模糊下的道德风险

此外，对于所有p>0和所有p∈ M(Ohm), 我们用Hp（P，E，X）表示H（E，X）的子集，其元素H满足ephrtkhtkpetti<+∞.这些空间的局部版本用Hploc（P，E，X）表示。对于任意子集P M(Ohm), a P-极坐标系是P-可忽略设置为所有P∈ P、 我们说一处房产-准——当然，如果它在某个P之外-极地设置。我们也用HpP（E，X）：=TP表示∈PHploc（P，E，X）。最后，我们介绍以下过滤GP:={GPt}0≤T≤t在后续GPT中有用：=FT∨ NP，t≤ T、 NPP的集合在哪里-极集合及其右连续极限，表示为GP+。让我们使用符号R+:= (0, +∞). 无论如何∈ Hloc（P，R+, F） ，我们定义了以下概率度量：(Ohm, F） Pα：=Po （Xα）-其中Xαt:=Ztα1/2sdb，t∈ [0，T]，P- a、 s.（2.1）我们用pst表示所有这些概率测度的集合(Ohm, （英国《金融时报》）。我们从[48]中回忆起，在任何P∈ PS，并取从R+到R的所有非递减连续函数集合中的值+. 对于任何p>0bHpP（E，X），我们表示：=γ ∈ H（E，X），补充∈打气ZTkγtkpEdhBit< +∞.我们将用bα表示关于勒贝格测度的hBi的路径密度。最后，我们从[86]中回忆起∈ PSS描述了布卢门塔尔零一定律和鞅表示性质。Bydefinition，适用于任何P∈ PSWPt:=Ztbα-1/2分贝，P- a、 美国是a（P，F）-布朗运动。注意概率在P中度量∈ P验证以下两个完成的过滤等于（FWP）P，（2.2），其中FWP是工艺WP的自然（原始）过滤。wp对潜在概率测度的依赖性主要是因为随机积分的构造一般只能在几乎确定的意义上进行。

由于缺乏良好的美容效果，我们希望能够找到这个家族的通用聚合器。使用[57]的结果，例如假设我们在通常的ZFC框架下工作，除了连续统假设，实际上存在这个家族的聚合版本，我们用W表示，它是F-适应和a（P，FP）-每一个P的布朗运动∈ PS.我们在本文中的重点将是PS.Definition 2.1的以下子集。PMI是由所有P构成的PSCON的子类∈ P使得规范过程B是a（P，F）-一致可积鞅。我们坚持这样一个事实：如果一个人不想假设这样一个公理，这对我们这部分的工作来说不是问题，他只需要继续与家庭（WP）P合作∈注：然而，当在文件中定义可接受合同集时，我们需要它来定义随机积分的聚合版本。如果一个人不想使用它，这意味着我们必须限制CSBto中的控制过程Z，例如，在应用Karandikar[48]的路径积分理论时，控制过程Z具有足够规则的轨迹。然而，根据标准密度结果，它不应改变主体的价值函数。代理人的行为将被视为F-可预测的过程是在紧致集合[0，amax]中取值（每ω）。这个上界对应于代理人的最大作用力，我们假设委托人知道它。我们认为这样的假设是合理的，因为我们在这里假设委托人知道代理人的关键特征，并且后者不能任意施加更大的影响。我们用A来表示这个集合。接下来，对于任何子集P P和a∈ A、 我们定义nePa：=Q、 s.t.dQdP=EZTasbα-1/2sdWs, P- a、 s，f或一些P∈ P.我们还表示PA:=∪A.∈APa。

