广义半马尔可夫股利贴现模型：风险与收益

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英文标题：
《Generalized semi-Markovian dividend discount model: risk and return》
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作者：
Guglielmo D\'Amico
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The article presents a general discrete time dividend valuation model when the dividend growth rate is a general continuous variable. The main assumption is that the dividend growth rate follows a discrete time semi-Markov chain with measurable space. The paper furnishes sufficient conditions that assure finiteness of fundamental prices and risks and new equations that describe the first and second order price-dividend ratios. Approximation methods to solve equations are provided and some new results for semi-Markov reward processes with Borel state space are established. The paper generalizes previous contributions dealing with pricing firms on the basis of fundamentals.
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中文摘要：
本文提出了当股息增长率为一般连续变量时的一般离散时间股息估值模型。主要假设股利增长率服从一个离散时间半马尔可夫链，且具有可测空间。本文给出了保证基本价格和风险有限的充分条件，以及描述一阶和二阶价格红利比的新方程。给出了求解方程的近似方法，建立了具有Borel状态空间的半马尔可夫报酬过程的一些新结果。本文总结了前人在基本面基础上对定价公司的研究成果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Generalized_semi-Markovian_dividend_discount_model:_risk_and_return.pdf (240.63 KB)

2022-5-11 07:14:39 上传

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关键词：马尔可夫 Mathematical Fundamentals Quantitative Contribution

广义半马尔科夫股息贴现模型：风险与回报意大利基耶蒂佩斯卡拉维亚大学帕马西分校Guglielmo D\'AmicoDepartment，G.D\'Annunzio，基耶蒂30，66013。电子邮件：g。damico@unich.itAbstract当股息增长率是一个一般连续变量时，本文提出了一个一般离散时间股息估值模型。主要假设是股息增长率遵循一个离散时间半马尔科夫链，具有可测空间（E，E）。本文提供了保证基本价格和风险的充分条件，以及描述一阶和二阶价格股息率的新方程式。给出了求解方程的近似方法，并建立了具有Borel状态空间的半马尔可夫奖励过程的一些新结果。本文概括了以前关于基于基本原理的企业定价的贡献。2000理学硕士：60K 15，91B28，91B7 0。关键词：股息估值模型，回报过程，风险。1简介计算企业价值的主要方法之一是利用基本原理。基本面分析包括使用所需的股票回报率对未来现金流进行贴现，并考虑股票价值等于这一支付流的现值，参见Kettel（2002）。回报率包括股东的风险溢价，以补偿与现金流未来演变相关的不确定性。股东希望从公司获得股息方面的现金流。因此，现金流通常由股息流表示。尽管如此，也可以用其他财务变量代替股息，如销售额（见Damodaran 1994）或收益和派息率（见Sharpe和Alexander 1990）。

由于通常情况下，股东仅从公司获得股息，大多数模型都基于股息，因此，我们将假设公司支付股息。几乎所有文献中的研究都对分割增长变量施加了有效的结构，以允许未来股息现值的可计算表达式。Gordon a and Shapiro（1956）的开创性论文考虑了恒定的股息增长率。文献中提出了Gordo n和Shapiro模型的许多变量。这些变量对股息过程施加了越来越不严格的假设。例如，Brooks and Helms（1990年）和Barsky and DeLong（1993年）的论文考虑了多阶段e模型，其中股息增长率在各个阶段之间发生决定性变化。Hurley和Johnson（1994；1998）、Yao（1997）、Ghezzi和Piccardi（2003）提出了基于马尔可夫链的模型，Gutierrez和Vasquez（2004）提出了分裂过程中的政权转换。这些文章的结果包含在D\'Amico（2013）提供的半马尔可夫框架中，其中提出并验证了半马尔可夫假设。主要是由于其通用性和灵活性，最近半马尔可夫过程在从信用评级动态到金融建模的许多领域获得了更大的兴趣（见D’Amico et al。

