资本充足率测试与金融机构有限责任

在这种情况下，所有者的盈余和所有者的违约选择权分别为K:=X+和D:=-十、-. （2.2）特别是，违约D选项代表机构在T=T时违约的金额。所有者的利益和责任持有人的利益之间存在固有的冲突。违约选择权赋予所有者在资产收益无法抵偿债务的情况下退出的权利。因此，所有者会关心违约的可能性，但不关心违约的程度，即他们会更多地关注盈余K，而不是违约D的选择。另一方面，负债持有人会关注违约选择，而不是盈余，因为他们会承担前者的后果，而不会从后者中获益。事实上，外部监管的关键目标之一是帮助控制金融机构可能违约的可能性和规模，从而将违约情况下对责任人的负面影响降低到可接受的水平。验收集和风险度量用于形成设定资本要求的过程。通常，我们表示byR:=R∪ {±∞} 延长实线。定义2.1。非空的、可操作的子集 L∞如果X∈ A和Y≥ 西米∈ A.称为凸锥的接受集是相干的。任何接受都是一种选择 L∞可被视为监管机构规定的资本充足率测试：资本状况为X的机构在X时通过资本公平性测试∈ A.定义2.2。映射ρ：L∞→ 如果R在下降，即如果ρ（Y），则称R为风险度量≤ ρ（X）对于任意Y≥ X，（2.3）如果setA（ρ）：={X∈ L∞; ρ（X）≤ 0}（2.4）是非空且适当的。备注2.3。

对于每个风险度量ρ：L∞→R、 集合A（ρ）是一个可接受集合。测量距离t到可接受性将操作意义赋予风险度量ρ：L∞→R、 我们需要描述如何解释量ρ（X）。在本文中，最初的重点将是风险度量ρA，与特定的接受集A相关 L∞以及预先指定的交易资产S=（S，ST），初始值S>0，最终收益非零∈ L∞+. 资产S称为合格资产。这些风险措施旨在捕捉以下运营情况：为了修改其资本头寸的可接受性，金融机构的管理层将被允许筹集资本并将其投资于S。当为正值时，ρa，S（X）代表需要筹集和投资的最小资本量，以使X头寸可接受。从这个意义上讲，ρA，S（X）可以被解释为X到可接受性的“距离”的度量，使用资产S作为基本的“尺度”。正式定义如下：定义2.4。让我们 L∞是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。与A和S相关的风险度量是映射ρA，S:L∞→定义为ρA，S（X）：=infM∈ RX+mSST∈ A.为了X∈ L∞. （2.5）如果S=（1，1Ohm) 是无风险资产，我们只需写出ρA（X）：=inf{m∈ RX+m∈ A}代表X∈ L∞. （2.6）很容易证明，每个映射ρA都是一个风险度量，并且满足以下S-可加性。定义2.5。设S=（S，ST）为交易资产。风险度量ρ：L∞→如果ρ（X+λST）=ρ（X），则R称为S-加性- λs对于所有X∈ L∞λ∈ R（2.7）如果ρ是关于S=（1，1）的S-可加性Ohm), 那么ρ被称为现金加法。备注2.6。（i） 设S=（S，ST）为交易资产。

很容易证明，如果一个风险度量ρ：L∞→R是S-加性的，那么ρ=ρA（ρ），S.（ii）如果S=（S，ST）是一般交易资产，那么相应的S-加性风险度量不需要完全估值，也不需要连续。完整性和连续性的条件见[10]和[11]。然而，如果STI基本上是从零开始的，那么ρA始终是固定值，并且是Lipschitz连续的。现金加性风险度量就是这种情况，我们也参考了[14]中的第4章。3剩余不变接受集和风险度量在本节中，我们介绍了ce剩余不变接受集和风险度量，认为从监管角度来看，使用资本充足率测试是合理的，因为资本充足率测试无法通过增加金融机构的盈余来实现可接受性。剩余不变验收设置定义3.1。录取决定了胜负 L∞如果Y∈ A.多愁善感-= 十、-为了一些X∈ A.从责任人的角度来看，盈余不变性是一项重要的财产。事实上，假设我们不是盈余不变量。然后我们可以找到位置X∈ A和Y 6∈ A和X-= Y-. 然而，负债持有人应与拥有X或Y的机构不同：如果公司违约，那么在这两种情况下，其违约金额相同。因此，X与Y相比可以接受的只是资产超过负债的部分，这将归公司所有者所有，而不是负债持有人所有。因此，责任持有人的劣势（违约）将通过所有者的优势（超额收益）得到补偿。备注3.2。L中的剩余不变接受集∞在[19]中，它们被称为“访问不变量”。

