快变长记忆随机波动下的期权定价

（4.12）我们可以写作（σεt）-σ十、十、Q（0）t（Xt）dt=十、十、Q（0）t（Xt）dψεt-十、十、Q（0）t（Xt）dφεt.由It^o公式，dφεt十、十、Q（0）t（Xt）=十、十、Q（0）t（Xt）dφεt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t+LBS（σεt）十、十、Q（0）t（Xt）φεtdt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*信息技术因为LBS（σεt）=LBS（σ）+（σεt）-σ十、十、和磅（σ）十、十、Q（0）t（x）=0φεt十、十、Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σ十、十、Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φεtdt+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεtd hφε，W*它+十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t+十、十、Q（0）t（Xt）dψεt。我们有hφε，W*it=hψε，W*it=ρhψε，W it，因此（φεt）十、十、Q（0）t（Xt）= -（σεt）-σ十、十、Q（0）t（Xt）dt+（σεt）-σ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φεtdt+ρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεtd hψε，W it+dN（1）t，其中N（1）是鞅dN（1）t=十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεtφεtdW*t+十、十、Q（0）t（Xt）dψεtQ（0）t（Xt）+φεt十、十、Q（0）t（Xt）=（σεt）-σ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φεtdt+ρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεtd hψε，W it+dN（0）t+dN（1）t.（4.13）确定函数Q（1）t由（4.8）满足磅（σ）Q（1）t（x）定义-十、十、十、xQ（0）t（x）θt，Q（1）t（x）=0，其中θt=-dDt/dt等于d hψε，W it=ε1-Hθt+eθεtdt，如引理b所示。1-B.2式（B.9）中描述了Eθεt。通过应用^o’s公式，我们得到了dq（1）t（Xt）=LBS（σεt）Q（1）t（Xt）dt+十、十、Q（1）t（Xt）σεtdW*t=LBS（σ）Q（1）t（Xt）dt+（σεt）-σ十、十、Q（1）t（Xt）dt+十、十、Q（1）t（Xt）σεtdW*t=（σεt）-σ十、十、Q（1）t（Xt）dt-十、十、十、十、Q（0）t（Xt）θtdt+dN（2）t，其中N（2）是鞅dN（2）t=十、十、Q（1）t（Xt）σεtdW*t、 因此，dQ（0）t（Xt）+φεt十、十、Q（0）t（Xt）+ε1-HρeσQ（1）t（Xt）=（σεt）-σ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）φεtdt+ε1-Hρeσ（σεt）-σ十、十、Q（1）t（Xt）dt+ε1-Hρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）（σεt）- eσ）θtdt+ρ十、十、十、十、Q（0）t（Xt）σεteθεtdt+dN（0）t+dN（1）t+ε1-HρeσdN（2）t。