（2005年）、瓦西里奥和瓦西里奥（2006年）、瓦西里奥和瓦西里奥（2013年）以及瓦西里奥（2014年））向高频融资（见达米科和彼得罗尼（2011年）以及达米科和彼得罗尼（2012年））。最近对股息估值模型的贡献一方面依赖于几何和加性伯努利过程的采用，其中分割过程假设了一组连续的值，见Hurley（2013），另一方面依赖于二项式模型中基本价格方差公式的推导，见Agosto和Moretto（2013）。这两个最近的贡献需要在采用更一般的随机模型的情况下进行统一处理，以克服伯努利过程的强简化假设。事实上，有必要避免在分红过程中强加强假设，而采用更一般的模型，让数据在不强加严格假设的情况下为自己说话。因此，本文的目的是通过假设增长红利率是一个具有Borel状态空间的离散时间半马尔可夫链来推广所有这些贡献。然后，我们提出了一个更正式、更抽象的分割估值模型，该模型包含了包括达米科（2013）在内的所有之前的cite作品作为特定案例。本研究的第二个特点是，我们得出了充分的条件，以确保基本价格的真实性，并满足横向条件，从而避免在一般半马尔可夫环境中出现投机泡沫。此外，我们还通过计算价格过程的二阶矩来扩展这些结果，这对于衡量股票的真实性非常有用。

为此，我们确定了风险（价格过程的二阶矩）的基本公式，并描述了计算方法。通过允许任意股息增长和贴现过程来概括戈登和夏皮罗模型的贡献的存在是很重要的，见D onaldson和Kamstra（19 96）。Donaldson和Kamstra的程序包括蒙特卡罗模拟和数值积分可能的路径，然后是股息增长和贴现的联合过程。本文组织如下：首先，在第2节中，我们给出了具有Borel状态空间的离散时间半马尔可夫链的最小定义。接下来，第3节介绍了股息估值模型、半马尔可夫股票模型以及拟议股息估值模型的相关结果。第4节继续介绍了一些结论。最后，一个附录包含了第3节中暴露的结果的证明，总结了本文。2具有Borel状态空间的半马尔可夫链以下是一组最小定义，涵盖了阅读本文所需的具有Borel状态空间的离散时间半马尔可夫链。应该指出的是，很少有研究涉及一般的Borel状态空间半马尔科夫过程，它们主要涉及连续时间内的可靠性模型，例如Limnios和Opri,san（2001）、D\'Amico（2011）和Limnios（2012）。设（E，E）是一个可测空间，对于所有x∈ E它的结果是{x}∈ E.定义2.1（次马尔可夫核）。函数p（x，A），x∈ E、 A∈ E、 在（E，E）if:i）上每x被称为一个子马尔可夫链∈ E、 p（x，·）是E的一个测度，使得p（x，E）≤ 1.ii）对于每个A∈ E、 p（·，A）是一个Borel可测函数。定义2.2（半马尔可夫核）。

