高维全局最小方差投资组合的估计

还必须指出的是*n在实践中无法确定，因为它取决于未知矩阵∑n。在本节中，它仅用于确定GMV投资组合权重的oracle估计器，而bona fide估计器在第2.3节中构造。基于*nin（2.16），在c>1的情况下，甲骨文GMV投资组合的传统估计是由^w给出的*GMV=S*nS*n、 （2.17）接下来，我们确定甲骨文最优收缩估计器的GMV投资组合权重表示为^w*GSE=α+nS*nS*n+（1）- α+n）bn1=1。（2.18）与第2.1节类似，我们通过α+n=bn∑nbn推导出最佳收缩强度α+ngiven-s*n∑nbnS*nσS*- 2秒*n∑nbnS*n+bn∑nbn=B-s*nS*N∑nbB-s*nS*N∑nB-s*nS*N, （2.19）其中σS*= 1S*n∑nS*n1/（1S）*n1）是GMV投资组合的传统估计量的样本外方差。在定理2.2中，我们给出了最优α+nC>1的渐近性质。定理2.2。假设（A1）-（A2）。设0<Ml≤ σGMV≤ σbn≤ Mu<∞ 对于所有n，那么它保持α+na。s-→ α+=（c）- 1） Rb（c）- 1） +c+（c- 1） Rbforpn→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞, （2.20）其中RBI是Rbn的限制。此外，我们得到了甲骨文样本外方差σS*GMV投资组合σS的传统估计量（2.17）的*a、 美国。-→复写的副本- 1σGMVforpn→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.21）定理2.2的证明见附录。推论2.2描述了GMV投资组合的传统oracle估计以及oracle最优收缩估计的相对损失的渐近行为。推论2.2。（a） 在定理2.2的假设下，我们得到了GMV投资组合的Oracle传统估计的相对损失*S=σS*- σGMVσGMVa。s-→C- c+1c- 1福本→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.22）注意*nis不等于摩尔-彭罗斯逆，因为它不满足条件*nSn=S*nSnand（SnS）*n） =SnS*N

然而，在第2.3节中，在构造bona fide估计器的地方，我们使用S的Sninst的Moore-Penrose逆*以获得有价值的近似值。（b） 在定理2.2的假设下，我们得到了GMV投资组合的oracle最优收缩估计的相对损失*GSE=（^w）*GSE）T∑n^w*GSE- σGMVσGMVa。s-→ （α+）R*S+（1）-α+-Rbforpn→ C∈ （0，1）作为n→ ∞.（2.23）与情况c<1类似，GMVportfolio的最优收缩估计的相对损失是传统估计的相对损失和目标投资组合的相对损失的线性组合。此外，如果c→ 1+，传统估值器的相对损失趋于确定，而对于收缩估值器的相对损失，我们得到*GSE→（c）- 1） （c）- c+1）Rb（（c- 1） +c+（c- 1） Rb）+（1- α++Rb=Rbas c→ 1+，从上方以μ为界-MlMl，即它是有限的。图3展示了在c>1的情况下，对于GMV投资组合，oracle传统估计量和proposedoracle最优收缩估计量的渐近性能。在平均损失始终小于1的情况下，应用oracle最优收缩估计器时会出现相当大的改进。相比之下，oracle传统估计器的平均损失总是具有更大的值，在c=2左右，最小损失约为4。图3和图4显示了在c>1的情况下，最佳收缩强度α+的渐近行为，这不再是图2中观察到的浓度比c的单调函数。最佳收缩强度达到最大值，接近c=2。此外，即使c值较大，α+仍然为正，即oracle最优收缩估计收敛到BNC→ +∞和c相比，速度要慢得多→ 1.-. 另一方面，对于c，它收敛到BNC的速度相当快→ 1+.

