价时遇到的数字困难在其他VA担保中很常见。此外，文献中也没有这一特定产品的全面数字定价结果。这些经过验证的结果（报告了大量的参数）可以作为从业人员和研究人员开发具有担保的VAs数字定价的基准。我们考虑四种GMAB类型：1。GMAB有年度棘轮，但没有取款。在这种情况下，可以使用标准MC方法与GHQC结果进行比较——除了通过高斯-埃尔米特求积验证数值积分外，这是对与棘轮特征相关的已实现数值函数的良好验证。2.GMAB具有年度棘轮机制，定期提取固定比例的财富账户。

在这种情况下，还可以使用标准MC方法与GHQC结果进行比较——这是对由于棘轮和退出特性而实现的与跳跃条件相关的数值函数的良好验证。此外，为了测试与罚款应用相关的数值函数，我们假设养老金账户的静态提款率设置在罚款阈值以上。3.具有最佳季度取款和超级账户年度棘轮的GMAB，当W（t-n） <A（t）-n） .4。具有最佳季度提款和养老金账户年度棘轮的GMAB，如果提款γ高于罚金Threshold Gn，则适用罚金（19），如果W（t-n） <A（t）-n） 。作为比较，我们的PDE有限差异实施的结果也将展示在案例4中，这是上述四个案例中最复杂的一个。此外，我们还将计算案例4中离散收取（每季度）担保费的结果。所有报告的GHQC结果均基于q=9个正交点。如果q进一步增加，我们在结果中没有观察到任何实质性差异。基于q=5的结果也非常准确。7.1有棘轮且无取款的GMAB考虑有年度棘轮且无取款的GMAB附加条款。在这种情况下，可以使用标准MCM方法与GHQC结果进行比较，这是对与棘轮特性相关的已实现数值函数的良好验证。表1比较了GMAB票价α的GHQC和MC结果，以及利率r在1%到7%之间、波动率σ=10%和20%的年度棘轮。在利率r=5%和σ=10%时，两种方法之间的最大相对差异为0.76%。

两种方法之间的最大绝对差异是最低利率r=1%时的一个基点，其中利率最高。平均而言，相对差异为0.52%，绝对差异为0.5基点，即1000美元账户每年5美分。在网目尺寸M=400和J=200时获得GHQC结果，平均需要22秒的测试速率，rσ=10%σ=20%GHQC，bp MC，bpeδGHQC，bp MC，7.8.11 11%5.11%5.5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 0 0 0 0 0 7 7 7.1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.1 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8 8 8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.1 1.1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 GMAB Rider的利率r与年度棘轮和撤回合同期限为T=10年。eδ是蒙特卡罗（MC）和GHQC方法结果之间的相对差异。按价格计算（票价的计算需要对几个价格进行迭代）。MC结果是通过2000万次模拟获得的，每次价格大约需要62秒。两种方法在σ=20%时的一致性也很好。从绝对值来看，在最低利率=1%时，两种方法之间的最大差异为1.1个基点。相对而言，在最高利率r=7%时，两种方法之间的最大差异为0.34%。平均而言，相对差异为0.17%，比σ=10%时的相应情况小得多。7.2有棘轮和静态取款的GMAB考虑有年度棘轮和固定百分比的定期季度取款的GMAB附加条款。

在这种情况下，还可以使用标准MC方法与GHQC结果进行比较，这是对所实现的数值函数的一个很好的验证，该函数与棘轮和退出特征引起的跳跃条件有关。这里，我们考虑（19）中给出的惩罚的扩展类型帐户。在这种情况下，允许按apre确定的百分比水平定期提款。为了测试与惩罚应用相关的数值函数，我们还考虑了在预先确定的阈值水平以上的静态撤回，这将吸引惩罚。我们将提取阈值设定为每年财富账户的15%，提取频率为每季度，即每季度提取阈值为Gn=财富账户的3.75%。在第一次测试中，我们允许每季度定期提取财富账户余额的3.75%，即γn=n，并且对提取没有处罚。表2比较了票价α的GHQC和MC结果。相对而言，在利率r=5%时，两种方法之间的最大差异为0.08%。平均而言，相对差异为0.06%，绝对差异为0.3个基点。GHQC结果是在网格sizeM=400和J=400的情况下获得的，MC结果是在每个价格2000万次模拟的情况下获得的。与表1相比，在最低利率r=1%时，静态取款的公平费用比相应的不取款情况高出约8%，但比在r=7%时相应的不取款情况低约13%。