我们之所以选择“盈余”一词，是因为它在保险文献中更为常见。我们首先提供剩余不变接受集的一个基本但有用的特征。引理3.3。让我们 L∞成为一个被接受的人。那么下面的陈述是等价的：（a）a是剩余不变的；（b） 如果X∈ A，然后是X1A∈ A代表每一个A∈ F（c） 如果X∈ A那么-十、-∈ A.特别是，任何剩余不变接受set都包含0。证据假设（a）保持不变，让X∈ A和A∈ F注意-十、-∈ A由剩余不变性决定。然后，自从-十、-≤ X1A，我们得到X1A∈ A由A的单调性决定，所以（b）成立。如果（b）保持不变，那么X∈ A，将A:={X<0}设置为-十、-= X1A∈ A，p粗纱（c）。最后，假设（c）保持不变，取X∈ A和Y∈ L∞以至于-= 十、-. 然后紧接着-Y-∈ A，暗示∈ A是由单调性引起的。因此，A是s不变量。示例3.4（SPAN）中的剩余不变量示例。设A为Ohm. A生成的跨距接受集为设置跨距（A）：={X∈ L∞; X1A≥ 0} . （3.1）这是一个封闭的一致接受集，它是sur加不变量。正如我们在eorem 4.9中所展示的，Span接受集本质上是唯一的相干、剩余不变接受集。首字母缩写Span代表标准投资组合分析。它指的是许多中央交易所选择的计算保证金要求的方法，例如参见[6]中的讨论。示例3.5（跨度类型）。设A为Ohm 拿V∈ L∞. 由A和V生成的跨距接受集是setSPAN（A，V）：={X∈ L∞; X1A≥ V 1A}。（3.2）这是一个封闭的凸接受集，当且仅当v1a是剩余不变的≤ 0.例3.6（短缺风险）。允许l : R→ R是一个非恒定的、凸的、递减的函数，fix a levelα>infx∈Rl（x） 。

刚毛l:= {X∈ L∞; E[l(-十、-)] ≤ α} （3.3）是一个闭的，凸的，s-曲线不变的接受集，它也是定律不变的。实践中使用最广泛的两种风险度量是风险价值和风险尾部价值。详细处理可参见[14]第4.4节。虽然与风险值对应的接受集是盈余不变的，但基于风险尾值的可接受性标准通常不是这种情况。例3.7（VaR）。X的风险价值∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为Varα（X）：=inf{m∈ RP（X+m<0）≤ α} . （3.4）相关验收集aα：={X∈ L∞; VaRα（X）≤ 0}={X∈ L∞; P（X<0）≤ α} （3.5）很容易被认为是剩余不变的。它是一个封闭的圆锥体，通常不是凸的。回想一下，接受决定了 L∞如果X 6∈ A表示任何非零X∈ L∞这样的X≤ 0.备注3.8。唯一敏感的剩余不变接受集是L∞+; 另见[19]中的命题4.2。例3.9（TVaR）。风险为X的尾值∈ L∞在α级∈ （0，1）定义为asTVaRα（X）：=αZαVaRβ（X）dβ。（3.6）尾部风险价值也称为预期短缺、条件风险价值或平均风险价值。相应的接受集aα：={X∈ L∞; TVaRα（X）≤ 0}（3.7）是一个封闭的、一致的接受集。然而，由于众所周知Aα是敏感的，因此它不是备注3.8中的盈余不变量（除了与L重合的小情况）∞+). 这也可以通过下面的例子直接看出：以∈ 0<P（A）<1且setX=-ε1A+γ1ac对于ε，γ>0。（3.8）如果β<P（A）和VaRβ（X）=-否则。取TVaR水平α，如P（a）<α<1。ThenTVaRα（X）=αZP（A）VaRβ（X）dβ+αZαP（A）VaRβ（X）dβ（3.9）=εαP（A）+γP（A）α- 1.. （3.10）通过同样的计算，我们也得到了VaRα(-十、-) =εαP（A）>0。

