期权定价问题的初步探讨

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英文标题：
《An elementary approach to the option pricing problem》
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作者：
Nikolaos Halidias
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Our goal here is to discuss the pricing problem of European and American options in discrete time using elementary calculus so as to be an easy reference for first year undergraduate students. Using the binomial model we compute the fair price of European and American options. We explain the notion of Arbitrage and the notion of the fair price of an option using common sense. We give a criterion that the holder can use to decide when it is appropriate to exercise the option. We prove the put-call parity formulas for both European and American options and we discuss the relation between American and European options. We give also the bounds for European and American options. We also discuss the portfolio\'s optimization problem and the fair value in the case where the holder can not produce the opposite portfolio.
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中文摘要：
我们的目标是利用初等微积分来讨论离散时间内欧式和美式期权的定价问题，以便于一年级本科生参考。利用二项式模型，我们计算了欧洲和美国期权的公平价格。我们用常识解释了套利和期权公平价格的概念。我们给出了持有人可以用来决定何时行使期权的标准。我们证明了欧式和美式期权的看跌期权平价公式，并讨论了美式和欧式期权之间的关系。我们也给出了欧洲和美国选择的界限。我们还讨论了在持有人不能产生相反投资组合的情况下，投资组合的优化问题和公允价值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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PDF下载：
--> An_elementary_approach_to_the_option_pricing_problem.pdf (143.72 KB)

2022-5-12 10:33:38 上传

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关键词：期权定价 Mathematical Quantitative Optimization mathematica

期权定价问题的基本方法Nikolaos Halidias Ageankarlovassi大学数学系83200 Samos，Greeceemail：nikoshalidias@hotmail.comApril2016年7月7日摘要我们的目标是利用初等微积分在离散时间内讨论欧洲和美国期权的定价问题，以便为一年级本科生提供一个简单的参考。利用二项式模型，我们计算了欧洲和美国期权的公平价格。我们用常识解释了套利的概念和期权的空中价格的概念。我们给出了一个标准，持有人可以用来决定何时行使期权是合适的。我们证明了欧式和美式期权的看跌期权平价公式，并讨论了美式和欧式期权之间的关系。我们也给出了欧洲和美国选择的界限。我们还讨论了在持有人不能产生相反的投资组合的情况下，投资组合的优化问题和公允价值。关键词期权定价，投资组合优化，公允价值。2010年数学学科分类91-01、91G10、91G201简介我们的出发点是论文【1】，作者在论文中介绍了二项式模型，并解释了如何使用它来评估欧洲期权的f航空价格。我们的目标是利用二项式方法和基本微积分来研究离散时间内的期权定价问题，以便于一年级本科生参考。有许多书在更高级的环境中讨论了二项式模型，参见示例[2]、[3]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]。这里的目的是用初等微积分来解释二项式方法，但不损失任何数学精度。我们从一开始就开始讨论，即我们首先描述如何建模资产的移动。

然后，我们描述了一个人如何用规定的最终和中间价值构建投资组合，并讨论了欧洲和美国类型的选择。我们还讨论了套利的作用，并证明了在某些适当的条件下，本项模型不允许套利。我们证明了欧式和美式期权的看跌期权平价公式，并讨论了美式和欧式期权之间的关系。我们也给出了欧洲和美国选择的界限。我们还讨论了投资组合的优化问题以及在持有人不能产生相反投资组合的情况下的公允价值。假设我们的市场由一个风险资产（如S）和一个非风险资产（如B）组成，每日利率为r。为简单起见，我们认为只有一个周期，即时间0和时间1。在时间零点，没有人知道风险资产在时间零点的价值，也就是说，没有人知道S。我们如何建模？例如，我们可以研究资产在最后一个月（比如一个月）的表现方式，并将获得的u p百分比的平均值表示为u，将获得的下降百分比的平均值表示为d。然后我们可以假设风险y资产在未来将遵循s amepath路径，因此我们可以在时间零点用图表ALLYSSN=0 n=12构建一个具有规定最终价值的投资组合，有人可以购买风险资产的a股，并将金额b存入银行，因此构建一个初始价值为V=aS+b的投资组合。如果我们的时间段是一天，那么一天后，如果资产价值上升，投资组合的价值将为Vu=a（uS）+b（1+r），如果资产价值下降，则为Vd=a（dS）+b（1+r）。我们可以用图表的形式写下它：usdsn=0 n=1vvuvdSupplose，现在我们得到了具体的数字A，B，我们被要求构造一个文件夹（A，B），这样，在上述假设下，将有最终的值Vu=A和Vd=B。