因此，无论是在c=1的第八种情况下，还是在c>>1.2.3未知参数的估计情况下，我们都不必预期所提出的收缩估计量的不稳定性。Bona fide估计器在本小节中，我们展示了如何分别在c<1和c>1的情况下一致地估计派生的oracle估计器。这是通过一致地估计targetportfolio Rbn的相对损失来实现的。这个结果在定理2.3中给出。定理2.3。在假设（A1）-（A2）下，由（a）^Rbn=（1）给出的Rbnis的一致估计- p/n）bnSnbn·1S-1n1- 1福普→ C∈ （0，1）作为n→ ∞ （2.24）（b）^R*bn=p/n（p/n- 1） bnsnb·1S*n1- 1福普→ C∈ (1, +∞) 作为n→ ∞. （2.25）样本协方差矩阵SNI在点c=1处表现不好且不可逆，因为在这种情况下，其SmalleSteGenValue非常接近于零。定理2.3的证明见附录。应用定理2.1和2.3（a），我们可以确定案例c中GMV投资组合权重的有效估计量∈ (0, 1). 它由^wBF GSE=bα给出*s-1nS-1n+（1）- bα*)bnbα*=(1 - p/n）^Rbnp/n+（1）- p/n）^Rbn，（2.26），其中^Rbn在（2.24）中给出。表达式（2.26）给出了给定目标投资组合的最优收缩估计，因为收缩强度bα*几乎肯定会趋向于其最佳值α*对于p/n→ C∈ （0，1）作为n→ ∞.在c>1的情况下，情况更加复杂。在这里，由于矩阵S*依赖未知量。因此，我们通过应用摩尔-彭罗斯逆S+n，提出了一个合理的近似。很容易验证，在∑n=σI的情况下，等式成立。

此外，第3节的广泛模拟研究和第4节的实证研究都表明，这种近似即使对于密度人口协方差矩阵∑n也有很好的效果。这种行为的原因可能是S+n具有与S类似的渐近行为*n、 然而，用解析的方法证明这个结果是一个非常具有挑战性的数学问题，我们将此留给未来的研究。在图6中，我们提供了一个与图2所示相同设计的简短模拟，以表明^α*（S+n）和^α*（S）*n） 是渐近逼近的，证明了我们近似的准确性。上图6考虑到上述讨论和定理2.3（b）的结果，在c>1的情况下，RBI数量的有效估计量近似为^R+bn=p/n（p/n- 1） bnSnbn·1S+n1- 1代表c∈ (1, +∞) . （2.27）应用（2.27）得出了在c>1的情况下GMV投资组合的最佳缩水率估值器，表示为^w+BF GSE=bα+S+nS+n+（1- bα++与bα+=（p/n- 1） ^R+bn（p/n）- 1） +p/n+（p/n- 1） ^R+bn，（2.28），其中S+nis是样本协方差矩阵Sn的摩尔-彭罗斯伪逆。值得注意的是，在最小化样本外方差的情况下，估计量（2.26）是c<1的GMV投资组合的最优估计量，而在c>1的情况下，估计量（2.28）是次优估计量。

为了总结本节内容，我们将（2.26）和（2.28）合并为一个在^wBF GSE=bα给出的c>0情况下GMV投资组合权重的最佳收缩估值器*S+nS+n+（1）- bα*)bn为（2.29），与稀疏相反。c=1的情况在理论上是不可处理的，但使用摩尔-彭罗斯逆并将SmallestigenValue设置为零，我们仍然能够在这种情况下构造一个可行的估计量。bα*=(1 - p/n）^Rbnp/n+（1）- p/n）^RBC<1，（p/n）- 1） ^Rbn（p/n）- 1） +p/n+（p/n- 1） ^RBC≥ 1，（2.30）和^Rbn=（（1）- p/n）bnSnbn·1S-1n1- c<1时为1，p/n（p/n- 1） bnSnbn·1S+n1- 1代表c≥ 1.（2.31）我们使用S+n=S-1nif SNI是非奇异的。在图5中，我们调查了甲骨文和博纳德最优收缩估值器对GMV投资组合权重的差异，以及甲骨文和博纳德传统估值器之间的差异。总体协方差矩阵被视为密集的207×207维协方差矩阵∑nw，其特征值的1/9等于2，4/9到5，最后4/9到10。特征向量的选择方法与关于oracle估计器的章节中相同。目标投资组合仍然是幼稚的，即bn=1/p1。观测矩阵由正态分布生成。对于所有考虑的值c>0，观察到Bonafide最优收缩估计器（红色虚线）与其oracle（红色实线）的完美匹配。蓝线对应于oracletraditional估计器（蓝色实线）和Bonafide traditional估计器（蓝色虚线）。与最优收缩率估计器不同的是，c>1时，传统估计器与其预测值之间存在差异，且随着c变大而增加。

