期货衍生品的多尺度随机波动模型

推导过程很简单。注意Hε，δ（t，Ft，t，y，z，t）=u如果我们定义ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δu（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δy（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），ψε，δ（t，x，y，z，t）=hε，δz（t，Hε，δ（t，x，y，z，t），y，z，t），我们得到了Ft，TdFt，t=ψε，δ（t，Ft，t，yεt，zδt，t）η（yεt，zδt）dW（0）t（3.7）+√εψε，δ（t，Ft，t，Yεt，Zδt，t）β（Yεt）dW（1）t+√Δψε，δ（t，Ft，t，Yεt，Zδt，t）g（Zδt）dW（2）t.3.3期货合约衍生品的定价PDE现在将到期日为t的期货合约与到期日为V的期货合约进行组合，并考虑到期日为t<t的欧洲衍生品，其收益仅取决于终值Ft，t.A该衍生品在Ft上的无套利价格，由pε，δ（t，x，Y，Z，t EQ）=e给出-r（T）-t） |（FT，t）|FT，t=x，Yεt=Y，Zδt=Z]，其中Q是第2节中讨论的风险中性概率，我们使用（FT，t，Yεt，Zδt）是马尔可夫过程的事实。在本节中，我们推导了Pεδ的偏微分方程。重新计算公式（3.2），其中Yε和Zδ皮重在（2）中给出。然后，我们在微元生成器Lε中写入δof（Ft，T，YεT，ZδT），为了简单起见，我们将删除ψε，δi，i=1，2，3，Lε，δ=ε的变量（T，x，Y，Z，T）L+（ψε，δ）β（y）x+ψε，Δβ（y）十、Y(3.8)+√ερψε，Δψε，Δη（y，z）β（y）x+ρψε，Δη（y，z）β（y）十、Y+t+（ψε，δ）η（y，z）十、- r·+√δρψε，Δψε，Δη（y，z）g（z）x+ρψε，Δη（y，z）g（z）十、Z+ δM+（ψε，δ）g（z）x+ψε，δg（z）十、Z+rΔερψε，Δψε，Δβ（y）g（z）x+ρψε，Δβ（y）g（z）十、y+ρψε，Δβ（y）g（z）十、z+ρβ（y）g（z）YZ,式中，l=β（y）y+α（y）y、 （3.9）M=g（z）z+c（z）z、 众所周知，在一些温和的条件下，根据费曼-卡克公式，Pε，δ满足定价偏微分方程Lε，δPε，δ（t，x，y，z，t）=0，Pε，δ（t，x，y，z，t）=~n（x）。（3.10）3.4摄动框架我们现在将按照Fouque等人[2011]中概述的方法，对Ft上的欧式导数进行形式奇异摄动和正则摄动分析。

然而，在我们的情况下，我们有一个基本的区别：微分算子的系数ε，δ，由方程（3.3）给出，以复杂的方式依赖于ε和δ。尤其是对应于系数ε的术语-1不仅仅是ε的顺序-1.为了避免这个问题，我们将把系数展开为ε和δ的幂，然后收集每个阶的正确项。因此，有必要计算ψε，δi展开式的一些项。附录A给出了该展开式的所有细节，最终结果是：Lε，δ=εL+√εL+L+√εL+√δM+rδεM+·式中，Lis由（3.3）和l=ρe给出-κ（T-t） η（y，z）β（y）x十、y、 （3.11）L=t+e-2κ（T-t） η（y，z）x十、- r·（3.12）-E-2κ（T-（t）φy（y，z）β（y）x十、y、 M=ρ（1）- E-2κ（T-t） ）2κβ（y）g（z）‘η（z）’η（z）x十、y（3.13）+ρβ（y）g（z）Yz、 L=（ψ2,3,0（t，x，y，z，t）β（y）（3.14）+ρψ1,2,0（t，x，y，z，t）η（y，z）β（y））十、Y-ρe-3κ（T-（t）φy（y，z）η（y，z）β（y）xx、 M=ρe-κ（T-t） （1）- E-2κ（T-t） ）2κη（y，z）g（z）’η（z）’η（z）xx（3.15）+ρe-κ（T-t） η（y，z）g（z）x十、z+（ψ2,2,1（t，x，y，z，t）β（y）+ρψ1,1,1（t，x，t）η（y，z）β（y））十、y、 与Fouque等人[2011]中描述的情况的根本差异体现在一个术语中：微分算子，它对顺序有贡献√ε在Lεδ的展开式中。此外，请注意，这些算子的系数与时间有关，这使渐近分析变得复杂。Fouque等人[2004]也提出了这一难题。3.5一阶近似的形式推导让我们正式写出Pε，δ的幂√δ和√ε、 Pε，δ=Xm，k≥0(√ε） k(√δ） mPk，m，并简单地用pw表示P0,0，这里我们假设，在到期日T，P（T，x，y，z，T）=φ（x）。我们对测定P，P1,0和P0,1感兴趣。我们遵循Fouque等人提出的方法。

