模糊下的道德风险

因此，我们将使用它们的定义，将所有计算带回P下。让我们首先考虑所谓的Morse Transue空间(Ohm, FT，P）（我们请读者参考主题图[72,73]了解更多细节），定义为mφ：=nξ：=Ohm -→ R、 可测量，EP[φ（aξ）]<+∞, 对于任何一个≥ 0o，其中φ是年轻函数φ（x）：=exp（|x |）- 1.那么，如果Mφ被赋以normkξkφ：=supnEP[ξg]，则赋以EP[φ（g）]≤ 1o，它成为一个（非反射的）Banach空间。那么，对于任何一个∈ A和（αP，αA）∈ Hloc（P，R+, F） ×Hloc（P，R+, F） ，我们考虑映射ΞαP，αAa:Mφ-→ 由αP，αAa（ξ）定义：=EP“e-RPRTas（Xa，αP·）ds+RT（αPs）dBs-ξ（Xa，P·）+ ρe-拉ξ（Xa，αA·）-RTk（as（Xa，αA·））ds#,用Xa，αP·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αPs（B·））dBs，Xa，αA·（B·）：=Z·as（B·）ds+Z·（αas（B·））dBs。现在（ξ，a）∈对于ψ={A，P}和每个PΨ∈ P,我们把相应的αψ联系起来，（回想（2.1））。然后我们得到eup，FB=s upξ∈埃克苏帕∈一-ΞαP，,αA，敖。我们首先关注ξ的最大化。可以很容易地检查ΞαP，,αA，在ξ中有严格凸映射，这是另外一个适当的连续映射。然而，由于Mφ不存在，我们不能说它达到了最小值。尽管如此，我们仍然可以用G–teaux导数来描述极小值。

实际上，一个随机变量ξ∈ Mφ使αP最小化，αa必须满足以下性质的αP，,αA，a（ξ）[h- ξ] ≥ 0，对于任何h∈ Mφ，（3.5）式中ΞαP，,αA，腺苷是ΞαP的GΞteaux衍生物，,αA，阿吉文·比耶德，,αA，a（ξ）[h]=EP“RPh（Xa，αP，·)E-RPRTas（Xa，αP，·)ds+RT（αP，s） 星展银行-ξ（Xa，αP，·)- RAh（Xa，αA，·)ρe-拉ξ（Xa，A·）-RTk（as（Xa，αA，·))ds#.因此，如果合同ξ∈eC满足属性（3.5），对于问题（3.4）是最优的。我们想坚持的事实是，在这一部分中，我们的主要目的是提出一种研究波动率不确定的风险分担问题的通用方法。从我们对这个问题的理解来看，我们认为，对于非常普遍的模糊集PAP和PP来说，不从研究次优问题（3.4）开始是非常困难的，因为后者可以用上面更方便的形式来表达。尽管如此，我们将在下面展示，在我们创造的“非学习”模型中，限制实际上没有失去普遍性，这给了我们希望在未来的工作中能够处理完全普遍的情况。然而，这超出了本文的范围。话虽如此，让我们更准确地描述一下我们为解决风险分担问题而提出的操作方式。方法1。该方法分为两个步骤。（1） 我们将研究局限于包括ineC在内的一组特定合同，我们凭直觉证明了这一点。如果这个问题可以解决，我们就可以检查相应的最优合同是否满足（3.5）中的一阶最优条件。（2） 有了次优问题（3.4）的解决方案，我们可以尝试证明它实际上与问题（3.3）的值函数一致。当然，我们需要谈谈在上述第一步中选择相关合同子集的问题。

正如[14,15]中所解释的，当一个人处理一个问题，其中输出的波动性由代理控制时，相对于输出波段的线性（在积分意义上）合同及其二次变化hBi起着基本作用。因此，我们希望（并期望）在以下条件下获得最佳合同：=ξ ∈eC，ξ=ZTztdBt+ZTγtdhBit+ZTδtdt，（z，γ，δ）∈ HP（R，F）×bHP（R，F）×H（R，F）.在这种情况下，合同ξ显示为受控扩散过程的终值，我们预计风险分担问题（3.4）可以使用随机控制理论的技术来解决。这样的一般解决方案也超出了本文的范围，但我们将通过完全解决最简单的可能情况来说明我们的方法（对于这种情况，证明已经远远不是微不足道的）。3.2非学习模型的应用在本节中，我们将说明前面在例2.1中介绍的“非学习”模型中的解释。我们将看到，我们实际上可以进一步简化上面的seteQ，并引入setq:=nξ∈ C、 ξ=zBT+γhBiT+δ，（z，γ，δ）∈ 罗。请注意，合同假定为C语言，而非ineC语言。这实际上是我们的一个结果，Q欧共体。从现在开始，注意Q中的任何契约ξ都由相应的三重过程（z，γ，δ）唯一定义。对于任何三重态（z，γ，δ），我们设置ξz，γ，δ：=zBT+γhBiT+δ。因此，我们旨在解决次优问题FB:=sup（z，γ，δ）∈P（F）苏帕∈A.infP∈帕佩普英国电信- ξz，γ，δi+ρinfP∈PaAEPUAξz，γ，δ-ZTk（as）ds.

