随机网格法在CVA有效逼近中的应用

设Y（t）=g（t，X（t，X）*)), 0.5吨5吨=t+V+dXi=1Vi。根据It^o公式，Y（t）m（m（t））=Y（s）m（m（s））+ZtsY（r）m（r））dM（r）+ZtsY（r）m（r））dhMi（r）+Ztsm（r））dY（r）+ztshy。注意，M（t）=M（s）+dXj=1ZtsVj（PT-rF）（X（r，X）*))dBj（r），hMi（t）=hMi（s）+dXj=1Zts（Vj（PT-rF）（X（r，X）*)))dr，Y（t）=Y（s）+dXj=1Zts（Vjg）（X（r，X*))dBj（r）+Zts（Ltg）（X（r，X）*))dr，andhY，m（m）i（t）=hY，m（m）i（s）+dXj=1Zts（Vjg）（X（r，X）*))（Vj（PT）-rF））（X（r，X*))所以我们有eu[|Y（t）|m（t））- Y（s）|m（s））|]=dXj=1ZtsEu[|Y（r）|m（（PT-rF）（X（r，X）*))) （Vj（PT）-rF）（X（r，X）*)))|]dr+ZtsEu[||k m（r））（Ltg）（X（r，X）*))|]dr+dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（Vj（PT-rF））（X（r，X*))|]博士，现在通过定义|和g，我们得到了ZtsEu[||k m（m（r））（Ltg）（X（r，X*))|]dr 5ZtsEu[|M（r）|]1/2Eu[|（Ltg）（X（r，X）*))|]1/2dr5支持∈[0，T]Eu[|（Ltg）（X（r，X*))|]1/2ZtsEu[|M（r）|]1/2dr。根据伯克霍尔德不等式，ZtsEu[|M（r）|]1/2dr 5 Eu[hMit]1/2（t- s） 5 supr∈（s，t）kVj（PT-rF）k∞（t）- s） 。另一方面，我们有，dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（X（r，X*))（Vj（PT）-rF））（X（r，X*))|]dr5千伏焦耳-rF）k∞dXj=1ZtsEu[|（Vjg）（X（r，X*))|]drdXj=1supr∈（s，t）kVj（PT-rF）k∞（t）- s） ，任何F∈ C∞b（RN）和任何0<s<t<t。另一方面，μm（（PT-rF）（x）*)) （Vj（PT）-rF）（x）*))= （Vj（μm）o （PT）-rF））（x*) （Vj（PT）-rF））（x*)= Vj（μm）o （PT）-rF）（x）*)Vj（PT）-rF）（x）*)) - ~nmo （PT）-rF）（x）*)Vj（PT）-rF）（x）*).注意，μm=0，我们有eu[|Y（r）μm（（PT-rF）（X（r，X）*))) （Vj（PT）-rF）（X（r，X）*)))|]= Eu[|Y（r）|μm（（PT-rF）（X（r，X）*))) （Vj（PT）-rF）（X（r，X）*)))]= I1，j（r，f）- I2，j（r，f），其中i1，j（r，f）=Eug（r，X（r，X*))|Vj（μm）o （PT）-rF）Vj（PT-rF））（X（r，X*))],I2，j（r，F）=Eu[|g（r，X（r，X*))|~nmo （PT）-rF）（X（r，X）*))Vj（PT）-rF）（X（r，X）*))].设Φg（r，x）=g（r，x（r，x）*))|. 然后通过引理6，Φg∈ 数据处理设Φg，i（r，x），i=1，由引理5的公式确定。

