预期缺口下的投资组合优化

这似乎是有道理的：我们正在处理一个风险度量，它关注的是远尾的波动，其中窄尾分布和厚尾分布之间的差异最大。高斯曲线和ν=3曲线之间的差异当然不小，但在高斯情况下，数据要求已经非常不现实，因此对厚尾分布的额外需求几乎无关紧要。●●●●●●●●●●●0 0.5 10 0.02 0.04●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●高斯学生ν=3学生ν=10高斯/ν=3比率αrN=505%误差●●●●●●●●●●●1234比率图12：估计误差√Q- 1=0.05从数值模拟中获得的等高线，对于高斯分布（黑色小圆）、Studentν=3（蓝色线和蓝色小圆）和Studentν=10（紫色线和紫色圆）分布，等高线尺寸N=50。为了进行比较，还提供了复制理论结果（黑线）。棕色线显示了与高斯函数和Studentν=3的相同α对应的N/T值的比率。虽然复制法使我们能够计算相对误差的期望值，以及在随机高斯样本上平均的最优投资组合权重的分布，但它没有提供关于这些数量在样本之间的影响程度的信息。（这在原则上不是一个限制：在复制法的背景下，将鞍点计算推到领先顺序之外一步，就可以得出估计误差分布的宽度。这种计算将需要非常严重的影响，并且超出了当前工作的范围。）我们不再试图从分析的角度推导分布的宽度，而是再次求助于数值模拟。

我们发现，在远离相界的安全距离处，样品上估计的ES分布变得越来越集中，其宽度在N，T中接近零→ ∞ 限度虽然分布峰值的位置稳定得相当快，但宽度的收敛相当缓慢。图13给出了一个说明。然而，在相界附近，平均估计误差超出任何界限，其变化取决于极限的顺序：如果我们在保持N，T有限的情况下进入相界，分布的宽度会扩大，在相反的界限中，分布最终缩小为狄拉克三角洲。这种行为符合人们在相变中预期的结果。0510150 0.5q0- 1p（q0- 1） N=25N=50N=100N=200N/T=0.025α=0.975●●●●0.02 0.03 0.04 0.05 0.06Nσq025 50 100 200图13：在置信水平α=97.5%的情况下，N/T=0.025时，N=25,50,100,200的数值模拟样本的估计误差分布。这些曲线由5000、5000、15000和100个样本的平均值获得。分布变得越来越尖锐的趋势→ ∞ 这很清楚。插图：估计误差分布的提取宽度的相关性。宽度在极限N，T接近0→ ∞.我们分析的另一个基本限制是忽略了对Portfolio权重的可能约束。这些限制可能会对不同资产组（对应于工业部门、地理区域等）的卖空行为施加限制。约束可以（并且通常确实）确定在投资组合权重空间中寻求最佳投资量的领域。任何这样的约束都将起到正则化器的作用，并将防止发生到不可行区域的相变。

如[22,23]所示，正则化器可以内置到重复方法中。然而，各种可能的限制系统或正则化器对优化问题引入了非常不同的修改，我们认为它们的包含和详细分析将与本文的主旨相去甚远（至少会使其长度增加一倍），因此我们决定将问题的这一重要方面留给后续出版物。9结论在对这项工作进行简短且非常初步的描述[46]的基础上，在本文中，我们考虑了在最简单简明的环境下，在风险度量预期短缺下的最优投资组合选择问题：我们假设投资组合是具有i.i.d.标准正态分布回报的资产的线性组合，我们的目标是全球最小风险投资组合，忽略对权重的任何约束，预算约束除外。因此，潜在的过程根本没有任何结构，它只是纯粹的噪音。我们问的基本问题是：对于投资组合中给定数量的N个资产，统计样本的大小T必须有多大，以便优化在规定的估计误差内返回正确的最优值（没有结构，最优投资组合权重彼此相等）。我们在历史估计的情况下得到的答案非常令人沮丧：优化有限样本会产生通常广泛的权重分布、假想的相关结构和一种幻象。为了在可接受的误差范围内获得正确的答案，我们需要非常大的样本，远远超过实际可达到的任何观察时间长度。

从质量上来说，这正是人们所期望的，但我们的结果有助于以精确、定量的方式阐明这一结论。值得注意的是，尽管参数估计的结果比历史估计的结果更有利，但必要的样本量仍然远远高于任何可以被视为现实的因素。因此，我们的结论与许多其他作者一致，他们认为以原始（未过滤、未规范）形式优化大型投资组合的任务是没有希望的。【31】中摘要的第一句话：本文的中心信息是，任何人都不应将预期缺口用于投资组合优化。有人可能会提出反对意见，认为ES是衡量投资组合风险的诊断工具，而不是对其最优结构决策的帮助。这很可能是事实，但VaR[47]的职业生涯表明，机构将不可避免地被驱使使用新的监管市场风险度量，超出其声称的范围：一个终止约束很容易承担起目标函数的作用。此外，风险不仅难以优化，而且正如Danielsson和Zhou[11]的发现清楚地表明的那样，也难以衡量。据我们所知，我们用于获得量化结果的方法是唯一已知的优化ES的分析方法，并使我们得出了一组关于样本外估计的相对误差、对收益微小变化的敏感性以及ES优化投资组合的VaR的封闭方程。这些方程通过数值求解；在一些特殊情况下，包括有趣的minimaxrisk度量，手动。