对于c<1，这两种估计都包括在内，因为在这种情况下，广义逆（2.16）和摩尔-彭罗斯逆都等于样本协方差矩阵的逆。值得注意的是，提议的Bonafide最优收缩估值器在c=1点也能很好地工作，尽管这里甚至没有定义相应的oracle估值器。原因是我们只是将SNA的最小特征值设为零，并使用摩尔-彭罗斯逆技术。图5的结果促使在实践中应用MoorePenrose逆，而不是第2.2节开头给出的广义逆，而应谨慎使用传统估计。在第3节的模拟研究中，我们对这一点进行了进一步的研究。上图5最后一点必须指出的是，Bonafide估值器（2.29）易于在实践中使用，因为它可以快速计算。2.4目标投资组合的选择目标投资组合在确定最优收缩估计量方面起着至关重要的作用。最明显的选择是朴素的投资组合或稀疏的投资组合。在多阶段设置中，可以选择前一阶段的权重作为目标投资组合。理论上，我们甚至可以选择一个随机的目标投资组合，但它应该独立于实际观察。特别是，它可以是单位球面上的均匀分布随机向量（适当归一化）或单纯形上的均匀分布随机向量。

选择前一时期的最优投资组合权重会为目标投资组合带来更有趣的例子，这使我们能够在动态环境中构建某种贝叶斯更新原则。一般来说，这个问题的答案取决于基础数据，因为目标权重的选择相当于∑先验分布的超参数的选择-1n∑-1n。这个问题在贝叶斯统计中是众所周知的。应用不同的先验知识会导致不同的结果。因此，在大多数情况下，选择一种效果良好的方法是非常重要的。最天真的一个是平均加权的投资组合1/p1。显然，具有先验权重的oracle收缩估计量是一个一致的估计量，如命题2.1所示。此外，将一些关于真正的GMV投资组合的新信息加入到Previor中，可以显著提高业绩（参见Bodnar等人（2014））。为了简单起见，我们在第3节的模拟研究以及第4节的实证研究中采用了朴素的投资组合。将shinkage估计量视为向量函数^wBF GSE（bn）：Vp→其中Vp和Vp是p维向量空间。在下面的命题中，我们给出了收缩估计量作为目标权重bn函数的一些性质。提议2.1。对于建议的收缩估算值^wBF GSE（bn），它认为1。^wBF GSE（1/p1）是GMV投资组合的一致估计量，如果任意σ>0和c的总体协方差矩阵∑n=σI∈ (0, +∞).2.^wBF GSE（wGMV）是GMV投资组合的一致估计∑-1n∑-1所有c∈ (0, +∞).该证明是定理2.1、定理2.2和定理2.3.3模拟研究的直接应用。在本节中，我们将演示所得结果如何应用于实践。