然后我们得到1，j（r，F）=r-1/2Eu[Φg，j（r，x）umo （PT）-rF）（X（r，X）*))Vj（PT）-rF）（X（r，X）*))],和支持∈[0，T]，x∈RNEu[|Φg，i（t，x）| p]<∞.然后存在一个常数C>0，使得| I1，j（r，F）| 5cr-1/2kVj（PT）-rF）k∞.我们还有| I2，j（r，F）| 5ceu[|g（r，X（r，X*))|]kVj（PT-rF）k∞,对于任何F∈ C∞b（RN）和任何0<r<T。让向量场Vjbe表示为Vj=PNi=1vij（x）xi然后我们有vj（PT-rF）（x）=NXi=1NXk=1vij（x）（TΦk，i（T）- r）Fxi）（x），其中Φk，i（t，x）=Xk（t，x）xind（TΦk，i（T）F）（x）=Eu[Φk，i（T，x）F（x（T，x））]。此外，我们还有vj（PT-rF（x）=NXi=1NXk=1（Vjvij（x）（TΦk，i（T- r）Fxi）（x）+vij（x）（VjTΦk，i（T）- r）Fxi）（x））。然后通过[7]的推论9，因为Φk，i∈ 有一个常数C>0，比如kvj（PT-rF）k∞5克F k∞,Andrkvj（PT-rF）k∞5 C（T）- r）-1/2kF k∞,对于任何F∈ C∞b（RN），j=1，d、 和任何0<r<T。所以我们有[g（t，X（t，X*)) m（（磅）-tF）（X（t，X）））- g（s，X）（s，X）*)) m（（磅）-sF）（X（s，X））|]5 CkF k∞Zts（r）-1/2+（T- r）-1/2）m博士→ ∞, 我们有自己的主张。推论8设T>0。存在一个常数C>0，使得e[|g（t，X（t，X*))（PT）-tF）（X（t，X）*)) ∨ 0- g（s，X）（s，X）*))（PT）-sF）（X（s，X）*)) ∨ 0 |]5 CkF kLipZts（r-1/2+（T- r）-1/2）dr，适用于任何F∈ Lip（RN）和任何0<s<t<t。证据为了F∈ 唇部（RN），有Fm∈ C∞b（RN），m=1，2，··，这样kFmk 5kF kLipand Fm（x）→ F（x），对于任何x∈ 注册护士。所以我们从引理7得到结果。引理9设m=1，M、 T>0。存在一个常数C>0，使得eu[|g（t，X（t，X*))（P（m）T-th）X（m）（t，~X*m） )- h（~X（m）（t，~X*m） ）|]5C（k香港∞+ K香港∞)（T）- t） ，（15）和μ[|g（t，X（t，X））（P（m）t-t（h）∨ （0）X（m）（t，~X*m） )- （h）∨ 0）X（m）（t，~X*m） ）|]5C（k香港∞+ K香港∞)（T）- t） 。（16） 不管怎样∈ C∞b（R~Nm），t∈ [0，T）。证明（15）遵循^o的公式。因此，我们显示（16）。设^k，k=1，…，如（14）所定义。

设Lm=V（m）+dXi=1（V（m）i）。通过它^o的公式*m） )- ~nk（h）X（m）（t，~X*m） ）=ZTtаk（h（~X（m）（s，~X*m） ）V（m）ih）X（m）（s，~X*m） dBm，i（s）+ZTtаk（h（~X（m）（s，~X*m） ）（~Lmh）（X（m）（s，~X）*m） ds+ZTtаk（h）X（m）（s，~X*m） ）~dmXi=1（~V（m）ih）（~X（m）（s，~X*m） 所以我们有u[kk（h（~X（m）（T，~X*m） ）|F（m）t]- ~nk（h）X（m）（t，~X*m） ）=ZTtEu[k（h）~X（m）（s，~X*m） ）（~Lmh）（X（m）（s，~X）*m） ）|F（m）t]ds+~dmXi=1ZTtE[k（h）X（m）（s，~X*m） （V（m）ih）（X（m）（s，~X）*m） 注意到|k=0，那么我们有[g（t，X（t，X*))Eu[°k（h）X（m）（T，~X*m） ）|F（m）t]- ~nk（h）X（m）（t，~X*m） ）|]5e[124; g（t，X（t，X*))|]kLmhk∞（T）- t） +dmXi=1ZTtE[g（t，X（t，X*))|~nk（h）X（m）（s，~X*m） ）（~V（m）ih（~X（m）（s，~X*m） ）]ds。