特别是，对于每一个P∈ PAthere是唯一的一对（αP，aP）∈Hloc（P，R+, F） x A使得bt=ZtaPsds+Zt（αPs）1/2dWaPs，P- a、 s.，（2.3），其中dWaPs:=dWs- （αPs）-1/2 psds，P- a、 s.是a（Pa，FPa）-根据Girsanov定理的布朗运动。更准确地说，对于任何P∈ PA，我们必须有dpdpα=EZTasbα-1/2分贝,对于某些（α，a）∈ Hloc（P，R+, F） x A和下列等式保持ap（B·）=A（B·）和αP（B·）=α（W·），dt×P- a、 e.为了简单起见，我们有时会表示概率测度P∈ P的任意子集的PASby Pαa Pm，我们也表示任何（t，P）∈ [0，T]×PP（P，T+）：=nP′∈ P、 P′=P，在F+to上。我们还记得，对于P上的每个概率测度Ohm 和F-停止时间τ取[0，T]中的值，存在一个正则条件概率分布族（简称r.c.p.d.）（pτω）∈Ohm（参见Stroock and Varadhan[89]），满足（i）的每一ω∈ Ohm, Pτω是(Ohm, （英国《金融时报》）。（ii）每∈ FT，映射ω7-→ Pτω（E）是Fτ-可测量的（iii）族（Pτω）ω∈Ohm是P在Fτ上的条件概率测度的一个版本，即对于每个可积ft-可测随机变量ξ我们有EP[ξ| Fτ]（ω）=EPτωξ, 为了P- a、 e.ω∈ Ohm.（iv）对于每个ω∈ Ohm , Pτω(Ohmωτ）=1，其中Ohmωτ:=ω ∈ Ohm, ω（s）=ω（s），0≤ s≤ τ(ω).此外，给定一些P和一个（Qω）ω族∈Ohm这样ω7-→ Qω是Fτ-可测与Qω(Ohmωτ=1表示所有ω∈ Ohm, 然后可以定义一个串联的概率测度PτQ·byPτQ·A.:=ZOhmQωA.P（dω），A.∈ FT.我们在结束本介绍部分时注意到∈ A只影响B的分解（2.3）中的漂移，我们直接得到了P，Pm的psubset A.∈ A、 P∩ P6= <==>  A.∈ A、 爸爸∩ Pa6=.

（2.4）显然，将目前的框架扩展到包含逆向选择的模型，也就是说，主体实际上并不完全了解主体的所有特征，这不仅在数学上是有趣的，而且从应用的角度来看也是有趣的。然而，我们相信这将导致一个更困难的问题，并留给未来的研究。2.2有限期内的合同问题2。2.1我们考虑Holmstr"om和Milgrom[47]的经典问题的推广，并确定给定的时间范围T>0。在这里，代理人和委托人都观察结果过程B，但委托人可能不观察代理人选择的行动，并且他们对合同都有一种“最坏情况”的方法，从这个意义上说，他们的行为就像“自然”通过选择最坏的产出波动性来与他们作对。更准确地说，一份合同就是一份金融时报-可测量的随机变量，仅对应于代理人在T时间收到的工资。然后，代理对项目的波动性有一些看法，这些看法可以归纳为一个家族（PA（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 对于任何（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, PA（t，ω） 下午。（t，ω）中的依赖性允许代理对波动性的信念随着时间和观察到的随机性而变化，也就是说随着输出过程B的演变和历史而变化。同样，我们引入了一个家族（PP（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm与校长的信仰有关。注意，由于ω=0代表任何ω∈ Ohm, t=0时的这些集合不依赖于Ohm, 因此，我们将对任何ω使用简化的符号PA:=PA（0，ω）和PP:=PP（0，ω）∈ Ohm. 我们强调，这些族不能完全任意选择，必须满足一定数量的稳定性和可测性，这是随机控制理论中的经典。

其中大多数都是技术性的，因此我们将避免对它们进行评论，而是将感兴趣的读者参考[69]。我们将在整篇论文中假设以下假设2.1。对于ψ=A，P，每（t，ω）有（i）∈ [0，T]×Ohm, 一个是Pψ（t，ω）=Pψ（t，ω）·∧t） 和P(Ohmωt）=1∈ Pψ（t，ω）。Pψ的图[[Pψ]]，由[[Pψ]]定义：={（t，ω，P）：P∈ Pψ（t，ω）}，在[0，t]×中是上半解析的Ohm ×M(Ohm).（ii）Pψ在条件下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 每一个P∈ Pψ（t，ω）和F-停止时间τ取[t，t]中的值，有一个r.c.p.d.（Pw）w族∈Ohm这样∈ Pψ（τ（w），w），对于P- a、 e.w∈ Ohm.（iii）Pψ在级联下是稳定的，即对于每一个（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 和P∈ Pψ（t，ω）与a F-停止时间τ取[t，t]中的值，如果（Qw）w∈Ohm是一系列概率测度，比如qw∈ Pψ（τ（w），w）对于所有w∈ Ohm 和W7-→ Qwis Fτ-可测量的，然后是串联的概率测量τQ·∈ Pψ（t，ω）。我们还需要考虑这些家族对bα的支持。定义2.2。对于ψ=A，P，我们表示，对于y（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 由Dψ（t，ω）表示r的最小闭子集+这样的∈ Ohm, bαs（w）∈ Dψ（t+s，ω）tw），为a.e.s.设计∈ [0，T- t] }）=1，其中串联路径ωtw∈ Ohm 定义为（ω）tw（s）：=ω（s）1s≤t+（w（s）- ω（t））1s∈（t，t），s∈ [0，T]。让我们以歧义集的激励性例子来结束本节。示例2.1（学习和非学习模型）。这里我们想到的主要例子是与所谓的随机G相对应的例子-期望，由Nutz在[58]中介绍。