函数Q（x，A，t），x∈ E、 A∈ E、 t∈ IN被称为（E，E）上的离散时间半马尔可夫核（SMK），如果：i）Q（x，a，·）为所有x∈ E、 A∈ E是一个非减量离散实函数，如Q（x，a，0）=0；ii）所有t的Q（·，·，t）∈ IN是（E，E）上的次马尔可夫核；iii）p（·，·）=Q（·，·，∞) 是从（E，E）到自身的马尔可夫转移概率函数。每个（x，s）∈ E×IN，存在一个概率空间(Ohm, F、 P（x，s））和r.v.（Jn，Tn）的序列，使得：P（x，s）[J=x，T=s]=1；P（x，s）[Jn+1∈ A、 Tn+1≤ t | Fn]=P（x，s）[Jn+1∈ A、 Tn+1≤ t | Jn，Tn]=Q（Jn，A，t- Tn）。因此（Jn，Tn）n∈它是一个状态空间为E×IN的马尔可夫过程，其转移概率函数由半马尔可夫核Q（x，a，t）给出。序列（Jn，n≥ 0）给出了E在时间和顺序上的连续状态（Tn，n≥ 0）给出转换发生的时间。设置N（0）=0，并定义计算转换次数的过程，t:N（t）=sup{N∈ IN:Tn≤ t} ，t>0。定义2.3（半马尔可夫链）。过程{Z（t），t∈ 在}中，定义的byZ（t）=JN（t）是一个具有任意状态空间E和核q（x，a，t）的离散时间半马尔可夫链。让我们表示byp（x，A）：=P[Jn+1∈ A | Jn=x]。很容易证明p（x，A）=limt→∞Q（x，A，t）。任何州x的定义∈ E概率h（x，t）：=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=x]=Q（x，E，t）。它表示在时间t内离开状态x并向任何其他状态E过渡的概率。

因此，数量1- H（x，t）表示状态x下的生存概率∈ E.鉴于此，十、∈ E、 A∈ E、 t型∈ INQ（x，A，t）≤ p（x，A），测度Q（x，·，t）相对于p（x，·）是绝对连续的，然后根据Radon-Nikodym定理，它存在一个E-可测函数F（x，A，·），使得Q（x，A，t）=ZAF（x，y，t）p（x，dy）。函数F可以选择为表示概率的分布函数：F（x，y，t）=P[Tn+1- Tn≤ t | Jn=x，Jn+1=y]。（2.1）如果分布函数（2.1）是几何分布的，那么Z（t）是具有可测空间（E，E）的阿马尔科夫链。相比之下，半马尔可夫链环境允许使用任何类型的分布函数；因此，与基于马尔可夫链的模型相比，半马尔可夫链提供了一个更通用的框架，更符合现实。我们表示byq（x，A，t）=P[Jn+1∈ A、 Tn+1- Tn=t | Jn=x]，（2.2）在状态x中，在逗留时间长度为t的情况下，在下一次转移时访问集合A的概率。显然，它会导致q（x，A，t）=Q（x，A，t）- Q（x，A，t）- 1） 如果t>0，如果t=0，则为0。定义2.4（SMK的n倍卷积）。给定SMK Q（x，A，t），将其n次卷积定义如下：Q（n）（x，A，t）=报告=1Q（x，dy，s）Q（n）-1） （y，A，t）- s） 如果n≥ 1，t>0，如果t≤ 其中Q（0）（x，A，t）=χ（x∈ A） χ（t>0）和χ（L）是事件L的指示函数。很容易证明H∈ INQ（n）（x，A，t）=P[Jn+h∈ A、 Tn+h- Th≤ t | Jh=x]。函数（x，A，t）：=∞Xn=0Q（n）（x，A，t）=E[n（t）| J=x，t=0]，称为马尔可夫更新函数。定义2.5（正常SMK）。SMK Q（x，A，t）被认为是正常的ifR（x，A，t）<∞ 十、∈ E、 A∈ E、 t∈ 在里面在半马尔可夫模型中，重要的是引入以下辅助随机过程：定义2.6（反向递归时间过程）。

对于每个t∈ 在过程{B（t），t∈ IN}定义为b（t）=t- TN（t）是向后重现时间过程向后重现时间过程表示自上次转换以来的时间，是检测和量化所谓持续时间影响的重要工具，即系统处于影响其转换概率的状态的时间，参见D\'Amico等人（2011）。3股息估值模型用P（k）表示表示股票在时间k的基本价格的随机变量∈ 在中，通过D（k）我们同时表示股息，通过1加上所需的股票回报率。我们假设r是已知的，只关注股票估值中涉及的其他因素。基本方程a有效：p（k）：=Ek[p（k）]服从以下方程p（k）=E（k）[D（k+1）+p（k+1）]r，（3.1），其中E（k）是条件期望，与时间k可用的信息有关。众所周知，如果我们假设limi→+∞E（k）[P（k+i）]ri=0，（3.2）（3.1）的唯一解用级数（k）表示=+∞Xi=1E（k）[D（k+i）]ri。（3.3）公式（3.3）将股票作为预期未来分割流和贴现率的函数进行估值。如果不假设条件（3.2），Blanchard和Watson[2]证明了揭示股市泡沫存在的基本方程可能存在不同的解。股息过程中的不确定性在价格过程中传播。为了量化这种影响，可以分析价格过程的二阶矩。为此，我们用byP（k）表示=D（k+1）+P（k+1）r.

