规范化投资组合风险分析：一种贝叶斯方法

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英文标题：
《Regularizing Portfolio Risk Analysis: A Bayesian Approach》
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作者：
Sourish Das, Aritra Halder and Dipak K. Dey
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  It is important for a portfolio manager to estimate and analyze recent portfolio volatility to keep the portfolio\'s risk within limit. Though the number of financial instruments in the portfolio can be very large, sometimes more than thousands, daily returns considered for analysis are only for a month or even less. In this case rank of portfolio covariance matrix is less than full, hence solution is not unique. It is typically known as the ``ill-posed\" problem. In this paper we discuss a Bayesian approach to regularize the problem. One of the additional advantages of this approach is to analyze the source of risk by estimating the probability of positive `conditional contribution to total risk\' (CCTR). Each source\'s CCTR would sum up to the portfolio\'s total volatility risk. Existing methods only estimate CCTR of a source, and does not estimate the probability of CCTR to be significantly greater (or less) than zero. This paper presents Bayesian methodology to do so. We use a parallelizable and easy to use Monte Carlo (MC) approach to achieve our objective. Estimation of various risk measures, such as Value at Risk and Expected Shortfall, becomes a by-product of this Monte-Carlo approach.
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中文摘要：
对投资组合经理来说，评估和分析最近的投资组合波动性以将投资组合的风险控制在有限范围内是很重要的。虽然投资组合中的金融工具数量可能非常多，有时超过数千种，但用于分析的每日回报率仅为一个月甚至更少。在这种情况下，投资组合协方差矩阵的秩小于全秩，因此解不是唯一的。这通常被称为“不适定”问题。在本文中，我们讨论了一种规范化问题的贝叶斯方法。这种方法的另一个优点是通过估计“对总风险的条件贡献”（CCTR）的概率来分析风险的来源。每个来源的CCTR总计为投资组合的总波动风险。现有方法仅估计源的CCTR，而不估计CCTR显著大于（或小于）零的概率。本文介绍了贝叶斯方法。我们使用一种可并行且易于使用的蒙特卡罗（MC）方法来实现我们的目标。对各种风险度量的估计，如风险价值和预期短缺，成为这种蒙特卡罗方法的副产品。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Regularizing_Portfolio_Risk_Analysis:_A_Bayesian_Approach.pdf (376.2 KB)

2022-5-14 15:12:28 上传

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关键词：投资组合风险 风险分析 投资组合 贝叶斯 规范化

规范化投资组合风险分析：贝叶斯方法Sourish Dasa、Aritra Haldera和Dipak K.DeybaDepartment of Mathematics，Chennai Mathematics Institute，IndiabDepartment of Statistics，University of Connecticut，USA摘要投资组合经理评估和分析最近的投资组合波动性以将投资组合的风险控制在一定范围内是很重要的。虽然投资组合中金融工具的数量可能很大，有时超过数千，但考虑用于分析的每日回报率仅为一个月，甚至更少。在这种情况下，组合协方差矩阵的秩小于全秩，因此解不是唯一的。这通常被称为“不适定”问题。在这篇论文中，我们讨论了一种贝叶斯方法来正则化这个问题。这种方法的另一个优点是通过估计“对总风险的条件贡献”（CCTR）的正概率来分析风险的来源。每个来源的CCTR总计为投资组合的总波动风险。现有方法仅估计一个源的CCTR，而未估计CCTR显著大于（或小于）零的概率。本文介绍了贝叶斯方法。我们使用一种可并行且易于使用的蒙特卡罗（MC）方法来实现我们的目标。对各种风险度量的估计，如风险价值和预期短缺，成为这种蒙特卡罗方法的副产品。关键词：蒙特卡罗、并行计算、风险分析、收缩法、波动性1简介最近的欧元区危机提醒我们，“风险分析”始终是投资组合管理理论的重要组成部分。

Markowitz（1952）[5]，首次提出波动率（或标准差）作为风险度量。因为波动率提供了投资组合平均损失（或收益）的概念；此外，针对极端损失的“风险价值”（VaR）和“预期短期损失”（ESF）等新的风险度量也很受欢迎。尽管巴塞尔II监管框架要求包含VaR和ESF，但截至日期的波动性在融资中起着重要作用。例如，波动性可以通过VIX指数的交易所交易基金在公开市场上直接交易，也可以通过衍生品间接交易。衡量波动性并确定波动性的主要来源至关重要。通常，投资良好的rsi基金或养老基金的金融工具数量超过数千种。这些基金定期在外国投资；有时在五六十个不同的国家。然而，投资组合经理担心长期s级数据的平稳性，只对最近的波动性感兴趣，这意味着一个月的每日收益率，有时甚至更少。由于投资组合的部门、国家或组成部分的数量大于回报天数，投资组合协方差矩阵的秩小于完整；这种情况会产生非唯一的解决方案。一般称为“不适定”问题。本文主要研究在“不适定”条件下投资组合波动性的估计和分析。我们解决了均值-方差优化问题，该问题允许对给定投资组合的最优权重进行分析求解。这个优化过程需要对投资组合协方差矩阵进行估计。但由于问题的“不适定”结构，常规样本协方差在这里不起作用。