我们还测试了静态2.5%利率、r15%年支取16%年支取GHQC、bp MC、bpeδGHQC、bp MC、，10.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0棘轮与静力学提取财富账户的3.75%和4%（每年分别为15%和16%）。养老金门槛（养老金型账户）设定为每年15%。合同期限为T=10年，波动率σ=20%。eδ是蒙特卡罗（MC）和GHQC结果之间的相对差异。季度取款并获得了相同的模式：在较低的利率下，静态取款的公平费用（也低于处罚阈值）高于相应的不取款情况，而在较高的利率下则相反。在相对较低和较高的利率下，公平价格的这些差异可以大致解释如下。在利率较低的情况下，如果预期资本增长相对缓慢，则最好在惩罚阈值或低于惩罚阈值时进行定期提款，并在到期时提取受保护的资本。然而，在更高的利率下，预期资本增长率也很高，不进行定期提款并保持资本增长是有益的。上述测试还表明，MC和GHQC方法对于静态退出不超过惩罚阈值的GMAB定价非常一致。

这证明了我们在GHQC方法中使用abi三次插值数值实现跳跃条件的准确性和效率。在静态取款的第二个测试中，我们允许每季度定期取款4%（每年16%），即年度取款率略高于每年15%的惩罚阈值，并且每次取款都会受到惩罚。本试验的GHQC和MC结果也见表2。从绝对值来看，在利率r=6%的情况下，这两种方法之间的最大差异仅为0.07个基点，对于一个1000美元的账户，这一利率每年不到1美分。相对而言，在利率r=6%时，两种方法之间的最大差异为0.1%。平均而言，相对差异仅为0.03%，这表明在静态取款过多的情况下，这两种方法也非常一致，每次取款都会受到惩罚。这是一个非常令人信服的验证，我们的GHQC实现的所有与跳跃条件相关的数值函数，包括双三次样条插值，都是正确和准确的。上述测试与在最优取款情况下验证整个算法非常相似。这是因为在为最优取款案例定价时，使用了完全相同的积分和插值函数，唯一需要做的额外步骤是确定取款率，使价格最大化。然而，对于最优策略案例，我们将通过比较GHQC和有限差分PDE方法之间的结果进行进一步验证。与表2和表1中的不撤资案例相比，超过处罚阈值的静态撤资的公平费用大幅降低：在r=1%时，它比相应的不撤资案例减少了约80%，在r=7%时，它减少了约65%。

因此，无论利率水平如何，超过惩罚阈值的定期提款都是非常糟糕的策略。在这种情况下，惩罚会定期剥夺受保护的capitalon。请注意，罚金是根据整个提款金额计算的，而不仅仅是超出部分，请参见罚金函数（19）。因此，如第二次测试中所观察到的，稍微超过罚款额，可能会导致价格或公平费用发生巨大变化。上述两项测试表明，定期静态提款仅在极低利率下，且仅在提款率不超过处罚阈值时，才有轻微的好处。在下一节中，将通过数值结果证明，无论利率水平和罚金如何，最优提款都是有益的。7.3最佳提款——超级账户考虑为年度棘轮的超级账户设立GMAB，并假设保单持有人可以每季度执行一次最佳提款策略。对于超级账户，如果财富账户低于（17）和（18）中规定的收益基础，任何提款都将对受保护资本金额（收益基础）进行处罚。利率，rσ=10%σ=20%费用（b.p）eε费用（b.p）eε1%370.7 10%1235 23.7%2%191.2 2.8%700.1 9.89%3%118.1.2%478.8 4.54%4%78.52 0.9%355.52.48%5%54.47 1.1%275.2 1.51%6%39.00 1.48%218.8 1.16%7.38%1.36%176.9.01%1.03表3：根据GMAR账户的最佳提款利率，按aαbp=1.01的函数计算，根据GMAR账户的提款率，公平。合同期限为T=10年。eε是表1中最优退出情况下公平费用与静态（无退出）情况下公平费用之间的百分比差异。表3显示了超级账户的公平费用与σ=10%和σ=20%利率的函数关系。