（3.6）我们坚持认为，这种情况不同于最初的Holmstr"om–Milgrom[47]问题，在BT中，第一个-最好的合同是线性的，因此更接近于[14]中最近的推广，即允许代理人控制产出的波动性，最优合同在其二次变化hBiT中是线性的。尽管如此，在[14]的背景下，道德风险源于输出过程的多维性，而在我们的框架中，道德风险源于主体和代理人的最坏情况态度。3.2.1不相交P的退化性PAOur第一个结果表明，如果主体和代理的模糊集完全不相交，则Q中存在契约序列，这样主体可以达到其效用的普遍上界0，同时确保代理仍然收到其保留效用R。定理3.1。（i） 假设αP<αA。然后，考虑合同序列（ξn）n∈N因此，推荐使用ξn:=nhBiT-TnαA+δ, δ:= Tk（amax）-日志(-R） RA我们有limn→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0和uA（ξn，amax）=R≥ 1.（ii）假设αP>αA.T，考虑合同序列（ξn）n∈N以及推荐的效价，ξn:=-nhBiT+TnαA+δ, δ:= Tk（amax）-日志(-R） 罗威有利姆→+∞对于任意n，uP，FB（ξn，amax）=0和uA（ξn，amax）=R≥ 1.在证明这个结果之前，让我们对其进行评论。我们将看到这样一个证明：当委托人和代理人的不确定性集完全不相交时，委托人可以在合同中使用二次变化分量，以使其在指数中出现一个他可以使其任意大，但代理人在其效用中根本看不到的项，当它被构造成在最坏的情况下消失时——cas E概率测量代理。

因此，这是委托人和代理人的最坏情况衡量标准之间的差异，以及他们的不确定性集不相交这一事实的结合，这使得问题恶化。从数学角度来看，这是一个相当令人惊讶的结果，但从经济学角度来看，这并不令人惊讶。事实上，首先，在这种情况下，代理人和委托人并不以某种方式生活在同一个世界，因为他们有完全不同的信仰。此外，他们都没有从对已实现波动性的观察中吸取教训，并更新自己的信念，这使得这一具体情况相当粗糙。然而，我们仍然相信，它可以作为一个玩具模型感兴趣，只要一个仔细考虑从中得出的结论。我们稍后将证明，这种现象也总是发生在第二个最好的情况下。证据（i） 第一种情况：αA>αP。我们的目的是证明合同序列（ξn）是合同的最大化序列，当推荐额外的效用水平时，允许委托人达到效用0。我们有（ξn，amax）=infP∈PamaxPEP[UP（英国电信）- ξn）]=infP∈帕马克斯佩普-E-RP（BT）-nRTαPsds+TnαA-δ)i=e-RP（TnαA）-δ)infP∈帕马克斯佩普-E-RP（RT（αPs）1/2dWamaxs+T amax-nRTαsds）i=-E-RP（T amax+TnαA）-δ)晚餐∈帕马克斯佩普E-RPZT（αPs）1/2dwaxs×expRPZTαPsds+RPnZTαPsds= - 经验-RP阿马特- δ+Tn（αA）-αP）-RPTαP,我们使用了一个事实，对于任何P∈ PamaxP，我们有经验RPZTαPsds+RPnZTαPsds≤ 经验TRPαP+RPnTαP, P- a、 上面出现的随机指数显然是P-任意P的鞅∈ PamaxP，因此s upremum的值是明确的，并且对于测量值PαPamax是可获得的。因此，我们得到uP（ξn，amax）-→ n时为0→ +∞. 从那时起，FB≤ 0时，我们推断序列（ξn）在n到+∞.