因此，我们为投资组合协方差矩阵提出了一种正则化插件贝叶斯估计，并使用给定投资组合的优化权重。使用此设置，我们使用蒙特卡罗算法评估其样本外性能。Ledoit和Wolf（2003，2004a，2004b）[4，3，2]在一篇三个系列的论文中展示了在保持优化过程的所有其他步骤不变的情况下，对实际股票市场数据使用收缩估计。通过这样做，他们减少了与特定索引相关的跟踪误差。因此，它大大提高了主动投资组合管理的实现信息率。Ledoit和Wolf（2004a）提出了一种无分布的方法来正则化协方差矩阵，但在本文中，出于明显的原因，我们在协方差矩阵上引入了概率结构。本文提出的正则化插件贝叶斯估计与Ledoit和Wolf（2004a）[3]提出的协方差矩阵的经验贝叶斯估计有直接关系。此外，Golsnoy和Okhrin（2007）[1]通过使用多变量收缩估计值r作为最佳投资组合权重，展示了投资组合选择的改进。最近，Das和Dey（2010）[6]介绍了协方差矩阵的多元伽马分布的一些贝叶斯性质。在本文中，我们使用这种贝叶斯方法来解决估计问题。在一定条件下，投资组合协方差矩阵的后验分布是适当的，并且具有封闭形式的倒多变量分布。因此，共变矩阵的解是唯一的。这篇文章的结构如下。在第二节中，我们讨论了投资组合协方差矩阵的后验分布及其适当的条件。在第三节中，我们提出了一种可并行化的蒙特卡罗算法来获得风险的后验推断。

在第4节中，我们用两个经验数据集演示了该方法。推理方法最初应用于一个由不同资产类别组成的小数据集。接下来，我们考虑由“印度国家证券交易所”（NSEI）的股票组成的投资组合。第五部分是论文的结论。2投资组合协方差矩阵的后验分布suppose，S是一个具有p（p+1）变量sij的p阶实对称样本投资组合协方差矩阵。∑=（（σij））是相应的总体投资组合协方差矩阵，因此对于带有对角元素1和-1，（D∑D）-1具有非正对角元素。因此，由于Bapat的条件，Bapat（1989）[7]，S的特征函数为ψS（T）=E[i exptr（TS）] = |知识产权- i∑T|-α、 具有密度函数f（S）=|∑|αΓp（α）βαpexpn-βtrΣ-1So | S |α-（p+1），S>0具有参数α的不可完全整除的多重伽马分布≥P-1, β ≥ 0和∑正有限矩阵。不，如果0≤ α ≤P-1，S具有退化分布。如果我们选择α=n-1和β=2则S为Wishart分布，即S~ W（n）-（见安德森（1984）[8]，第252页）。如果p≥ n、 然后S小于满秩，S的抽样分布退化，这就意味着无法对此类情况进行有效的统计推断。Das和Dey（2010）[6]表明，if∑具有先验的倒数多元伽马分布，即if∑~ 镁-1p（a，β，ψ）∑的后验分布是∑S~ 镁-1p（α+a，β，S+ψ）。注意，只要（α+a）≥P-1、后验分布合理。假设n≤ p、 即α≤P-1，其中α=n-1.然后S的抽样分布退化。然而，如果我们选择自由度参数a的先验阶，则α+a≥（p- 1）这是一个错误≥P-n则∑的后向分布是适当的。