另一方面，我们有φk（h（~x*m） ）V（m）ih（x）*m） ）=V（m）i（k）o h） （~x）*m）■V（m）ih（~x）*m） =V（m）i（k）o h） （~x）*m） ~V（m）ih（~x*m）- （k）o h） （~x）*m） （V（m）i）h（x）*m） 。设Φg（t，x）=g（t，x（t，x）*))| Φg，i（t，x），i=1，N可由Lemma 5的公式定义。接下来是keu[Φg（t，x）~V（m）i（k）o h（~X（m）（s，~X）*m） V（m）ih（X（m）（s，X）*m） ））]K∞5厘米-1/2Eu[|Φg，1（t，x）|]k（|ko h） ■V（m）ihk∞5厘米-1/2kV（m）ihk∞,和keu[Φg（t，x）（φko h） （~X（m）（s，~X）*m） ）V（m）i）h（~X（m）（s，~X*m） ）]k∞5 Ck（V（m）i）香港∞.所以我们得到了∧dmXi=1ZTtE[g（t，X（t，X））~nk（h（∧X（m）（s，X））*m） ）（~V（m）ih（~X（m）（s，~X*m） ）]dsZTtC（k香港∞+ K香港∞)（1+s）-1/2）ds5 C（k香港∞+ K香港∞)（T）- t） （1+（T1/2+T1/2）-1).让k→ ∞, 我们有这个主张。推论10设m=1，M、 T>0和F∈ M（RNm）。存在常数>0，使得eu[|g（t，X（t，X*))（P（m）T-tF）（πmX（t，x）*)) - F（πmX（t，x）*))|] 5 C（T）-t） ，（17）对于任何t∈ [0，T）。证明。注意πmX（T，x）=x（m）（T，x）*m） 引理9对h有效∈^D（R~Nm）。另一方面，对于F∈ M（R~Nm），我们有一个表达式f=KFXk=1ak（fk∨ gk）=KFXk=1ak（（fk- （gk）∨ 0+gk），ak∈ R、 fk，gk∈^D（R~Nm），k=1，肯德基。

所以我们的断言来自引理9.4离散化let c,  ∈ π，由C给出=N-1Xi=0（ti+1- ti）Eu[g（ti，X（ti，X*)){MXm=1KXk；Tk=ti+1（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*)))} ∨ 0].设i（k），k=1，K、 使Tk=ti（K）。然后我们有c具体如下。C=KXk=1i（k）-1Xi=i（k）-1） （ti+1）- ti）Eu[g（ti，X（ti，X*)){MXm=1KXk=k（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*))} ∨ 0]让F(∞)t、 t=0，是F的次σ-代数(∞)t=σ{X`（s）；s∈ [0，t]，`=1，2，…}。命题11存在一个常数C>0，使得| C- C| 5 C||,  ∈ Π.证据设Fk（x）=MXm=1KXk=k（P（m）Tk-TkFm，k）（πmx），k=1，然后通过引理7，有一个常数C>0，这样| C- C|KXk=1i（k）-1Xi=i（k）-1） Zti+1ti | Eu[g（t，X（t，X*))（PTk）-tFk）（X（t，X*)) ∨ 0]-Eu[g（ti，X（ti，X*))（PTk）-tiFk）（X（ti，X*)) ∨ 0]| dt5CKXk=1i（k）-1Xi=i（k）-1） Zti+1tidtZtti（r-1/2+（Tk- r）-1/2）dr5C||KXk=1i（k）-1Xi=i（k）-1） Zti+1ti（r）-1/2+（Tk- r）-1/2）所以我们有| c- C| 5 C||KXk=1ZTkTk-1（r）-1/2+（Tk- r）-1/2）苏博士的断言如下。5随机网格算子的性质为了估计随机网格算子，我们使用[9]的命题8得到的传递核p（m）（t，~xm，x）的以下估计。