基于惩罚分位数回归的资产配置策略

（2004）确定与RpasE[u（Rp）]=Z相关的预期效用∞-∞u（rp）dFRp（rp）=ZuF-1Rp（θ）dθ，（2）其中，FRp（rp）表示在rp处评估的rp的分布函数，密度FRp（rp），而θ是分位数指数，因此θ∈ U、 和你 (0, 1).这种框架与Choquet预期效用（Schmeidler，1989）直接相关，定义了基ν[u（Rp）]=ZuF-1Rp（θ）dν（θ），（3）式中ν（.）是一个畸变函数，它修改了最初的概率评估。特别是，ν（.）允许反映与最小f可避免（即ν（.）是凹面的）或最可避免的结果（即ν（.）是凸的）。Bassett等人（2004年）建议使用函数να（θ）=min{θ/α，1}，其中α是一个非常低的概率水平，例如α={0.01,0.05,0.1}，与fRp（rp）左尾的（负）回报相关。然后，（3）可以重写为εα[u（Rp）]=α-1ZαuF-1Rp（θ）dθ，（4）其中Eνα[u（Rp）]表示悲观，因为它反映了与α最不利结果相关的可能性，而剩余的1- α比例完全降低。等式（4）与极端风险的度量直接相关，να（Rp），由Bassett等人（2004）定义为α-风险：να（Rp）=-采埃孚-1Rp（θ）dν（θ）=- α-1ZαF-1Rp（θ）dθ。（5） 根据Artzner等人（1999年）的定义，该数量是风险的一致度量。许多变量在财务文献中，以各种名称讨论了να（Rp）：预期短缺（Acerbi和Tasche，2002年）、条件风险价值（Rockafellar和Uryasev，2000年）和尾部条件预期（Artzner等人，1999年）。值得注意的是，（5）可以作为投资组合配置的目标风险度量，参见Basak和Shapiro（2001）、Krokhmal等人（2002）、Ciliberti等人（2007）、Mansini等人（2007）。

在这种情况下，根据Bassett等人（2004）的建议，在类似于（1）中GMV P权重估计的框架内，通过分位数回归方法，可以最小化να（Rp），其中Rn是响应变量，而R*, ..., R*N-1是协变量。在分位数回归框架内，条件长度να（Rp）可以用不同的方式命名，在本文中我们称其为α风险。通过最小化不对称损失函数的期望值来估计Rn的第个分位数：ρθ（）=[θ- I（<0）]，（6）式中=Rn- ξ(θ) - w（θ）R*- ... - wn-1（θ）R*N-1，ξ（θ）是模型截距，I（·）表示指示函数，如果（·）中的条件为真，则取值1，否则取0。RN的估计第θ-次条件分位数等于tobξ（θ）+bw（θ）R*+ ... + bwn-1（θ）R*N-其中hbξ（θ），bw（θ）。。。，bwn-1（θ）是特定分位数水平下向量最小化的系数（6）（Koenker和Bassett，1978）。在θ=α的情况下，Bassett等人（2004）表明，min（ξ（α），w-n（α））∈RnE[ρα（）]=α（up+να（Rp）），（7）式中：-n（α）=[w（α），…，wn-1（α）]，up=E[Rp]和να（Rp）如（5）所示。让rn，tand r*i、 tbe分别是RNA和R的观察值*i、 对于i=1。。。，N- 1，在时间t，然后，从（7）开始，分位数回归模型min（ξ（α），w-n（α））∈RnTXt=1ραrn，t- w（α）r*1，t- ... - wn-1（α）r*N-1，t- ξ(α)s、 t.up=c（8）允许最小化金融投资组合的经验α-风险，且约束条件是预期投资组合回报等于目标c，且资产权重之和等于1。类似地，toModel（1），[bw（α），…，bwn-1（α）]，协变量R的估计系数向量*, ..., R*N-1在分位数回归模型中，则是R的权重向量。。。，注册护士-1对于α风险最小的投资组合。