其思想是直接指定对bα的支持，并考虑，对于ψ=A，P，集值过程Dψ：[0，T]×Ohm 7.-→ 2R+在图形的意义上，它是逐渐可测量的——可测量性，也就是说，对于所有的t∈ [0，T]，我们有（s，ω，A）∈ [0，t]×Ohm ×R+, A.∈ Dψ（s，ω）∈ B（[0，t]） 英尺 B（R）+),他在第3节的风险分担问题中观察到了这一点，但在第4节的道德风险案例中没有观察到。其中B（[0，t]）和B（R+) 波雷尔是σ吗-[0，t]与R的代数+. 在这种情况下，任何（t，ω）的集合Pψ（t，ω）都被定义∈ [0，T]×Ohm 作为概率测度P的集合∈ M(Ohm) 这样bαs（w）∈ Dψ（s+t，ω）tw），用于ds 数据处理- a、 东（南，西）∈ [0，T- t] ×Ohm.Nutz和van Handel在[59]中已经证明，集合Pψ（t，ω）确实满足假设2.1。例如，我们可以假设存在过程（αP，αA，αP，αA）∈H（R）*+, F）对于任何（t，ω）∈ [0，T]×OhmDA（t，ω）=[αAt（ω），αAt（ω）]，DP（t，ω）=[αPt（ω），αPt（ω）]。这通常会导致一个模型，在该模型中，委托人和代理人估计输出的波动性将以区间形式存在，其界限可能会随着输出过程的路径而变化。对这种情况的一种解释是，委托人和代理人都通过观察输出过程B的过去实现来更新他们的信念，因此存在某种学习效果。在本文中，我们将通过将其与一些Hamilton–Jacobi–Bellman–Isaacs偏微分方程联系起来，解释如何解决与此类框架相关的道德风险问题。然而，我们将在唯一一种情况下进一步说明我们的结果，据我们所知，这种情况导致完全明确的计算，对应于假设αP，αA，αP，αAare常数过程。在这种情况下，代理和校长没有随着时间学习。

显然，这是一种不切实际的情况，在某些情况下会导致套利——就像结果一样，会被评论。然而，我们相信，即使是这个病例，也会带来有趣的定性结果，值得彻底治疗。2.2.2委托人和代理人的效用我们现在有所有必要的工具来指定代理人获得的效用，给定合同ξ，建议的效用水平a∈ A和一个模糊集（PA（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×OhmuA（ξ，a）：=infP∈PaAEPUAξ -ZTk（as）ds,其中UA（x）：=- 经验(-RAx）是代理的效用函数，对于某些RA>0，k（x）是他的代价函数，通常假设它是递增的、严格凸的和超线性的。因此，时间0时代理的值函数为ua（ξ）：=supa∈AinfP∈PaAEPUAξ -ZTk（as）ds.类似地，主体的效用，有一个模糊集（PP（t，ω））（t，ω）∈[0，T]×Ohm, 在履行合同时，ξ和建议的工作水平a∈ A isuP（ξ，A）：=infP∈帕佩普[UP（英国电信）- ξ） ]，（2.5）其中向上（x）：=- 经验(-RPx）是主体的效用函数。设R<0表示代理的保留效用。然后，委托人的问题是根据约束条件（ξ，a）提供合同ξ以及建议的效率水平a，以最大限度地发挥其效用（2.5）≥ R、 （2.6）uA（ξ，a）=uA（ξ）。