命题12设δ（m）为δ（m）=（3Nm（supx∈R~NmdXi=1 |V（m）i（x）|）-1，那么对于任何T>0，且m=1，M、 有一个C>0的点，使得p（M）（t，x，y）5ct-（~Nm+1）`/2hm（x）-2（~Nm+1）`exp(-2δ（m）t | y-x |），t∈ （0，T]，x，y∈ Em，and p（m）（t，x，y）5ct-（~Nm+1）`/2hm（y）-2（~Nm+1）`exp(-2δ（m）t | y-x |），t∈ （0，T]，x，y∈ 特别是，对于任何T>0，m=1，M、 q=1，存在一个C>0，使得p（M）（t，x，y）5Ct-（~Nm+1）`/2hm（x）-2（~Nm+1）`（1+| x |）q（1+| y |）-q、 t∈ （0，T]，x，y∈ Em.设ν（m）t（dx）=p（m）（t，~x*m、 x）dx。根据[9]中的第13、21和15（1）号提案，我们有以下内容。命题13设t>0，f∈ L（Em；dν（m）t）和t>s=0。

然后我们有ep[（Q（m，L，ω）s，tf）（x）|F(∞)s] =（P（m）s，tf（x），ν（m）s- a、 e.x∈ Em.andEP[|（Q（m，L，ω）s，tf）（x）- （P（m）s，tf）（x）| | F(∞)s] 5LZEmp（m）（t）- s、 x，y）| f（y）| q（m，L，ω）s，t（y）dy.命题14 Letδ∈ （0，1）然后存在一个C>0，使得llx`=1EP[|（Q（m）t，Tk，εf）（πm（X`（t）））- （P（m）t，Tkf）（πm（X`（t））|]！1/25升-(1-δ） /2（Tk）- （t）-（1+δ）（N+1）`/4（ZEmf（y）（1+|y |）-~Nmdy）1/2。对于任意ε>0，任意m=1，M、 还有f∈ 唇部（R~Nm）。命题15 LetZ（m，k）L（t；δ）=supy∈R~Nm | q（m，L，ω）t，Tk（y）- p（m）（Tk，~x）*, y） |（L）-1/(1-δ） +p（m）（Tk，~x）*, y） ）（1-δ） /2，~Z（m，k）L（t；δ）=sups∈[0，t]Z（m，k）L（s；δ）。那么我们有以下几点。（1） 对于任何δ∈ （0，1），p>1，有一个Cp，δ>0，使得ep[（L（1-δ） /2~Z（m，k）L（Tk）- ε; δ） ）p]1/p5 Cp，Δε-5\'L-任意ε的pδ/2+1/p∈ （0，Tk），k=1，…，k，L=1。（2）设δ∈ （0,1），t∈ （0，Tk）和ε∈ （0，T）。如果L（1）-δ） /2~Z（m，k）L（t；δ）51/4和p（m）（Tk，x，y）=L-(1-δ） ，然后q（m，L，ω）t，Tk（y）p（m）（Tk，~x*, y） 5.2，对于任何t∈ （0，Tk）- ε] ，k=1，K和L=1。现在我们介绍以下集合和函数。设B（m，k）（t，δ，L）∈ F、 νm，k，L，m=1，M、 k=1，K、 由b（m，K）（t，δ，L）={ω∈ Ohm; L（1）-δ） /2Z（m，k）L（t；δ）51/4}，和φm，k，L（y）=1{y∈相对长度单位；p（m）（Tk，x，y）>L-(1-δ)}.设d（m，k）i，ε，L:[0，T]×E×Ohm → [0，∞), i=1，2，3，是比亚迪（m，k）1，ε，L（t，x）=|（Q（m，L，ω）t，Tk，ε（1）给出的可测函数- νm，k，L）Fm，k）（πm（x））- （P（m）Tk-t（1）- |m，k，L）Fm，k）（πm（x））|1[0，Tk-ε） （t），d（m，k）2，ε，L（t，x）=1B（m，k）（Tk）-ε、 δ，L）|（Q（m，L，ω）t，Tk，εkFm，k）（πm（x））- （P（m）Tk-t|m，k，LFm，k）（πm（x））|1[0，Tk-ε） （t），d（m，k）3，ε，L（t，x）=|（Q（m，L，ω）t，Tk，εFm，k）（πm（x））- （P（m）Tk-tFm，k）（πm（x））|1[Tk-ε、 Tk）（t）=|Fm，k（πm（X）（Tk，X*))) - （P（m）Tk-tFm，k）（πm（x））|1[Tk-ε、 设p（t，x，dy）为x（t，x）的转移核。命题16让δ∈ (0, 1).