在时间零点，我们必须向银行存入多少资金b，在时间零点，我们应该购买多少风险资产份额？我们的示意图如下：SUSDSN=0 n=1V=？Vu=AVd=B（a=？，B=？）我们必须解两个方程，其中两个未知量是A（uS）+b（1+r）=A，A（dS）+b（1+r）=b如果S6=0，r6=-1和u>d。在上述假设下，我们得到系统的解为A=A- B（u）- d） S，b=Bu- 广告（美国）- d） （1+r）因此，我们投资组合的初始价值必须为V=aS+b=1+rqA+（1）- q） B其中q=1+r- 杜-这就产生了，如果一个人把a，b从上面替换成V=aS+b≤ 那就意味着我们必须向银行借钱，如果≤ 0意味着我们必须出售我们不属于的资产的股份。那么，根据Vwe已经构建了一个最终值为a、b的投资组合（a、b）。有没有机会构建一个最终值为a+ε和b+ε（ε>和ε>0）和初始值为V的投资组合？让我们首先用最终值a+ε和b+εa=a+ε来确定投资组合（a，b）- ε（u）- d） S，b=b+εu- εd（u）- d） （1+r）注意投资组合（a，b）有初始值，我们也希望投资组合（a，b）有相同的初始值，但最终值更大。因此，它必须保持ε- ε（u）- d） +εu- εd（u）- d） （1+r）=0换句话说，它必须保持ε（1+r）- d） +ε（u）- （1+r））=0（1）3套利和最小初始值是指初始值V=0且最终值Vu>0Vd的任何投资组合（a、b）≥ 奥沃≥ 0Vd>0如果omeone可以构建这样的投资组合，那么他可以从银行借款/向银行投放b资金（一次又一次）购买/出售资产的a股，最后他以零初始资本和零风险盈利。

当然，在现实世界中并不存在这样的投资组合，所以在我们的数学模型中，我们应该排除这种情况，我们称之为套利。定理1二项式模型不允许套利效应0<d<1+r<f。假设0<d<1+r<u成立。我们构造了一个投资组合（a，b），比如v=aS+b=0，这样b=-像假设vu=a（uS）+b（1+r）>0Vd=a（dS）+b（1+r）≥ 0我们现在将看到，实际上我们有一个>0。我们可以写evu=auS- 因为（1+r）>0所以我们到达了美国- （1+r））>0利用u>1+r这一事实，我们得到a>0。替换等式b=-在不平等中≥ 我们的结论是≥ 1+r但这是一个矛盾。使用同样的论证，我们可以得出结论，如果d<1+r<u，这是不可能发生的≥ 反过来，假设二项式模型不允许套利。考虑所有初始值为v=aS+b=0的可能投资组合，如果Vu>0，那么Vd<0，否则（a，b）是一个套利机会。通过将Vu>0和-性病≥ 我们得到a>0。利用这些不等式和a>0，我们得到所需的不等式，即d<1+r<u。如果Vu<0，则Vd>0，否则(-A.-b） 这是一个套利机会。相同的事情促使我们得出相同的结论。如果Vu=0，则Vd=0，否则（a、b）或(- A.-b） 这是一个套利机会。通过这两个等式，我们得出结论，d=1+r=u，这意味着资产的价值保持不变。从现在开始，我们假设0<d<1+r<u，以避免模型中的套利。我们已经证明，对于任何A，B，在假设u>d，R6=-1和S6=0。这被称为模型的完整性。