这仍然需要证明，对于任何n∈ N, ξ不可接受，即ξnsatis fiesinfp∈帕马谢弗ξn- Kamax）T我≥ R、 n∈ N.的确，infP∈PamaxAEP[UA（ξn）- T k（amax））]=infP∈帕马克萨普[- 经验(-RA（ξn）- T k（amax））]=infP∈帕马克萨普- 经验-拉nZTαPsds-TnαA+δ- Tk（amax）= - 经验-拉δ- Tk（amax）-TnαA晚餐∈帕马克萨普经验-RAnZTαPsds= -E-RA（δ）-tk（amax））=R（ii）第二种情况：αA<αP。证明类似，因此我们省略了它。3.2.2具有交叉不确定性集的最优合同我们现在应用方法1研究非退化情况。我们将介绍以下为任意（a，z，γ，δ，αP，αa）定义的地图∈ A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，将在以下（A，z，γ，δ，αP，αA）中发挥重要作用：=ΓP（A，z，γ，δ，αP）+ρΓA（A，z，γ，δ，αA），（3.7）其中ΓP（A，z，γ，δ，αP）：=- 经验RPδ - (1 - z） ZTasds+RP（1）- z） +γα-铂,ΓA（A，z，γ，δ，αA）：=- 经验拉ZTk（as）ds- zZTasds- δ +拉兹-γαAT.让我们定义Adet的子集 一系列确定性的行为。我们定义了任何（a，z，γ，αP，αa）∈A×R×[αP，αP]×[αA，αA]，G（A，z，γ，αP，αA）：=- ρRPRA+RPRA+RPRPRARP-RARA+RPeRARPRA+RPRT（k（as）-as）ds×eRARPRA+RP（γT（αP-αA）+T（αPRP（1-z） +α-ARAz）。当αP=A时，注意到G（A，z，γ，αP，αA）不依赖于γ，我们将简单地写出G（A，z，αP）：=G（A，z，γ，αP，αP）。为了减少以后的计算，我们将集合Q划分为Qγ：=ξ ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ<-RP（1）- z）,Q |γ|：=ξ ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1）- z） <γ<RAz,Qd：=ξ ≡ （z，γ，δ）∈ Q-RP（1）- z） =γ,曲：=ξ ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ=RAz,Qγ：=ξ ≡ （z，γ，δ）∈ Q、 γ>拉兹,并定义任何（a，ξ）∈ A×CeuP，FB（A，ξ）：=infP∈帕佩普[UP（英国电信）- ξ） ]+ρinfP∈PaAEPUAξ -ZTk（as）ds.以下引理计算了委托人在任何合同ξ中建议的效率水平的效用euP，FB（a，ξ）∈ 问题：它的证据被归入附录。引理3.1。我们有Q欧共体。

除此之外，再加上一些∈ A和一些ξ∈ Q、 用ξ≡ （z，γ，δ）。（i） 如果ξ∈ Qγ，然后euP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。（ii）a）如果ξ∈ Qd，那么对于任何P∈ PaP，EP[UP（英国电信）- ξ） ]=infP∈帕佩普[UP（英国电信）- ξ） 特别是对于任何αP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）∈ [αP，αP]。b） 如果ξ∈ Q |γ|，然后euP，FB（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。c） 如果ξ∈ Qu，那么对于任何P∈ 帕拉，EPUAξ -ZTk（as）ds= infP∈PaAEPUAξ -ZTk（as）ds,特别是对于任何αa，euP，fb（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）∈ [αA，αA]。（iii）如果ξ∈ Qγ，然后euP，fb（a，ξ）=F（a，z，γ，δ，αP，αa）。下一个引理计算F相对于δ的上确界。它的证据也被归入附录。引理3.2。对于任意（a，z，γ，αP，αa）∈ A×R×R×[αP，αP]×[αA，αA]我们有supδ∈RF（a，z，γ，δ，αP，αa）=F（a，z，γ，δ（z，γ，αP，αA），αP，αA）=G（A，z，γ，αP，αA），其中δ（z，γ，αP，αA）：=RA+RP日志ρRARP+ZT（（RP（1- z）- RAz）as+RAk（as））ds-RP（RP（1- z） +γ）αPT+RA拉兹- γαAT.下一个引理给出了一个固定的拉格朗日乘子ρ的最优契约和函数，以及主问题Q的每一个子集。引理3.3。