然后存在一个常数C>0，使得zeep[d（m，k）1，ε，L（t，x）]|g（t，x）|p（t，x）*, dx）5毫升-(1-δ） [0，Tk-ε） （t），（18）（ZEmEP[d（m，k）2，ε，L（t，x）]p（t，x*, dx）1/25CL-(1-δ） /2（Tk）- （t）-（1+δ）（N+1）`/4[0，Tk-ε） （t）、（19）和zemd（m，k）3，ε，L（t，x）| g（t，x）| p（t，x）*, dx）5c（Tk- t） 1[Tk-ε、 Tk）（t）。（20） 对于任何ε∈ （0，ε），t∈ （0，Tk]，L=1，m=1，…，m，k=1，…，k.证明。等式（20）来自引理9。我们将展示（18）和（19）。注意，ift=Tk-ε、 两边都是0英寸（18）和（19）。因此，我们将考虑t<Tk的情况-ε. 通过命题13，我们得到了zeep[d（m，k）1，ε，L（t，πm（x））]|g（t，x）|p（t，x）*, dx）=ZEEP[|（Q（m）t，Tk，ε（1）- νm，k，L）Fm，k）（x）- （P（m）Tk-t（1）- |m，k，L）Fm，k）（πm（x））|]| g（t，x）| p（t，x）*, dx）ZE（EP[（Q（m）t，Tk，ε|（1- νm，k，L）Fm，k |）（πm（x））]+（P（m）Tk-t |（1）- |m，k，L）Fm，k |）（πm（x））|g（t，x）| p（t，x）*, dx）ZE（P（m）Tk-t（1）- |m，k，L）|Fm，k |）（πm（x））g（t，x）p（t，x）*, dx）。对p=δ，q=1使用H¨older不等式-δ、 ZE（P（m）Tk-t（1）- |m，k，L）| Fm，k |）（πm（x））| g（t，x）| p（t，x）*, dx）5{ZE（P（m）Tk-t（1）- |m，k，L）|Fm，k |）（πm（x））1/（1-δ） p（t，x）*, dx）}1-δ×{ZE | g（t，x）| 1/δp（t，x）*, dx）}δ5{ZEm（1）- m，k，L（~ym））1/（1-δ） |Fm，k（~ym）|1/（1）-δ） p（m）（Tk，πm（x）*), ~ym）d~ym}1-δ×{ZE | g（t，x）| 1/δp（t，x）*, dx）}δ5L-(1-δ） {ZEm | Fm，k（πm（y））|1/（1）-δ） p（m）（Tk，πm（x）*), ~ym）δd~ym}1-δ×{ZE | g（t，x）| 1/δp（t，x）*, dx）}δ。我们使用（1）- m，k，L（~ym））1/（1-δ） p（m）（Tk，πm（x）*), ~ym）（1-δ） 5升-(1-δ） 在上一次的不平等中。我们有等式（18）。接下来我们将展示等式（19）。注意到从B（m，k）（Tk-ε、 δ，L） B（m，k）（t，δ，L），t∈[0，Tk- ε） ，k=1，K、 L=1，d（m，K）2，ε，L（t，x）51b（m，K）（t，δ，L）|（Q（m）t，Tk，εμm，K，LFm，K）（πm（x））- （P（m）Tk-t~nm，k，LFm，k）（πm（x））|。自第15，1B（m，k）（t，δ，L）q（m，L，ω）t，Tk（~ym）-152p（m）（Tk，πm（x）*), ~ym）-1.