我们的方法的适用范围并不局限于i.i.d随机变量的一般情况，我们计划将其用于基础随机过程具有结构的模型（协方差和收益率非零的非齐次投资组合）。有趣的是，要想以可容忍的误差覆盖这样的结构，样品的尺寸必须有多大。在目前的工作中，我们故意不考虑任何正则化或其他降维方法。在目前这样的高维环境中，这些方法的应用是强制性的。他们在这里的遗漏部分是因为试图以最简单的形式呈现一种大多数读者可能不熟悉的方法，以及由此产生的非平凡分析结果，但也因为试图将论文长度保持在合理范围内。然而，还有一个更严肃的考虑。正则化、降维、对权重组的限制，或任何其他旨在抑制估计值的剧烈波动的方法，都会对可接受的最优值施加某种结构，从而必然引入偏差。这就提出了一个重要的问题，即偏见和偏见之间的权衡。考虑到这些极不稳定的估计，需要一个非常强大的正则化来稳定它们，因此强大的正则化意味着充当主导贝叶斯先验，基本上压制了来自经验样本的信息。

面对真实市场数据的有限样本（而非我们的合成数据），投资组合经理可能会决定完全无视来自市场的信息，选择天真的1/N投资组合（如[48]的结果所示），或者根据专家意见或直觉行事，不管怎样，在大多数情况下可能会发生什么[49]。或者，更糟糕的是，她可能会相信一个黑匣子优化器包是一个干净的市场信息来源。澄清背景知识可以整合到优化中的精确定量条件是一项值得努力的工作，不存在完全挤占市场信息的偏见，我们相信本文在过于简单的环境中采用的方法在更现实的市场模型中也会被证明是有用的。感谢我们感谢许多人在这个项目上进行了有益的交流，包括E.Berlinger、I.Csabai、J.Danielsson、B.D¨om¨ot¨or、F.Illes、R.Kondor、M.Marsili和S.Still。FC感谢经济及社会研究理事会（ESRC）对系统性风险中心（ES/K002309/1）的资助。IK非常感谢在撰写本文期间，伦敦大学学院计算机科学系对他的热情款待。附录A副本计算在本附录中，我们展示了如何从线性规划问题中推导出成本函数公式（29），该问题解决了预期短缺的优化问题。这种方法是从无序系统理论中衍生出来的，被称为重复法。Ciliberti等人首次将该方法应用于投资组合环境中。

[19] [21]中的推导形式略有修改；包含在这里是为了使本文更加完整。我们需要找到最低的ofE[, {ut}]=（1）- α） T +TXt=1在约束下≥ 0，ut+ +NXi=1xi，twi≥ 0tandNXi=1wi=N。计算过程如下：遵循统计物理的一般策略，我们通过引入反温度γ的效应，将上述“尖锐”优化替换为“软”优化，并定义正则配分函数（或生成函数）asZγ[{xi，t}]=Z∞TYi=1dutZ∞-∞D θut+ +NXi=1xi，twi！E-γE[,{ut}]，（A.1），其中θ（x）=1，如果x>0，否则为零。因此，配分函数是与问题约束相容的变量的所有可能配置的积分，其中每个配置, {ut}由玻尔兹曼重量e加权-γE[,{ut}]。原始优化问题可以在极限γ内恢复→ ∞ 其中只有E的最小值[, {ut}]有贡献。从配分函数中，可以计算出在大aslimN限制下的最小成本（每项资产）→∞limγ→∞-logzγ[{xi，t}]γN.（A.2）为了导出系综的典型性质，我们必须对所有可能的返回实现进行平均，并计算logzγ[{xi，t}]i=Z∞-∞NYi=1TYt=1dxi，tP[{xi，t}]log Zγ[{xi，t}]，（A.3），其中P[{xi，t}]是收益的概率密度函数。求对数的平均值很困难。复制技巧的设计就是为了避免这种困难。它基于identityhlog Zi=limn的使用→0hZnin、 （A.4）对于整数n，我们可以计算Znas作为一个系统的配分函数，该系统由原始系统的n个相互独立的副本组成。对实际值n的解析延拓将允许我们执行极限n→ 0并获得所寻求的量logzγ[{xi，t}]i。

该方法的致命弱点是从整数到实数的解析延拓；解析延拓的唯一性通常不容易证明。在无序系统理论中，最初通过复制Trickkw获得的结果后来通过严格的数学方法进行了验证[14,15,42]。目前的模型还没有建立这样一个严格的证明。然而，考虑到我们的代价函数的凸性，我们相信该方法一定会得到正确的答案。