那么最终价值为A、B的投资组合的最小初始价值呢？我们已经证明，如果有人想要构造一个最终值为sa+ε和B+ε的投资组合，那么ε，ε应该满足等式（1）。假设我们的模型不允许套利，那么方程（1）保持有效ε=ε=0。因此，如果我们的模型不允许套利，我们的投资组合的最小初始值为最终值A，B。4二期b二项模型我们可以扩展两期二项模型的结果，即SUSDSDSDSUSUUSI如果一期二项模型没有套利，那么两期（以此类推）二项模型的套利率相同。我们还可以构建一个投资组合，并示意性地使用以下VuVudVddVvWithVuU=a（uuS）+b（1+r），Vud=a（udS）+b（1+r），Vdu=a（duS）+b（1+r），Vdd=a（ddS）+b（1+r）假设现在我们得到了特定的数字Auu，Aud，Adu，Add，Au，Ad，AA，我们被要求构建最小的投资组合，比如VuU≥ 奥乌，武德≥ 视频显示器≥ 阿德，Vdd≥ 加上，Vu≥ 奥，Vd≥ 广告，V≥ 事实上，我们有很多≥ 奥武德≥ 奥德夫都≥ 阿杜夫德≥ 阿德武≥ 奥夫德≥ Ad（a=？，b=？）（a=？，b=？）五、≥ A（A=？，b=？）我们如何构建这样一个投资组合？我们想要似曾相识≥ AU，并且在时间2具有值Auu，Aud。选择，Vu=max{Au，1+rqAuu+（1）- q） 奥德}我们得到了预期的结果。对于Vd也是如此，即Vd=max{Ad，1+rqAdu+（1）- q） 加上}然后，我们选择V=max{A，1+rqVu+（1）- q） 性病}.

接下来，我们构建投资组合（a，b），（a，b）和（a，b）。很明显，初始值相对于最小值，可以构建具有特定要求的投资组合。5欧式和美式期权一种被称为欧式看涨期权的合同赋予其持有人权利，但没有义务在未来的规定时间以规定价格K从卖方购买规定资产。因此，在时间T时，期权持有人拥有利益（如有）- K） +这是期权作者在合同到期时必须支付的金额。很明显，这种合同会给持有人带来初始成本。这份合同的公允价值是多少？作者在时间T时，使用V应持有的金额构建持有人的利益（ST-K） +。因此，如果我们考虑我们的模型（例如单期模型），问题是找到V、a、b来构建具有特定最终价值的投资组合。实际上，我们有如下，1/2Vu=（美国）- K） +=4/3Vd=（dS）- K） +=0（a=？，b=？）V=？例如，S=1，u=2，d=1/2，K=2/3。因此，这个问题可以像我们之前描述的那样得到解决。我们已经看到，如果d<1+r<u，那么用这种方法计算的V，是作者为构建消除风险的投资组合而需要的最小金额。请注意，没有任何途径可以让作者终止或通过销售本合同赚钱。此外，h老人可能会赔钱，但也可以从合同中赚钱。任何高于V的价格都将确保对作者有利（无风险）。那么，在这种情况下，期权持有人即使拥有积极的利益，也不会行使期权呢？然后，这一利益仍由国际热核试验堆承担。这是套利吗？为了决定这是否是套利，我们只计算资产的所有可能路径。

如果对于资产的所有可能路径，持有人可以在wr iterwill以某种方式行使，但没有确定的回报，那么我们就没有套利。所有这些结果都可以推广到两个周期模型和一般的n个周期模型。美式看涨期权合同赋予其持有人在到期日之前的任何时间以规定价格从卖方购买规定资产的权利，但无义务。因此，持有人的利益（如有）为- K） +在哪里≤ T是锻炼时间。问题是这个合同的公平价格是多少。作家应该有足够的钱应付各种情况。考虑到两个周期模型，持有人可以在时间0,1以及时间2行使期权。因此，作者应该构建一个至少在任何时候都有价值的投资组合（St- K） +即持有人的利益（以消除风险）。所以，问题是指定数字sauu、Aud、Adu、Add、Au、Ad、a，并构建一个组合，以便使用≥ 奥武德≥ 奥德夫都≥ 阿杜夫德≥ 阿德武≥ 奥夫德≥ Ad（a=？，b=？）（a=？，b=？）五、≥ A（A=？，b=？）因此，我们计算我们描述的Vas，以及（a，b），（a，b）和（a，b）。使用这笔钱，作者将确保他有足够的钱购买资产的所有可能部分（即，他可以构建一个消除风险的投资组合）。作者没有办法确保利润，因为在每一条途径中，持有人都可以以其利润等于投资组合价值的方式行使。由Xnholder公司在时间n表示行使期权的最佳时间是什么时候？如果持有人在时间n行使权利，那么实际收益将为（考虑到他为该期权支付的金额v）Xn- V（1+r）n.在此之前，一个标准是当Xn>V（1+r）n，即。