（4.14）接下来，我们将证明右手边的第一项小于ε1-H.我们为您介绍∈ [0，T]，R（1）T，T=ZTt十、十、十、十、Q（0）s（Xs）（σεs）-σφεsds，（4.15）R（2）t，t=ZTtε1-Hρeσ十、十、Q（1）s（Xs）（σεs）-σds，（4.16）R（3）t，t=ZTtε1-Hρ十、十、十、十、Q（0）s（Xs）θs（σεs）- eσ）ds，（4.17）R（4）t，t=ZTtρ十、十、十、十、Q（0）s（Xs）σεseθεsds。（4.18）我们证明，对于j=1,2,3,4，limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（j）t，t）1/2= 0. （4.19）步骤1:j=1的（4.19）证明。我们表示（1）s=十、十、十、十、Q（0）s（Xs）和γεt=Zt（σεs）-σφεsds，（4.20），这样我们就可以写出（1）t，t=ZTtY（1）sdγεsds。注意，Y（1）是一个有界二次变化的有界半鞅，其均方增量E[（Y（1）s-Y（1）s′）一致有界于K|s-s′|。设N为正整数。我们表示tk=t+（t- t） 我们有（1）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（1）sdγεsdsds=R（1，a）t，t+R（1，b）t，t，R（1，a）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（1）tkdγεsdsds=N-1Xk=0Y（1）tkγεtk+1- γεtk,R（1，b）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（1）s- Y（1）tkdγεsdsds。注意，我们通过Minkowski不等式得到（R（1，a）t，t）1/2≤ 2NXk=0kY（1）k∞E[（γεtk）]1/2≤ 2（N+1）kY（1）k∞小吃∈[0，T]E[（γεs）]1/2，因此，通过LemmaB。4，对于任意固定的N，我们有limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（1，a）t，t）1/2= 0.另一方面，E（R（1，b）t，t）1/2≤ kF k∞N-1Xk=0Ztk+1tkE[Y（1）s- Y（1）tk]1/4E[（φεs）]1/4ds≤ 千牛-1Xk=0Ztk+1tk（s）-tk）1/2ds sups∈[0，T]E[（φεs）]1/4≤K′√Nsups∈[0，T]E[（φεs）]1/4。因此，由LemmaB。3（第四项），我们得到→0εH-1中断∈[0，T]E（R（1）t，t）1/2≤ lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（1，b）t，t）1/2≤K′√N.因为这对任何N都是正确的，所以我们得到了期望的结果。第2步：证明j=2的（4.19）。我们表示（2）s=ρeσ十、十、Q（1）s（Xs）和κεt=ε1-HZt（σεs）-σ所以我们可以写出（2）t，t=ZTtY（2）sdκεsdsds。注意，Y（2）是一个有界半鞅，有界质量变化。设为正整数。我们表示为tk=t+（t- t） k/N。

然后我们有r（2）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）sdκεsdsds=R（2，a）t，t+R（2，b）t，t，R（2，a）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）tkdκεsdsds=N-1Xk=0Y（2）tkκεtk+1- κεtk,R（2，b）t，t=N-1Xk=0Ztk+1tkY（2）s- Y（2）tkdκεsdsds。然后，一方面（R（2，a）t，t）1/2≤ 2NXk=0kY（2）k∞E[（κεtk）]1/2≤ 2（N+1）kY（2）k∞小吃∈[0，T]E[（κεs）]1/2，因此，通过LemmaB。6，我们得到了limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（2，a）t，t）1/2= 0.另一方面，E（R（2，b）t，t）1/2≤ ε1-HkF k∞N-1Xk=0Ztk+1tkE[Y（2）s- Y（2）tk]1/2秒≤ Kε1-嗯-1Xk=0Ztk+1tk（s）-tk）1/2ds≤K′ε1-H√N.因此，我们得到lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（2）t，t）1/2≤ lim supε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（2，b）t，t）1/2≤K′√N.因为这对任何N都是正确的，所以我们得到了期望的结果。第3步：j=3的（4.19）证明。该证明与步骤2的证明相同，ηεt=ε1-HZtεs- eσds，（4.22）而不是κεt，并使用θ有界的事实。然后我们通过LemmaB得到了期望的结果。5.第4步：j=4的（4.19）证明。我们有（R（4）t，t）1/2≤ KZTtE（eθεs）1/2秒≤ K\'sups∈[0，T]E（eθεs）1/2.由莱玛写的。2.我们得到了limε→0εH-1中断∈[0，T]E（R（4）t，t）1/2= 0.我们现在可以完成命题4的证明。1.在（4.4）中，我们引入了近似公式Qεt（x）=Q（0）t（x）+φεt十、十、Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）。然后我们有QεT（x）=h（x），因为Q（0）T（x）=h（x），φεT=0，Q（1）T（x）=0。让我们表示rt，T=R（1）T，T+R（2）T，T+R（3）T，T+R（4）T，T，（4.23）Nt=ZtdN（0）s+dN（1）s+ε1-HρeσdN（2）s.（4.24）乘以（4.14）我们有qεT（XT）- Qεt（Xt）=Rt，t+NT- 新界。因此，Mt=E高（XT）|英尺= EQεT（XT）| Ft= Qεt（Xt）+ERt，T | Ft+ E新界- 新界|英尺= Qεt（Xt）+ERt，T | Ft, （4.25）给出了期望的结果，因为Rt，T | Ft为o（ε1）级-H） 在L.5。调用价格修正和隐含波动率。我们用CBS（t，x；K，t；σ）表示Bla ck–Scholes看涨期权价格，包括当前时间t、到期日t、行权K、标的价值x和波动率σ，因此Q（0）tin Eq。