请注意，第n个资产的权重随后从预算约束中导出：wn（α）=1-Pn-1i=1wi（α）。在这个公式中，如果我们改变计价单位，资产权重不会改变。由于（8）中的约束up=c需要估计预期收益，这是一项具有挑战性的任务，因为存在较大的估计误差，参见Brodie（1993）和Chopra and Ziemba（1993），我们在此选择关注min（ξ（α），w-n（α））∈RnTXt=1ραrn，t- w（α）r*1，t- ... - wn-1（α）r*N-1，t- ξ(α), （9） 这是投资组合α-风险的最小化，仅受预算约束。由于投资组合的绩效不仅取决于极端风险，而是取决于在其整个密度支持下的回报率，我们推广了Bassett等人（2004）的方法，并允许构建基于不同绩效衡量标准的投资组合。首先，我们介绍了一种使用两种新的绩效指标的方法，该方法在绩效评估领域也有潜在的应用。其主要思想源于观察到，如果我们用高概率水平取代低概率水平α，那么（5）可能与可靠性相关，而不仅仅是与极端风险相关。根据这一直觉，我们将介绍两个不同的指标，如下所述。如果我们用ψ表示高概率值，例如ψ={0.9,0.95,0.99}，（5）中的α-风险转化为ψ（Rp，ψ）=-ψ-1ZψF-1Rp（θ）dθ。

（10a）鉴于-ψ（Rp，ψ）=E[Rp | Rp≤ F-1Rp（ψ）]，分位数回归模型，应用于ψ，允许最小化ψ（Rp，ψ），从而最大化条件投资组合的预期收益。因此，通过最小化ψ（Rp，ψ），代理人采取了一种悲观的资产配置策略，因为区间（ψ，1）不包括在目标函数中，因此这种选择会导致最可避免结果的投资组合预期收益净额最大化→1.-ψ（Rp，ψ）=RψF-1Rp（θ）dθ，考虑到我们最大化了一个近似于[Rp]的数量，有可能获得无条件投资组合预期回报方面的收益。我们介绍的第二个性能指标是通过分解方程（10a）中的积分得到的。特别地，让“θ”为θ的值，使得F-1Rp（\'θ）=0，此时积分rθF-1Rp（θ）dθ达到最低值；例如，当分布在0对称时，\'θ=0.5。给定θ<ψ<1，（10a）可以重写为ψ（Rp，ψ）=-ψ-1ZψF-1Rp（θ）dθ=-ψ-1“ZθF-1Rp（θ）dθ+Zψ′F-1Rp（θ）d（10b），其中-1Rp（θ）dθ是从负实现中计算出来的，并量化其大小。不同的是，RψθF-1Rp（θ）dθ量化部分积极结果的大小，不包括最有利的结果，因为不考虑ψ以外的区域。分位数回归模型应用于ψ-th水平，最小化了ψ（Rp，ψ），因此也- = -RθF-1Rp（θ）dθ+Rψ′F-1Rp（θ）dθ. 当fRp（rp）以零度或负偏度为特征时，为负，而在正偏度的情况下，可能为正。在第一种情况下，可以被视为净损失；不同的是，在后一种情况下，是净利润。因此，分位数回归模型导致损失最小化（<0）或利润最大化（>0），因为在（10b）中，乘以常数-ψ-1< 0.

换句话说，分位数回归模型最小化||，如果<0，或最大化|，如果>0，其收益为：ψ（Rp，ψ）=RψθF-1Rp（θ）dθRθF-1Rp（θ）dθ. （11） 因此，比率ψ（Rp，ψ）是一个风险调整后的指标，因为它量化了所有负面结果的大小，这些负面结果由一部分正面结果（扣除最有利的结果）平衡。尽管高的ψ（Rp，ψ）值对应于低的ψ（Rp，ψ）水平，但当比较不同的策略时，不能保证使ψ（Rp，ψ）最小的策略是使ψ（Rp，ψ）最大的策略。换句话说，不同策略的排名建立在ψθF之间的和之上-1Rp（θ）dθandRθF-1Rp（θ）dθ可能与基于其比率建立的排名不一致。例如，假设对于某个策略a，RθF-1Rp（θ）dθ=-34.04安德烈ψθF-1Rp（θ）dθ=8.13；不同的是，策略B返回SRθF-1Rp（θ）dθ=-33.74安德烈ψθF-1Rp（θ）dθ=7.95。B在ψ（Rp，ψ）方面更好，但A在ψ（Rp，ψ）方面优于B。因此，（10a）和（11）中的两个指标，除了在基于分位数回归的投资组合分配策略中的作用外，也是业绩衡量文献的新贡献。我们强调，虽然（10a）类似于基于尾部的风险度量，并且不是一个合适的绝对绩效度量，但参见Caporin等人（2014），指标（11）是新颖的。有趣的是，注意到ψ（Rp，ψ）与基廷和沙德威克（2002）提出的欧米茄度量以及修正的拉切夫比率（Ortobelli et al.，2005）有关。然而，这些数量之间存在一些重要的差异。欧米茄度量（基廷和沙德威克，2002年）定义为：Ohm（Rp）=R∞1.- FRp（rp）drpR-∞FRp（rp）drp。（12） ψ（Rp，ψ）不同于ω，因为后者分别比较了与负面和正面结果相关的整个区域。