因此，我们将能够进行贝叶斯参考。如果我们选择a=nandβ=2，那么前面的o f∑是逆威斯哈特分布，∑~ W-1（n，ψ）（1）∑的后验分布为∑S~ W-1（n+n）- 1，ψ+S）（2）详见安德森（1984）[8]。Ledoit和Wolf（2003年、2004年a、2004年b）的3个系列论文确定了样本协方差矩阵未能对por tfolio协方差结构提供良好估计的原因，并表明了即使问题不是“病态d”也需要正则化。然而，在他们的结构框架上，缺乏实施推理程序的空间，比如总风险的条件贡献等数量。这背后的主要原因是为预期收益分配分配合适的模型的问题。本文给出了协方差矩阵S的一个假设~ W、 对预期收益有一个正态/正态成分混合分布的基本假设。假设的正确性~ W由盖尔曼等人[15]中的贝叶斯公式提供。预期收益的边际概率分布为t。与使用正态分布相比，这将为模拟预期收益提供一种优越的方法。如果n<p，那么我们选择先验自由度asn=（p- n） +c.（3）表示c>0。这确保了后验分布的正确性。∑isM（∑| S）=ψ+Sn+n+p=n+p+1n+n+p的后验模ψn+p+1+n- 1n+n+p.序列号- 1=qψn+p+1+（1）- q） 锡- 1，（4）其中q=n+p+1n+n+p。显然，∑的后验模式是收缩估计量，它是先验分布模式和样本协方差估计量的加权平均值。Das和Dey（2010）[6]表明，在Kullback-L eibler型损失函数下，后验模型也是B-ayes估计量。

因此，在适当的前向自由度（α或n）和正定义的ψ下，∑的后向模式也是一个B层收缩估计量，它规定了解。∑的后验分布是适当的，这有助于在第4节进行实证研究时规范投资组合优化过程。假设E[S]=σ，其中S是通常的样本组合协方差矩阵，ψ=I；Ledoit和Wolf（2004a）[3]表明，在Frobenius范数下，∑=βδuI+αδS（5）是渐近最优的。在这项工作中，我们假设~ W（n）- 1，∑），而黑猩猩锡-1.= Σ. 因此，相应的估计器为∑=βδuI+αδSn- 1.（6）现在我们考虑一下Knuth（1976）[13]对功能顺序的定义。定义：对于函数f和g，设O，Ohm 定义为O（f（x））={g（x） c>0，x∈ R+| g（x）|≤ cf（x）十、≥ x} ，O（f（x））是所有这些函数的集合，这些函数的上限是常数乘以f（x）。oOhm（f（x））={g（x） c>0，x∈ R+| g（x）|≥ cf（x）十、≥ x} ,，Ohm（f（x））是所有这样的函数的集合，这些函数的下界是常数乘以f（x）Θ（f（x））={g（x） c、 c>0，x∈ R+cf（x）≤ |g（x）|≤ cf（x）十、≥ x} ，Θ（f（x））是所有这类函数的集合，其幅值较低，且uppe r以常数/s time/s f（x）为界。注1：现在我们将检查（4）中的第一项系数和（6）中的βδ是否具有相同的函数顺序。这有助于测量目标的收缩量。在（4）中，收缩目标是先验的，而在（5）和（6）中，收缩目标是方程式（6）中的uIiu=h∑，Ii=tr∑I）p。这里，α=|∑- uI | |，β=Eh锡-1.- Σiandδ=Eh锡-1.- uIi、 由于对共变矩阵S施加了概率结构，我们得到了以下结果。结果1。

α= ||Σ - uI | |=phtr（∑）-[tr（∑）]pi=ph（p- 1） Ppi=1σii+PPpi6=jσiiσjj（pρij- 1） 结果2。β=Eh锡-1.- Σi=n-1hpPpi=1σiiiResult 3。δ=α+β=pntr（∑）-[tr（∑）]po+n-1hpPpi=1σiiiResult 4。u=pPpi=1σii。结果4来自Fr–obenius范数的定义，结果1、2和3的证明见第6节。现在，我们检查（6）中βδ的命名，δ=pntr（∑）-[tr（∑）]po+n- 1hppXi=1σiii，δ=ph（p- 1） pXi=1σii+pXXi6=jσiiσjj（pρij- 1） i+n- 1hppXi=1σiii.（7）将等式7的第三方乘以（n）- 1） 我们得到- 1） pδ=n2p+（n- 1） （p- 2） +（n）-1） opXi=1σii+（n- 1） pXXi6=jσiiσjjpρij- 1.（8） =n2p+（n- 1） opXi=1σii+（n- 1） hpXXi6=jσiiσjjpρij- 1.+ （p- 2） pXi=1σiii=A+A，其中A=n2p+（n- 1） opXi=1σii是方差的函数，andA=（n- 1） hpXXi6=jσiiσjjpρij- 1.+ （p- 2） pXi=1σiii是方差和协方差的函数。我们考虑（pρij）- 1） 从A开始，如果（pρij- 1) ≥ 0，p≥ 2.=> ρij≥p、 p≥ 2降低到ρij≥ 0，作为p→ ∞, 这意味着≥ 0.现在，我们考虑（n）- 1） 来自（8）（n）的pδ- 1） pδ=A+A≥ A=（n+2p）- 1） pXi=1σii≥ （n+p）np-mini（σii）o=> （n）- 1） pδ=Ohm（n+p）p. （9） 因此，（9）为βδ的分母提供了一个下限。现在我们考虑βu的形式，来自结果2和4，（n- 1） pβu=2hpXi=1σiiihpXi=1σiii（10）≤ 2pnmaxiσiionmaxiσiio=> （n）- 1） pβu=O（p）。（11） 它为βδ的分子提供了一个上限。因此，我们将这些发现结合在下面的定理中。定理1。如果S是样本投资组合协方差矩阵，那么S~ W（n）-1，∑），那么对于（4）和（6）我们有βuδ= Oqun+p+1= Opn+p假设n=O（p）。定理1建立了无分布方法和贝叶斯方法的函数等价性。注意，从（4）qun+p+1=Θpn+p.