（4.5）isQ（0）t（x）=CBS（t，x；K，t；σ）。事实上，CBS给出了波动率恒定时的价格的明确公式。在考虑随机波动的情况下，不存在明确的定价公式。然而，如式（4.4）所示，在随机波动率模型（1.5）对Q（0）t（x）进行修正的情况下，我们可以得到价格的一个辛表达式，即在有效或“ho-mogenized”波动率σ下评估的Black–Scholes价格。在这里，我们展示了修正后的价格在两个参数中呈现出一种相当简单的形式：相对到期时间和货币性。然后，这一表述引出了隐含波动率的简单表述，如下所示。波动性波动的长程特征确实对隐含波动性的形式有很大影响，在校准环境中，这一观察非常重要。我们用τ=T表示到期时间-t、 我们引入了特征扩散时间τ=2/σ和无量纲有效偏度系数α=ε1-HρeσD′τH3/2σ=ε1-HeσρhFF′i′τH3/2σΓ（H+3/2），（5.1）与命题4.1中给出的σ、eσ和D以及等式（3.3）中引入的相关性ρ。引理5.1。公式（4.4）中的价格修正，由罢工K标准化，可以写在表格K中φεt十、十、Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）=E-d/2xK√π!φεtττ-1/2+aFττH+ττH-1日志Kx, （5.2）d=r′τ2τhτ′τ- 日志Kxi、 （5.3）在这里，无量纲随机和确定性校正系数很小，φεt=Oετ1.-HττH, aF=Oετ1.-H、 （5.4）我们使用了命题4中定义的φεtas这一事实。1居中，并承受标准偏差φεt1/2=ετ1.-HττH（τσφ）+o（ε1）-H） ，（5.5），其中σφ由等式（4.10）定义（另见引理B.3中的等式（B.14））。

我们将在下一节中详细介绍φεtin的统计结构。由上可知，标准化价格修正取决于两个参数——货币性K/x和相对到期时间τ/’τ——以及以相对到期时间的分数l次幂表示的期限结构。如图5所示。1我们在等式（5.2）中显示了相对价格相关性，作为三个货币性K/x值的相对到期时间τ/τ的函数。实线显示了平均相对价格相关性，虚线给出了平均加/减一个标准偏差。这里我们用H=0.6，aF=0.1，和(ε/τ)(1-H） τσφ= 0.04.平均相对价格修正在中期到期时最大。相对于特征扩散时间而言，在很短的到期时间内，波动性波动的影响很小，而在很长时间内，快速均值回归“平均”会抵消波动的影响。然而，请注意，在货币层面，价格修正中的随机成分随着时间的推移衰减得很低ττH-1/2，-4-2相对到期日-0.04-0.020.020.040.060.08价格修正K/X=.9=1.0=1.1图。5.1. 作为相对到期时间τ/τ函数的价格修正。三条实线（从下到上）分别对应于K/X=0.9、1.0和1.1的平均价格修正。虚线/虚线对应于平均值±1标准偏差。这里H=0.6，aF=0.1，和(ε/τ )(1-H） τσφ= 0.04.asτ→ 0当“围绕着钱”时，钱的K/x不同于1，衰变有其形式ττH-1/2exp-τ| log（K/x）| 4τ.这反映了织女星在这个极限内发散的事实，因此对波动性波动的敏感性变得很强。我们注意到，这将影响货币数据使用的校准方案。