通过命题13，我们得到了b（m，k）（t，δ，L）EP[|（Q（m）t，Tk，ε~nm，k，LFm，k）（~xm）- （P（m）Tk-t|m，k，LFm，k）（|xm）|Ft]B（m，k）（t，δ，L）LZEm|m，k，LFm，k（|ym）|p（m）（Tk）- t、 ~xm，~ym）q（m，L，ω）t，Tk（~ym）d ~ymLZEm |~nm，k，LFm，k（~ym）| p（m）（Tk，πm（x）*), ~ym）p（m）（Tk- t、 那么我们有（ZEEP[d（m，k）2，ε，L（t，x）]p（t，x*, dx）1/25（ZEEP[1B（m，k）（t，δ，L）EP[|（Q（m）t，Tk，εφm，k，LFm，k）（x）- （P（m）Tk-t|m，k，LFm，k）（x）|Ft]]p（t，x*, dx）1/25（LZEm |~nm，k，LFm，k（y）| p（m）（Tk，πm（x）*), ~ym）（ZEp（m）（Tk）- t、 ~xm，~ym）（1-δ） +（1+δ）p（t，x）*, dx）d~ym）1/25（LZEm |~nm，k，LFm，k（y）| p（m）（Tk，πm（x）*), ~ym）δ（ZEmp（m）（t，πm（x）*), ~xm）p（m）（Tk- t、 ~xm，~ym）（1+δ）/δd ~xm）δd ~ym）1/2。设q=~N。从引理12，存在一个常数C>0，这样p（m）（Tk- t、 ~xm，~ym）5摄氏度- （t）-（~Nm+1）`/2hm（~xm）-（~Nm+1）`（1+|xm |）q（1+|ym |）-q、 我们设置CasC=supt∈[0，T]最大值=1，。。。，M、 k=1，。。。，K（泽姆（x）-（~Nm+1）`（1+δ）/δ（1+| x |）q（1+δ）/δp（m）（t，~x）*m、 x）dx）δ/2×（ZE | g（t，x）| dx）1/2。由[9]的命题3限定的CI。那么既然φm，k，L（y）p（m）（Tk，~x*m、 y）-δ5lδ，wehaveZEEP[d（m，k）2，ε，L（t，x）]1/2 | g（t，x）| p（t，x*, dx）CLZEmp（m）（Tk，~x*m、 ~ym）-δ|Иm，k，LFm，k（ym）|（1+| ym |）-q（1+δ）dym（Tk）- （t）-（1+δ）（N+1）`/2,5CL-(1-δ） （Tk）- （t）-（1+δ）（Nm+1）l/2ZEm | Fm，k（~ym）|（1+| | ym |）-q（1+δ）dym。由于q=~N和Fm，kis-Lipschitz连续，ZR~Nm | Fm，k（~ym）|（1+| | ym |）-q（1+δ）dym<∞.所以我们有了这个断言。设a，b，α，β=0，和ai，bi，αi，βi=0，i=1，2。设φ（k）（t，ε；a，α，b，β）和^e（ε，γ），t∈[0，Tk）beφ（k）（t，ε；a，α，b，β）=a（Tk- （t）-α[0，Tk]-ε） （t）+b（Tk）- t） β[Tk]-ε、 Tk）（t），^e（ε，γ）=ε-(γ-1） ），γ>1，对数ε，γ=1,1,05γ<1。命题17存在一个常数C>0，这样n-1Xi=0（ti+1- ti）Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β）5c（a^e（ε，α）+bεβ+1），（21）和，n-1Xi=0（ti+1- ti（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））5Caa^e（ε，α+α）+abεβ2+1+abεβ+1+bbεβ+β2+1（22）对于任何ε>0的情况。证据假设i（k）为ti（k）=Tk，k=1，K

如果ti∈ [Tk]-1，Tk]和k>k然后Tk- ti>ε。所以请注意[Tk]-ε、 对于i（k），Tk（ti）=0-1） 5i 5i（k）- 所以我们没有-1Xi=0（ti+1- ti）Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β）=KXk=1i（k）-1Xi=i（k）-1） （ti+1）- ti）KXk=kφ（k）（ti，ε；a，α，b，β）=KXk=1i（k）-1Xi=i（k）-1） （ti+1）- ti）KXk=ka（Tk）- （ti）-α[0，Tk]-ε） （ti）+b（Tk）- ti）β[Tk]-ε、 Tk）（ti）KXk=1KXk=kZTk-εTk-1a（Tk）- （t）-αdt+i（k）-1Xi=i（k）-1） b1[Tk-ε、 Tk）（ti）（ti+1- ti）（Tk- ti）β,因为（Tk）- （ti）-α5（Tk）- （t）-α表示Ti5T 5Ti+1。另一方面，KXk=1KXk=kZTk-εTk-1（Tk- （t）-αdt 5 K^e（ε，α），kxk=1i（K）-1Xi=i（k）-1） [Tk]-ε、 Tk）（ti）（ti+1- ti）（Tk- ti）5 Kε，我们有方程（21）。接下来我们展示等式（22）。N-1Xi=0（ti+1- ti（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））（Xk；Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；a，α，b，β））KXk=1i（k）-1Xi=i（k）-1） （ti+1）- ti）Xj=1I（k）i，j，其中i（k）i，1=KXk，k=kaa（Tk）- （ti）-α（Tk）- （ti）-α[0，Tk]-ε） （ti）1[0，Tk-ε） （ti），I（k）I，2=KXk，k=kab（Tk）- （ti）-α（Tk）- ti）β[0，Tk-ε） （ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti），I（k）I，3=KXk，k=kab（Tk- （ti）-α（Tk）- ti）β[0，Tk-ε） （ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti），I（k）I，4=KXk，k=kbb（Tk- ti）β（Tk）- ti）β[Tk]-ε、 Tk）（ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti）。注意（23）和[0，Tk-ε） （ti）1[Tk-ε、 Tk）（ti）=（0，k5 k[Tk-ε、 Tk）（ti），k>k，我们有∈ {i（k）-1), . . .