不同的是，（11）更具限制性，因为只要sψ<1，它的数字只考虑了积极结果的一部分。修正后的Rachev比率（Ortob elli等人，2005），MR（Rp，α，ψ），equalsMR（Rp，α，ψ）=-α-1RαF-1Rp（θ）dθ（1）- ψ)-1RψF-1Rp（θ）dθ。（13） 在这种情况下，这种差异是因为（13）比较了与分布尾部相关的极端结果，通常是α={0.01,0.05,0.1}和ψ={0.9,0.95,0.99}，因此完全忽略了投资组合收益分布中心部分的影响。在经验应用中，我们计算ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ）的样本对应项如下：bψ（Rp，ψ）=-PTt=1rp，tIrp，t≤bQψ（rp）PTt=1Irp，t≤bQψ（rp）, （14） bψ（rp，ψ）=PTt=1rp，tI0≤ rp，t≤bQψ（rp）PTt=1rp，tI（rp，t<0）, （15） 式中，rp，t表示在t处观察到的投资组合收益，bQψ（rp）表示投资组合收益的估计ψ-th分位数，I（·）是指标函数，如果（·）中的条件为真，则取值1，否则取0。除了强调分位数回归模型在ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ）方面的影响外，我们还进一步考虑了中心θ值。现在我们关注投资组合的波动性，由Konno和Yamazaki（1991）引入的平均绝对偏差进行量化：MAD（Rp）=E[|Rp- E[Rp]|]，（16）在经验应用中估计为\\MAD（Rp）=TTXt=1 | Rp，t- “\'rp|，”（17）式中，\'rp是区间[1，T]内投资组合收益的样本平均值。假设组合平均值E[Rp]和中位数回归截距ξ（θ=0.5）均等于零，我们证明中位数回归允许最小化（16）中的数量。事实上，分位数回归模型在θ=0.5时最小化了E[|Rn- w（0.5）R*- ... - wn-1（0.5）R*N-1.-ξ（0.5）|]=E[|Rp- ξ(0.5)|].

因此，在假设E[Rp]=0和ξ（0.5）=0的情况下，中间回归使投资组合收益的平均绝对偏差最小化。总而言之，分位数回归模型允许达到不同的目的。首先，当我们想要最小化极端风险时，我们应该选择一个低概率水平α，用α-风险来量化。当注意力集中在通过MAD量化的波动性最小化时，我们应该使用中值回归。最后，利用高概率水平ψ，我们最小化了ψ（Rp，ψ），对ψ（Rp，ψ）产生了积极影响。2.1.1模拟练习Bassett et al.（2004）通过使用4种资产的模拟回报，应用了（8）中的模型，显示了它在极端风险方面相对于经典的Markowitz（1952）投资组合的更好表现。然而，在现实世界中，投资者交易由更多资产组成的金融投资组合，主要是为了达到令人满意的多元化水平，以便更好地处理风险回报交易（Markowitz，1952）。为了进一步激发分位数回归方法对投资组合分配的相关性，并展示前面描述的方法改进的影响，我们考虑对包含94项资产的投资组合进行模拟。从峰度和偏度等不同特征的分布中模拟收益，以验证这些差异如何影响所考虑策略的性能。特别是，我们测试了4种不同的分布：多元正态分布、具有5个自由度的多元t-Student分布、具有负偏态的多元偏态正态分布和具有正偏态的多元偏态正态分布。