此外，由于主要贡献来自价格修正的随机成分，因此一致隐含波动率的短时渐近结果在这种情况下变得可疑。还要注意的是，这些参数没有根据市场数据进行校准；这将在其他出版物中考虑。如图5所示。2.我们将价格校正面表示为相对到期时间τ/τ和货币性K/x的函数。该图显示价格校正-0.051.50.05相对到期K/X0。10.5图。5.2. 作为相对到期时间τ/τ和货币性K/X函数的价格修正面。参数如图5所示。1.当到期时间与特征扩散时间的顺序相同时，该值较大。接下来我们预先发送了引理5.1的证明。证据对于支付为h（x）=（x）的欧式看涨期权- K） +，我们有cbs（t，x；K，t；σ）=xΦσ√T- tlogxK+σ√T- T-KΦσ√T- tlogxK-σ√T- T,其中Φ是标准正态分布的累积分布函数。然后，我们就有了“希腊式”的买入价关系σCBS=（T- t） σxxCBS，x十、σCBS=+logKxσ（T- t） !！σCBS。然后我们得到XxQ（0）t（x）=σ（t- （t）\'\'σCBS（t，x；K，t；σ），（5.6）xxx号xQ（0）t（x）=“2σ（t- t） +logKxσ（t）- （t）#“∑CBS（t，x；K，t；σ），（5.7），其中“织女星”由下式给出：σCBS（t，x；K，t；σ）=xe-d/2√T- T√2π，d=σ（T- （t）- logKxσ√T- t、 （5.8）然后，利用等式（4.8）中给出的Q（1）t（x），我们可以确定价格修正的形式为φεt十、十、Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）=φεt十、十、Q（0）t（x）+ε1-HρeσD（t）xxx号xQ（0）t（x）=φεtxe-d/2σp2π（T- t） ！+ε1-HxρeσDe-d/2√2π!“（T）- t） H2σ+logKxσ（t- t） 一,-H#，（5.9），这反过来会得到（5.2）。接下来，我们考虑与价格修正相关的隐含波动率。对于等式中的随机波动率模式l。

（1.5），我们想确定Lemma4中修正价格的隐含波动率。我们有cbs（t，x；K，t；It）=Q（0）t（x）+φεt十、十、Q（0）t（x）+ε1-HρeσQ（1）t（x）。（5.10）我们定义了相对隐含波动率校正δItbyIt=σ（1+δIt）。（5.11）引理5.2。相对隐含波动率修正的形式为δIt=φεtττ-1+aFhττH-1/2+ττH-3/2日志KXti+o（ε1）-H） ，（5.12），其中φε由（4.7）和aFby（5.1）定义。在图5.3中，我们展示了公式（5.12）中的隐含波动率修正，作为货币性K/x三个值的相对到期时间τ/？τ的函数。我们再次使用H=0.6、aF=0.1和(ε/τ)(1-H） τσφ= 0.04. 请注意，由于“织女星”的形式（即价格对波动的敏感性），隐含波动面的形式与价格修正的形式非常不同。如图5所示。4.我们将隐含波动率修正面显示为相对到期时间τ/？τ和货币性K/x的函数-2-1相对到期日-0.50.5隐含波动率yk/x=.9=1.0=1.1Fig。5.3. 作为相对到期时间τ/τ函数的隐含波动率修正。三条实线（从下到上）分别对应于平均隐含波动率修正叉/X=0.9、1.0和1.1。虚线/虚线对应于平均值±1标准偏差-0.4-0.21.50.2相对成熟度0。5K/X0。40.5图。5.4. 平均隐含波动率修正面作为相对成熟时间τ/？τ和货币性K/X的函数。参数如图5所示。3.证据。我们通过使用等式进行查找。（5.9）和（5.8）假设隐含波动率为σ+φεtσ（t- t） +ε1-HeσρDth2σ（T- t） +logKXtσ（t）- t） i+o（ε1）-H） 。