我们模拟的第一部分致力于正态分布数据，而在第二部分中，资产回报率是由具有5个自由度的t分布生成的。目标投资组合被视为天真的投资组合。在c<1和c>1两种情况下，以及有界（第3.1节）和无界（第3.2节）谱的方差矩阵中，都给出了结果。基准估值器是Frahmand Memmel（2010）提出的GMV投资组合的主要估值器。它由^wF M=（1）给出- k） S-1nS-1n+kP，k=p- 3n- p+2^R1/p，（3.1），其中^R1/p=1/pSn1- σSnσSn是原始投资组合的估计相对损失。支配因子（3.1）是在假设资产收益率为正态分布的情况下得出的，它在样本外方差方面优于传统估值器（参见Frahm and Memmel（2010））。然而，对于浓度比c>0的不同值，距离最佳值还有多远尚不清楚。它对非正态分布数据的行为也尚未研究。接下来，我们比较了主导估计量（3.1）和Bonafide最优收缩估计量（2.29）的性能。为了找出定理2.1和2.3中确定的收敛速度，我们还考虑了oracle最优收缩估计，它可以很容易地构造为c<1和c>1，最优收缩强度分别由（2.10）和（2.19）给出。作为性能度量，我们从第2节中取相对损失。对于GMV投资组合的任意估值器^w，其定义为R^w=σ^w- σGMVσGMV（3.2），其中σ^w=^w∑n^w和σGMV=∑-1n。在我们的模拟研究中，我们将p作为n的函数。

特别是当n=18·2jand p=9·2jforj∈ [0,5]浓度比c始终等于0.5，p随n呈指数增长。这就是为什么小尺寸显示的点更多，而大尺寸显示的点更少。p和n的类似选择也适用于c的其他值∈ {0.1, 0.9, 1.8}. 最后，值得注意的是，模拟结果表明，就bona fide最优收缩估计的相对损失而言，其收敛速度很好，其oracle估计已经适用于p≤ 100.3.1具有有界谱的总体协方差矩阵在本小节中，我们假设协方差矩阵具有有界谱，即具有有界最大特征值。这里，我们使用协方差矩阵的结构，如图5所示，即我们取其特征值的1/9等于2，4/9等于5，4/9等于10。用这种方法构造的高维协方差矩阵具有一致的谱诺曼性，其特征值不是很分散。此外，协方差矩阵的这种选择确保当维数p增加时，协方差矩阵的谱不会改变其行为。图7和图8显示了正态分布数据和浓度比c的不同值的模拟结果∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}. 图7显示了不同维度p所考虑的估计量的整体行为，而图8显示了固定p=306的局部分布特性。更准确地说，在全局行为下，我们理解了平均相对损失相对于维度p的演化，局部行为呈现了一个固定值p的相对损失的经验累积分布函数（e.c.d.f.），即p=306。

在全球环境下的比较是明确的：平均损失越小，估计值就越好。本地研究在经验分布方面提供了更精确的比较。在这种情况下，最佳估计量的标准是基于观察到的结果。c、 具有随机较小值的d.f.占主导地位。这意味着，对于两个e.c.d.功能，主功能一个位于另一个的左侧。这一标准与一阶随机优势是一致的。关于一阶随机优势的唯一区别是，比较基于经验分布函数，而不是总体分布函数。在全局分析中，我们发现，对于所有考虑的情况c，对于较小的p值，Bonafide最优收缩估计值已经收敛到相应的oracle估计值∈ {0.1, 0.5, 0.9, 1.8}.排名第三的是Frahm和Memmel（2010）的主要估计量。它总是比最差的传统估计更好，但总是比其他两个竞争者更差。就平均相对损失值而言，我们观察到，如果c增加且低于1.0，估计值之间的差异将变得更加显著。例如，在c=0.1的情况下，传统估值器的平均相对损失趋于1/9，而在c=0.5的情况下，它趋于1。这两个结果与推论2.1一致，其中证明了传统估计的平均损失趋于c/（1）- c） 在高维渐近下。在ofc=0.9的情况下，最优收缩估计量和主导（传统）估计量的平均相对损失之间的差异变得非常大。实际上，在这种情况下，传统估计的平均相对损失渐近等于9。