在多元偏正态分布的情况下，我们使用偏态参数的两个不同值，得到平均偏态分别为0.02和-0.02的收益序列。投资组合的维度来自这样一个事实：我们模拟了一个分布的收益，该分布的协方差矩阵和平均向量是根据真实数据估计的。这里我们指的是2014年11月21日标准普尔100指数的组成部分，其时间序列从2004年11月4日持续到2014年11月21日。有关数据集的更多详细信息，请参见第3.1节。我们从每个分布中模拟了500个时期94项资产收益的1000个样本，比较了四种策略：如（1）所示的标准，表示为OLS，以及在三个概率水平上应用的分位数回归模型产生的策略，即θ={0.1,0.5,0.9}，分别表示为QR（0.1）、QR（0.5）和QR（0.9）。根据1000个模拟样本中的每一个估计四种策略确定的投资组合权重，并通过样本内方法计算投资组合回报。因此，对于每个策略和每个样本，我们获得了500个投资组合回报，从中我们计算了以下统计数据：方差、平均绝对偏差、α-风险（α=0.1）、ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ），ψ=0.9。我们在图1-2中展示了从多元正态和偏正态（右偏）分布中获得的结果。图1：多元正态分布模拟收益的样本结果，其协方差矩阵和平均向量是根据真实数据估计的，即2014年11月21日标准普尔100指数的组成部分，其时间序列从2004年11月4日至2014年11月21日连续可用。该分析是在1000个模拟样本上进行的，其中94个资产收益率为500个周期。

从左到右，子图报告了以下统计数据的箱线图：方差（a）、平均绝对偏差（b）、α=0.1（c）时的α-风险、ψ=0.9（d）时的bψ（rp，ψ）和ψ=0.9（e）时的bψ（rp，ψ）。A、 B，C表示从分位数回归模型构建的策略，分别应用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示普通最小二乘回归模型。正如预期的那样，OLS和QR（0.5）在投资组合波动性方面提供了最好的结果，因为前者最小化了投资组合方差（子图（a）），而后者最小化了投资组合变量（子图（b））。QR（0.1）将α=0.1（子图（c））时的α风险降至最低，不同的是，QR（0.9）在可支持性方面是最佳策略。事实上，从子图（d）中可以看出，它以bψ（rp，0.9）的形式执行其他三种策略，它量化了小于或等于其第90百分位的portfolioreturns的平均值。有趣的是，当资产见第3.2节了解关于样本内分析的更多细节时。其他发行版的箱线图可根据要求提供。结果在质量上与从多元正态分布中获得的结果相似：在多元t-S学生中存在更胖的尾巴，或在具有负偏度的多元偏正态中存在负不对称，不会导致不同的结果。图2：多元偏正态分布（平均偏态为0.02）模拟收益的样本结果，其协方差矩阵是根据实际数据估计的，即2014年11月21日标准普尔100指数的组成部分，其时间序列从2004年11月4日至2014年11月21日连续可用。分析是在1000个模拟样本上进行的，其中94个资产收益率为500个周期。

从左到右，子图报告以下统计数据的箱线图：方差（a）、平均绝对偏差（b）、α=0.1（c）时的α-风险、ψ=0.9（d）时的bψ（rp，ψ）和ψ=0.9（e）时的bψ（rp，ψ）。A、 B、C表示根据分位数回归模型建立的策略，分别适用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示普通最小二乘回归模型。收益分布是正偏态的（图2（d）），bψ（rp，0.9）取负值，主要是在QR（0.9）的情况下；这意味着，平均而言，正回报率高于负回报率，即使分布右尾最有利的结果被丢弃。最后，在四分之三的情况下，QR（0.9）在bψ（rp，0.9）方面提供了最好的结果；图2（e）中出现了例外情况，其中收益的特征是显著的正偏态，这通常是对财务收益序列的不真实假设，通常受到负偏态的影响，如Cont（2001）所述。结果还表明，基于ψ（Rp，ψ）的排名可能与基于ψ（Rp，ψ）的排名不一致。事实上，我们检查了QR（0.9）始终提供等式（11）中定义的比率的分子和分母之间差异的最高值，这也是在多元偏正态分布（右偏）的情况下。然而，在所有情况下，除了收益分布被假定为右偏的情况（金融时间序列就是这种情况），就ψ（Rp，ψ）而言，QR（0.9）也是最好的策略。2.2列入l-norm penaltyLarge投资组合允许利用多元化收益。然而，Statman（1987）和最近的Fan等人。