（5.13）因为dt是确定性的，并且由（4.9）给出，所以我们可以写出它=σ+φεtσ（t- t） （5.14）+ε1-HeσρhFF′iσΓ（H+）H（T- t） H-+logKXtσ（T）- （t）-Hi+o（ε1）-H） ，引理如下。式（5.14）中的前两项可以组合并重写为（最多为o阶o（ε1-H） ）σ+φεtσ（t- t） =EhT- tZTt（σεs）dsFti1/2+o（ε1）-H） 。（5.15）因为dt是确定性的，由（4.9）给出，所以我们可以把它写成- tZTt（σεs）dsFti1/2+σaFττH-1/2+ττH-3/2日志KXt+ o（ε1）-H） ，（5.16），因此隐含波动率是剩余时间内的预期有效波动率，以当前为条件，并进行额外的偏态修正。根据Eq.（5.5），当到期时间较短时，第四个期限（τH）-)占主导地位（5.12）。我们注意到，这与我们问题中的小参数是平均回归时间这一事实有关，因此，在这种情况下，对于Order r one的任何到期时间，波动率都有足够的时间进行波动和平均回归，给出了如引理5所示的价格修正。1.此外，因为“织女星”，σCBS，issmall away from the money（见等式（5.8）），我们得到了一个很强的货币依赖性，当成熟时间为零时，隐含的波动性就会增大。当到期时间较长时，第三个期限（τH）-) 占主导地位（5.12）。长期依赖性会产生平稳的波动性波动，这会产生一个隐含的波动性，当到期时间变为完整时，该波动性就会爆发。在这种长期到期制度下，标的资产的现值不那么重要。6.t-t过程和随机隐含面。我们在公式（4.7）中引入了随机修正系数φεt≡ φεt，t，给出价格修正的随机成分和隐含波动率。注意，我们在此明确显示了对成熟度T的依赖性。

如果波动过程是阿马尔科夫过程，那么修正将是决定性的，如inFouqueet al.（2011）。波动过程中长期记忆的存在意味着来自波动路径（pas T）的信息必须向前传递，这使得相对于均一波动率下价格的价格修正成为一个随机过程；隐含波动率也是如此。这里我们讨论了随机场的统计结构，它描述了我们所考虑的标度制度中的隐含波动率表面。隐含波动率是典型校准过程中的中心量。要为隐含波动率的相干部分和非相干部分设计有效的估计器，以及表征由此产生的估计精度，了解观测到的隐含表面的统计特性非常重要。我们在下面给出这些函数的精确描述。当赫斯特指数较大时，隐含波动率在较长时间内对成熟度（相对于τ）的影响变得很强，因为较大的赫斯特指数会对预期波动率产生显著的时间一致性和较大的修正。另一方面，对于短期到成熟期，当赫斯特指数很小时，波动变得很大，因为小赫斯特指数给出了一个粗糙的过程，即使在很小的时间间隔内，波动也很大。值得注意的是，隐含波动率表面的相关结构实际上编码了有关潜在随机波动率长期特征的信息。例如，在固定到期时间内观察货币隐含波动率波动作为当前时间的函数，可以提供信息来估计赫斯特指数，并检查建模框架的一致性。

InLivieri等人（2017年）在货币隐含波动率上观察到的波动率被用来估计赫斯特指数。作者发现一个系数略大于使用历史数据的相应估计值，并解释了由于持续成熟时间而产生的平滑效应方面的差异。为了构造和解释这类估计器，一个将隐含表面作为随机场与潜在波动性参数联系起来的模型显然是必不可少的。为了理解隐含波动率随机场，首先请注意它来自LemmaB。3表示为ε→ 0，随机过程εH-1φεt，t/[σφ（t- t） H]，t<t，在分布上（在有限维分布的意义上）收敛于aGaussian随机过程ψt，t，t<t，归一化t-t校正过程，对于任何t，均为零，方差为1，协方差E[ψt，tψt′，t′]=Cφ（t，t′；t，t′）∈[0，T），T′∈ [0，T′。四参数函数Cφ由等式（B.16）给出。我们接下来将详细讨论T-T过程sψT，T，一个当前时间T和成熟度T的两参数过程。这个过程定义在0<T<T上；它是一个非平稳高斯过程，并且它被缩放为具有恒定的单位变量。正如我们在下面看到的，接近成熟度T≈ 这一过程受到成熟度界限的强烈影响。让我们首先考虑固定到期日T的情况，并介绍过程ψ（T；T）=ψT，T，T∈ [0，T]。（6.1）相对于到期时间而言，时间较短，即| t- t′|<< T- t、 由式（B.16）可知，过程（ψ（t；t））t∈[0，T]解相关asEψ（t；t）ψ（t′；t）~ 1.-|T-t′| 2（t- t） ，这意味着它在短时间内作为马尔可夫过程去相关。