（12） 注2：orem 1表示（5）目标的“收缩度”小于恒定时间Pn+p；而在（4）中，朝向目标的收缩程度正好是Pn+p。等式（10）是变量的函数，因此我们建议对规则化进行以下修改，∑=ρλ′I+（1）- ρ） 锡- 1，式中，λ=（s，…，spp）′。对于正则化，我们有两种权重选择。使用（12），我们可以选择ρ作为贝叶斯权重，并将其性能和Ledoit和Wolf（2003）[4]中给出的ρ的辛权进行比较。在平方误差损失下，通过最小化E[L（ρ）]得到渐近权ρ，即isL（ρ）=^Σ- Σ受制于ρ≥ 0.在解决第6部分中的优化问题时，在S上施加的概率结构下，我们得到了结果5。ρ=h[（n）- 2） +1]Ppi=1σii- （n）- 2） Ppi=1σii- （n）- 1） Ppi=1Ppj=1σij（n- 2） [2Ppi=1σii+Ppi=1σii]i.我们比较了在不同权重下所得最优估计量的性能，结果为∑=ρλ′i+（1）- ρ） 锡- 1，（13）结果5中的ρ和贝叶斯收缩估计∑=λ′I+Sn+n+p=qn+p+1λ′I+（1）- q） n- 1S。（14） 3用于分析RiskLedoit和Wolf（2004a）[3]的贝叶斯推断在无分布方法下给出了正则化协方差估计的渐近性质。由于缺乏任何分配假设，我们无法应用任何推断程序来估算利息数量，例如“总风险边际贡献”（MCTR）和“CCTR”。个别证券的“MCTR”和“CCTR”为投资组合的风险行为提供了依据。然而，无分布方法绕过了显式模拟lstock回报的需要，并为正则化方法提供了一种合理性。

为了探索更好的规范化程序，Ledoit和Wolf（2003）[4]利用了市场指数中交易的单个证券的独立结构。这种方法通过改变收缩目标，实现了特定于市场的规则化。在贝叶斯术语中，这表明与Ledoit和Wolf（2004a）相比，优先信息发生了改变。从适用性的角度来看，这种方法的缺点是，对于协方差矩阵的正则化过程，权重的计算非常复杂。正如我们在第2节中看到的，该定理提供了一组简单的权重，显示了在方差矩阵上Wishart概率结构的最小假设下，shr inkage估计器与后验模型的函数等价性。此外，针对协方差矩阵提出的新的正则化过程，没有利用市场指数的任何额外相关性结构。这为重新调整协方差矩阵提供了一种更通用且可实现的方法。在不存在“卖空”的假设下，已知马科维茨[5]的期望方差优化程序在n<p时的性能因第1节中已经说明的奇异性条件而不稳定。通过正则化，协方差矩阵为这个问题提供了一个旁路。∑，处于不利地位 ω ∈ Rp，ωTnSn-1oω≥ 0.对于严格正定义的先验信息矩阵λ′IpωTM（∑| S）ω=ωTqn+p+1λ′Ip+（1）- q） 锡- 1.ω（q>0）=ωTqn+p+1λ′Ipω+ωT(1 - q） 锡- 1.ω > 0, ω ∈ Rp，因为ωTqn+p+1λ′Ipω > 0. 正如马科维茨（1952）所说，最大化费用和最小化方差的问题被转化为投资者效用最大化的问题，asin Fabo z zi等人（2008）[14]。