（2.7）第一个约束是所谓的参与约束，而第二个约束是通常的激励相容性条件，说明在合同ξ的情况下，推荐的激励水平a应该是代理人的最佳响应。此外，我们将用C表示可容许契约集，也就是说FT集-可测量的随机变量，例如∈苯乙酸∪PAPEP[exp（p|ξ）]+∞, 任何p≥ 0，（2.8），我们立即强调，由于与可积性假设相关的技术原因，在解决第二个最佳问题时，我们必须对可接受的契约进行更多限制。然而，我们将最终声明推迟到第4.3节，因为它需要相当多的准备工作。3第一个最佳：变量演算问题在本节中，我们首先研究校长的第一个最佳问题，因为它将作为我们的主要基准，据我们所知，在现有文献中没有考虑过。此外，我们将看到，推导过程比经典情况下复杂得多。因此，与经典的Holmstr"om和Milgrom[47]问题相比，最优契约通常与输出BT的最终值不呈线性关系，甚至是路径依赖的，这是相当令人惊讶的。回想一下，对于任何合同ξ∈ C和任何推荐的a级福利∈ AuP（ξ，a）=infP∈帕佩普[UP（英国电信）- ξ)] .主体的值函数是thenUP，FB:=supξ∈Csupa∈A.uP（ξ，a）, （3.1）必须满足以下参与约束：∈PaAEPUAξ -ZTk（as）ds≥ R

（3.2）然后可以重写（3.1）定义的主函数的值函数，FB:=supξ∈Csupa∈A.infP∈帕佩普[UP（英国电信）- ξ） ]+ρinfP∈PaAEPUAξ -ZTk（as）ds, （3.3）这里的拉格朗日乘数ρ>0是为了确保参与约束（3.2）成立。3.1 G–teaux可微性和最优性再次强调，主要的困难在于，集合PAP和PPA过于抽象，无法直接解决一般问题（3.3），尤其是因为我们不知道这两个函数是否达到。为了克服这一重大困难，我们将把可接受的合同集限制为委托人和代理人都确实有最坏情况衡量标准的合同。为了做到这一点，让我们首先介绍一下ψ=A，P，任何合约ξ的以下WorstProbability集合∈ C、 以及任何∈ 美联社,aψ（ξ）：=P∈ Paψ，infP∈PaψEPUψ（BT）- ξ)= EPUψ（BT）- ξ).但见上文脚注2。然后我们定义：=ξ ∈ C、 P,aψ（ξ）6=, ψ={A，P}，A.∈ A..因此，问题（3.3）仅限于合同ineC becomeseUP，FB:=supξ∈埃克苏帕∈A.EP,a、 ξP[UP（BT- ξ） ]+ρEP,a、 ξaUAξ -ZTk（as）ds, （3.4）其中P,a、 ξa和P,a、 ξP的Pare属元,aA（ξ）和P,分别为aP（ξ）。其次，将上述两种预期写在不同的概率度量下并不十分方便。

因此，我们将使用它们的定义，将所有计算带回P下。让我们首先考虑所谓的Morse Transue空间(Ohm, FT，P）（我们请读者参考主题图[72,73]了解更多细节），定义为mφ：=nξ：=Ohm -→ R、 可测量，EP[φ（aξ）]<+∞, 对于任何一个≥ 0o，其中φ是年轻函数φ（x）：=exp（|x |）- 1.那么，如果Mφ被赋以normkξkφ：=supnEP[ξg]，则赋以EP[φ（g）]≤ 1o，它成为一个（非反射的）Banach空间。那么，对于任何一个∈ A和（αP，αA）∈ Hloc（P，R+, F） ×Hloc（P，R+, F） ，我们考虑映射ΞαP，αAa:Mφ-→ 由αP，αAa（ξ）定义：=EP“e-RPRTas（Xa，αP·）ds+RT（αPs）dBs-ξ（Xa，P·）+ ρe-拉ξ（Xa，αA·）-RTk（as（Xa，αA·））ds#,用Xa，αP·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αPs（B·））dBs，Xa，αA·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αas（B·））dBs。现在（ξ，a）∈对于ψ={A，P}和每个PΨ∈ P,我们把相应的αψ联系起来，（回想（2.1））。然后我们得到eup，FB=s upξ∈埃克苏帕∈一-ΞαP，,αA，敖。我们首先关注ξ的最大化。可以很容易地检查ΞαP，,αA，在ξ中有严格凸映射，这是另外一个适当的连续映射。然而，由于Mφ不存在，我们不能说它达到了最小值。尽管如此，我们仍然可以用G–teaux导数来描述极小值。