[2011]为了考虑新的术语L，进行了一些小的修改。为了计算前导项Pand P1,0，我们将Lε、δPε、δ的下列展开项设置为零：(-1,0）：LP=0，（3.16）(-1/2,0）：LP1,0+LP=0，（3.17）（0,0）：LP2,0+LP1,0+LP=0，（3.18）（1/2,0）：LP3,0+LP2,0+LP1,0+LP=0，（3.19），其中我们使用符号（i，j）来表示δ中ε和jth的第i阶项。3.5.1计算PWe寻求一个独立于y的函数P（t，x，z，t），从而满足方程（3.5）。因为Ltakes关于y，LP=0的导数。因此，第二个（3.5）变为LP1,0=0，出于与之前相同的原因，我们寻求一个独立于y的函数P1,0=P1,0（t，x，z，t）+:LP1,0+LP=0，这是P2,0的泊松方程，可解性条件为Hlpi=0，其中h·i是L不变测度下的平均值。有关泊松方程的更多详细信息，请参见[Fouque等人，2011年，第3.2节]。定义nowLB（σ）=t+σx十、- r·（3.20）和σ（t，y，z，t）=e-κ（T-t） η（y，z），其中我们使用符号LB（σ）表示波动率σ的黑色微分算子。由于Pdoe不依赖于y，并且以（3.4）中的LGIve形式存在，因此可溶解性条件为：Hlpi=hLB（σ（t，y，z，t））iP=0。注意hlb（σ（t，y，z，t））i=t+xσ（t，·，z，t）十、- r·=LB（\'σ（t，z，t）），其中\'σ（t，z，t）=σ（t，·，z，t）= E-2κ（T-t） η（z），（3.21）和（3.1）中定义的η（z）。

因此，我们选择满足PDE的PtoLB（¨σ（t，z，t））P（t，x，z，t）=0，P（t，x，z，t）=а（x）。还要注意的是，LB（‘σ（t，z，t））是具有时变波动性‘σ（t，z，t）的黑色微分算子，因此，如果我们定义时间平均波动性，’σt，t（z，t），则公式为‘∑t，t（z，t）=t- tZTt′σ（u，z，T）du（3.22）=η（z）e-2κ（T-（T）- E-2κ（T-t） 2κ（t- t） ！，我们可以将（t，x，z，t）=PB（t，x，¨σt，t（z，t）），其中PB（t，x，σ）是在具有恒定波动率σ的黑色模型中，具有到期日和支付功能的欧洲衍生品在（t，x）的价格。为了简化这里和下面的符号，我们定义了λ（t，t，t，κ）=e-κ（T-（T）- E-κ（T-t） κ（t- t） 。（3.23）因此，\'σt，t（z，t）=\'η（z）λσ（t，t，t，κ），其中λσ（t，t，t，κ）=pλ（t，t，t，t，2κ）。3.5.2通过（0，0）阶方程（3.5）计算pε1,0，我们得到公式p2,0=-L-1磅（σ）- 对于某些不依赖于y的函数c，LB（¨σ））P+c（t，x，z，t），（3.24）。

用φ（y，z）表示泊松方程lφ（y，z）=η（y，z）的解- η（z）。因此，我-1磅（σ）- LB（¨σ））=L-1.（σ（t，y，z，t）- “∑（t，z，t））x十、=E-2κ（T-t） L-1（η（y，z）- η（z））xx=e-2κ（T-t） φ（y，z）D，这里我们使用符号dk=xkKxk。（3.25）从（1/2,0）阶方程（3.5）中，我们得到了可解性条件HLP2,0+LP1,0+LPi=0。（3.26）使用公式（3.5.2）计算P2,0，使用公式（3.4）计算L，我们得到LP2,0=-陆上通信线-1磅（σ）- LB（¨σ））P=-ρe-κ（T-t） η（y，z）β（y）x十、YE-2κ（T-t） φ（y，z）DP= -ρe-κ（T-t） xη（y，z）β（y）十、YE-2κ（T-t） φ（y，z）DP= -ρe-3κ（T-t） η（y，z）β（y）φy（y，z）DDP。我们还通过方程（3.4）得到了LP1,0=P1,0t+σ（t，y，z，t）xP1,0十、- rP1,0和from（3.4）LP=-ρe-3κ（T-（t）φy（y，z）η（y，z）β（y）DP。结合这些方程，我们得到lp2,0+LP1,0+LP=v（t，y，z，t）DP+v（t，y，z，t）DDP+LB（σ（t，y，z，t））P1,0，其中v（t，y，z，t）=-ρe-3κ（T-（t）φy（y，z）η（y，z）β（y）。因此，对于Y的不变分布求平均，我们从（3.5.2）推导出Pε1,0=√εP1,0满足PDE：LB（σ（t，z，t））Pε1,0（t，x，z，t）=-f（t，t）AεP（t，x，z，t），Pε1,0（t，x，z，t）=0，（3.27），其中ε=Vε（z）（DD+D），（3.28）f（t，t）=e-3κ（T-t） ，Vε（z）=-√ερφy（·，z）η（·，z）β.线性偏微分方程（3.5.2）显式求解：Pε1,0（t，x，z，t）=（t- t） λ（t，t，t，κ）Vε（z）（DD+D）PB（t，x，′σt，t（z，t）），（3.29），其中λ（t，t，t，κ）=λ（t，t，t，3κ），λ由（3.5.1）定义。