在这种情况下，持票人将比他将增值税时间为零的情况下赚更多的钱给银行。如果期权持有人选择在Xn<vn时行使期权，那么作者就有了利益。这是套利吗？不，这并不是一个错误，因为套利的概念独立于持有者的选择。这取决于资产的所有可能路径。例如，考虑一个行使价格为K=5/2、N=3、u=2、d=1/2和r=1/2的美式看涨期权。假设资产在前两个时期沿着路径uu移动。持有人应决定是否在n=2时行使期权。进行计算时，持有人应选择n=2，因为其利润为（Suu- （K）- V（1+r）=3/2- 0.48（1+1/2）>0还要注意，当时期权的价值是Huu=Vuu=2.44>Xuu=3/2，因此作者也有积极的利益。当然，持有者可以选择等待，如果资产再次上涨，他将获得更大的利润，但如果资产下跌，他将失去所有资金。如果期权持有人可以出售期权，或者他能够出售他在时间n=2时不拥有的大量资产，那么他应该（此时）决定什么对他更有利。无论如何，在时间n=2时，他应该决定下一步行动。我们应该指出，如果对于某些n，我们有VAn=x，并且进一步假设持有者当时没有运动，那么作者就有了更多的钱，而不是他真正需要的钱来进行下一步。在这之前，他可以使用这笔额外的钱，并将其余的钱适当地投资于消除风险。在这种情况下，让我们将投资组合的价值表示为VACn。他还可以把这笔钱存入安永银行或投资股票。

在这种情况下，我们将投资组合的价值表示为Van，因此它持有SthatVacn≤ VAnDenote由Hn提供以下序列Hn=对于n=n，最大{XN，1+rqHun+1+（1）- q） Hdn+1}, 对于n=n- 1.0我们说Hn是时间n时美式期权的公允价值。注意，VAn≥ 嗯。X=11/2X=0X=0X=0Huu=2.44Xuu=3/26看跌期权平价公式、欧洲和美国期权之间的关系以及期权的界限6。1欧式看跌期权-看涨期权考虑一个执行价为K的欧式看涨期权和相应的欧式看跌期权。让我们用VE，call和VE来表示，在N-周期二项模型上，期权的价格。下面的公式成立，VE，calln- VE，putn=Sn- K（1+r）N-n、 n=0。。。，Nindead，因为我们有，callN- VE，putN=（SN- （K）+- （K）- SN）+=（SN）- （K）+- （序号- （K）-= 锡- 假设这个公式适用于某些n，我们将证明它也适用于n- 1，维特，卡恩-1.- 维特，普顿-1=1+rq（Vu，E，calln）- Vu，E，putn）+（1- q） （Vd，E，calln）- Vd、E、putn）=1+rq（美国海军）-1.- K（1+r）N-n） +（1）- q） （dSn）-1.- K（1+r）N-n）= 锡-1.- K（1+r）N-n+16.2欧洲和美国选项之间的关系一般来说，即使≤ n=0。。。NinDect，对于n=n，我们有n=XN=hn，其中XN是持有人在时间n的利润。假设它包含f或一些n，那就是≤ 我们将证明它也适用于n- 1.我们可以写-1=最大值{Xn-1,1+rqHun+（1）- q） Hdn}≥ max{Xn-1,1+rqVu，En+（1）- q） Vd，嗯}= max{Xn-1.VEn-1}≥ 维恩-1现在考虑一个例子，我们有一个执行价为K的欧式期权，以及N期模型中相应的美式期权。如果我们谈论认购期权，安德烈≥ 然后我们将证明ve，calln=Hcalln（当r≥ n=0。。。，我们首先需要证明≤ VE，calln，n=0。。。，我们将通过归纳法来证明这一点。对于n=n，这是显而易见的，我们假设它适用于某些n，我们将证明它也适用于n- 1.