与表1中无取款的静态情况相比，eε下的列显示了由于最佳取款而产生的额外费用百分比。结果显示，除了在低利率和高波动性的情况下，大多数情况下，额外费用仅为1%或2%。在大多数情况下，由于最优取款而产生的额外费用对超级账户来说并不重要，主要是由于实施了重罚。如下一节所示，如果惩罚不如养老金账户那么严厉，额外费用将变得更加重要。如果惩罚完全消除，那么数值实验表明，额外费用将比静态情况大几倍，例如300%，这表明了最优策略的全部价值。7.4最佳提款——养老金账户考虑使用年度棘轮的养老金账户GMAB，并假设投保人可以每季度执行一次最佳提款策略。对于养老金账户，根据（17）和（19）的规定，如果财富账户W（t）低于a（t），超过预先定义的提款水平GN的任何提款都将惩罚受保护资本金额（t）。在这里，我们将年度提款限额设定为财富账户的15%，即Gn=0.25×15%=3.75%为四分之一提款阈值。利率（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）英语（b.p）1%472.6 39%1474（1479）1474（1479）1474（1479）1474（1479）46%1479（1479）46%1479（1479）46（1479）46（1479）46（1479）46%4662%4662%22%22%22%22.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7%22.7 21 21 21%21%21%21%21%21%21%21%21%21%21%837 21%837 21%837%836.21%836.21%836.21%836.21%836.7%836.21%836.7%836.7%836.7%836.6.6.6.7%836.6.7%836.6.6.7 7 a=0.01%）作为GMAB利率r的函数当取款是最佳选择时，养老金账户。合同期限为T=10年，季度提款限额为Gn=0.25×15%。

eε是表1中最优退出情况下的公平费用与静态（无退出）情况下的公平费用之间的差异百分比。表4显示了当σ=10%和20%时，GMAB养老金账户的公平费用与利率的函数关系。与表1中无取款的静态情况相比，eε下的列显示了由于最佳取款而产生的额外费用百分比。结果表明，在最高利率r=7%时，额外费用约为9%，在最低利率r=1%时，额外费用约为39%。这一额外费用比超级账户的费用要重要得多，见表3，这显然是因为罚款减少了。在σ=20%时，额外费用的范围从最高利率r=7%时的约9%到最低利率r=1%时的约46%。从百分比和绝对值来看，该额外费用高于波动率较低σ=10%的情况。此外，在表4中，连续公平费用值α旁边括号中的数字是离散收取公平费用αd=-日志（1）- eαdtn）/dtn，其中在每个季度结束时，向投保人财富账户收取与账户价值eαdtnW（t）成比例的费用-n） ，参见财富过程（6）。结果表明，连续费用α和离散费用αd之间的差异很小。平均而言，相对差异为0。15%. 当然，如果收取费用的频率更高（例如月费），差异会更小。表4的最后一列显示了使用我们的有限差分法计算的连续费用。GHQC（求积法）和有限差分法之间的一致性非常好。两种方法之间公平费用的平均相对差异为0.20%。

图2显示了养老金账户的公平费用与利率r的函数曲线，使用表4中的结果，与表1中的静态情况（无提款）进行比较。相比之下，MLC（2014）提供的市场费用为“平衡投资组合”的10年资本保护的1.75%，以及“保守增长投资组合”的0.95%；AMP（2014）对“平衡战略”投资组合的10年资本保护率为1.3%，对“适度防御战略”投资组合的保护率为0.95%。虽然这些市场投资组合的波动性值未知，但市场价格似乎明显低于公平费用，这在之前的文献中也观察到了；e、 g.参见米列夫斯基和索尔兹伯里（2006年）、鲍尔等人（2008年）和陈等人（2008年）。0 50 100 150 250 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07公平费用α（bp）利率r养老金账户，σ=0.1最优支取（GHQC）无wirhdraw（GHQC）无支取（MC）100 200 300 500 600 700 900 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07公平费用α（bp）利率r养老金账户，σ=0.2最佳提款（GHQC）不提款（GHQC）不提款（MC）图2：与静态情况相比，当提款为最佳提款时，养老金账户GMAB在σ=10%和σ=20%时，作为利率r的函数，bp中的公平费用α。数值分别取自表4和表1。8结论在本文中，我们回顾了VA乘客的定价，并通过非最优随机控制框架提出了一种统一的定价方法。我们讨论了不同的模型和数值程序，这些模型和数值程序通常适用于大多数具有不同合同规格的VA乘客。