，i（k）-1} ，I（k）I，2=KXk=k+1ab（Tk- （ti）-α（Tk）- ti）β[Tk]-ε、 Tk（ti）5K（Tk+1- （Tk）-αab（Tk）- ti）β[Tk]-ε、 Tk）（ti）。我们有以下类似的内容。N-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，15 aaKXk，k=kZti（k）-1.∧（Tk）∧Tk-ε） ti（k）-1)∧（Tk）∧Tk-ε） （Tk）∧ Tk- （t）-（α+α）dt，n-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，25εβ+1，n-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，35εβ+1，n-1Xi=0（ti+1- ti）I（k）I，45bbεβ+β+1。因此我们得到了定理1和定理2的证明定理18存在一个常数C>0，使得EP[|^C（εL，, L）- C|] 5 CL-(1-δ） /2^eε、 （1+δ）（N+1）`/4+ ε, L=1。证据EP[|^c（εL，, L）- C|]LLX`=1n-1Xi=0（ti+1- ti）MXm=1Xk:Tk=ti+1 | EP[g（ti，X（ti，X））（（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（ti）））]。然后通过Schwartz不等式，LLX`=1 | EP[g（ti，X（ti，X））（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（ti））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（ti））]LLX`=1EP[|g（ti，X（ti，X））|（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（t））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（t））|1[0，Tk-ε） ]+C（Tk）- t） 1[Tk-ε、 Tk）LLX`=1EP[|（Q（m，L，ω）ti，Tk，εFm，k）（πk（X`（t））- （P（k）Tk-tiFm，k）（πk（X`（t））|]！1/2[0，Tk-ε） X E[g（ti，X（ti，X））]1/2+C（Tk- t） 1[Tk-ε、 根据命题14EP[|^c（εL，, L）- C|]5中国-1Xi=0（ti+1- ti）Xk:Tk=ti+1φ（k）（ti，ε；L）-(1-δ） /2，（1+δ）（N+1）`/4,1,1）。根据命题17，我们得到了断言。引理19让a，b∈ R和c，θ>0。然后我们有c | a | 1{b=0}- 1{a=0}|5c|b- a | 1{| b-a |=θ}+cθ1{| a |<θ}证明。如果| a |>a- b |，然后{b=0}- 1{a=0}=0。所以我们看到|a |（|1{b=0}- 1{a=0}| 5 | a | 1{| a | 5 | a-b |}5 | a- b | 1{| a-b |=θ}+|a | 1{| a |<θ}。定理20 Letδ∈ （0,1），p>1。假设有γ∈ （0,1]和Cγ>0，使得N-1Xi=0（ti+1- ti）u（|MXm=1Xk:Tk=ti+1（P（m）Tk-tiFm，k）（πmX（ti，x*)))| 5θ）5cγθγ，θ∈ (0, 1).然后存在一个常数C>0，~Ohm（L，ε）∈ F、 就这样Ohm（L，ε）c）5cL-(1-δ)/2L-(1-δ） /2^eε, (1 - δ） （N+1）`/2+ ε3(1-δ)/2δ(1+γ)2+γ!,以及Ohm（L，ε）|^c（εL，, L）- C|5 CL-(1-δ)/2L-(1-δ） /2^eε, (1 - δ） （N+1）`/2+ ε3(1-δ)/2(1-δ） （1+γ）2+γ，对于L=1。证据

在这个证明中，我们表示X（t，X）*) 为了简单起见，由X（t）表示。