（3.4）用未来股息连续替代未来价格（3.4）产量P（k）=NXi=1D（k+i）r2nxi=1NXj>iD（k+i）D（k+j）ri+j+2NXi=1D（k+i）P（k+N）ri+N+P（k+N）r2N。因此（k）：=E[P（k）]=NXi=1E[D（k+i）]r2i+2NXi=1NXj>iE[D（k+i）D（k+j）]ri+j+2NXi=1E[D（k+i）P（k+N）]ri+N+E[P（k+N）]r2N。（3.6）公式（3.6）表示，价格过程的风险（以二阶矩衡量）与股息过程的所有未来风险、其产品时刻以及与股票未来价格和风险相关的两个附加条款有关。如果我们假设Limn→+∞E（k）[P（k+N）]r2N=0，（3.7）和limn→+∞NXi=1E[D（k+i）P（k+N）]ri+N=0，（3.8）那么方程（3.6）的唯一解由[P（k）]=+∞Xi=1E[D（k+i）]r2i+2+∞Xi=1Xj>iE[D（k+i）D（k+j）]ri+j.（3.9）我们称表达式（3.9）为风险的基本公式（价格过程的二阶矩）。该公式将风险表示为股息过程的二阶矩和乘积矩的函数。横向条件（3.7）和（3.8）消除了p（k）对其自身时间路径（p（k+N））的依赖性。这意味着条件（3.7）和（3.8）是必要的，以避免风险（p（k））因未来风险（p（k+N））和价格（p（k+N））的预期增加而上升，而与股息过程的内在风险无关。

因此，这些条件避免了未来价格和风险对当前价格和风险的影响，而当前价格和风险仅在参考股息水平和股息过程风险时解释。3.1半马尔可夫股票模型正如导言中所讨论的，大量文献讨论了在有关股息动态的适当假设下评估公式（3.3）的问题。在这里，我们进一步改进了这一点，提出了一个更一般的模型，该模型对股息过程进行了较弱的假设，允许对基本公式（3.3）和（3.9）进行有效计算，并充分满足通用性条件（3.2）、（3.7）和（3.8）。假设红利过程{D（k）}k∈除了差分方程D（k+1）=G（k+1）D（k），（3.10），其中股息增长因子{G（k）}由一个非正规齐次半马尔可夫链描述，该链具有Borel状态空间（E，E）和核Q（x，a，t）。应该注意的是，基于二项马尔可夫动力学的分割模型都嵌入在半马尔可夫框架中，因此我们将证明的所有结果都有可能具有实际意义的特殊情况。方程（3.10）所描述的模型在时间上是离散的，因为企业董事会必须定期宣布除数，因此问题具有离散时间的自然描述。相反，生长因子{G（k）}可以假设任何实际值，这就是选择一般状态空间而不是D\'Amico（2013）中考虑的离散状态空间的原因。由于半马尔可夫过程是时间齐次的，我们可以在不损失任何通用性的情况下确定currenttime k=0。很容易验证过程（D（t），G（t），B（t））是马尔可夫过程，然后基本方程变成（见达米科（2013））p（D（0），G（0），B（0））=E（D（0），G（0），B（0））[D（1）+p（D（1），G（1），B（1）]r。