（3.11）因此-十、-对于Aα而言，X始终是不可接受的，而当剩余γ足够大时，X是可接受的。盈余不变风险度量在gly中，与盈余不变接受集相关的s-加性风险度量的基本特征是：它们将相同数量的所需资本分配给具有相同负部分的不可接受头寸。基于这一特性（如下所示），我们定义了s urplus不变风险度量的概念。剩余不变风险度量的类别包括Cont、Deguest&He在[6]中引入的基于损失的风险度量，以及Staum在[19]中引入的剩余不变风险度量。定义3.10。风险度量ρ：L∞→如果ρ（X）=ρ，R称为剩余不变量(-十、-) 为了所有的X∈ L∞ρ（X）处的此类th≥ 0 . （3.12）备注3.11。与[19]中介绍的术语一致，满足（3.12）要求的风险度量也可以称为“正性盈余不变量”。为了使语言尽可能简洁，我们没有这样做，因为要求ρ（X）≥ 通常需要0英寸（3.12英寸）。实际上，假设ρ是归一化的，即ρ（0）=0，ρ（X）=ρ(-十、-) 为了一些X∈ L∞. 然后，通过单调性，0=ρ（0）≤ ρ(-十、-) = ρ（X）。提案3.12。让我们 L∞是一个接受集，S=（S，ST）是一个交易资产。（i） 如果A是剩余不变量，那么ρA，Sis是剩余不变量。（ii）如果A是闭合的且ρA，则Sis剩余不变且未达到该值-∞, 那么A是盈余不变的。证据（i） 以X为例∈ L∞. 自从-十、-≤ 我们显然有ρA，S（X）≤ ρA，S(-十、-). 假设x+λST∈ A对于某些λ>0。通过剩余不变性，我们得到- （X+λST）-∈ A.因为λ是正的，我们看到了-（X+λST）-≤ -十、-+ λST.这个小鬼在说谎-十、-+ λST∈ 因此，ρA，S(-十、-) ≤ λ.

因此，我们得到ρa，S(-十、-) ≤ ρA，S（X）。（ii）由于A是闭合的，我们有A={X∈ L∞; ρA，S（X）≤ 0}. 以X为例∈ 所以ρA，S（X）≤ 设置λ：=ρA，S（X）/S。因为ρA，S（X+λST）=0，我们有ρA，S(-（X+λST）-) = 0的剩余不变性。这意味着-（X+λST）-∈ A.然而-（X+λST）-≤ -十、-自λ≤ 0，因此-十、-∈ A.根据引理3.3，A是剩余不变的。备注3.13。在前面的命题中，要求ρA，Sdoes不能达到这个值-∞ 这是合理的。实际上，任何位置X∈ L∞ρA，S（X）=- ∞ 将具有以下病态特征：一个人可以在不影响可接受性的情况下提取任意数量的资本。此外，ifA是闭的和凸的，那么ρA，是凸的和下半连续的，这意味着ρA，如果达到这个值，它就不会有任何实值-∞ 通过[8]第一章中的命题2.4，4对偶表示在这一节中，我们证明了关于弱集闭的凸剩余不变接受集的一个特征*拓扑σ（L）∞, 五十） 。这里我们用实值的Banach格来表示变量X(Ohm, F）使E[|X |]<∞, 其中，几乎肯定会出现随机变量。Lis中的正锥由L+表示。注意，每个元素都是Z∈ 用函数ψZ:L表示∞→ R通过配对ψZ（X）：=E[XZ]。备注4.1。对σ（L）的兴趣∞, 五十） -封闭式验收设置了 L∞其原因在于，相应的风险度量ρA具有所谓的Fatou性质，即它们相对于σ（L）是下半连续的∞, 五十） 。此外，Svindland在[20]中指出，如果潜在的p概率空间是非原子的，则L中的每个接受集∞它是凸的，闭的，定律不变量是σ（L）∞, 五十） -关闭（另见Jouini、Schachermeyer和Touzi[17]）。

回想一下，一套 L∞当X和Y具有相同的分布时，如果X∈ 一个暗含着恐惧的人∈ A.备注4.2。命题3.12同样适用于σ（L∞, 五十） -关闭验收集A L∞按以下形式：如果ρA，则S未达到该值-∞, 那么ρA，Sis剩余不变量当且仅当ifA是剩余不变量。子集a的（下）支持函数 L∞这是σA:L图吗→ R∪ {-∞} d由σA（Z）定义：=infX∈AE[XZ]。（4.1）集合B（A）：={Z∈ LσA（Z）>-∞} 被称为障碍物圆锥体。备注4.3。设A是L的子集∞. 那么σa是超线性的，并且是半连续的。如果A是acone，那么B（A）={Z∈ LσA（Z）=0}。此外，根据[11]中的引理3.11，如果A是一个接受集，那么B（A） L+。剩余不变接受集的对偶表示我们首先建立了凸、剩余不变接受集的对偶特征，即σ（L∞, 五十） 关门了。显然，这种类型的特征化也提供了一种构建此类接受集的合法方法。定理4.4。L的子集A∞是σ（L）∞, 五十） -闭的，凸的，剩余不变的当且仅当ifA=\\Z∈B（A）{X∈ L∞; E[XZ]≥ γ（Z）}（4.2）对于某些函数γ：L→ R∪ {-∞} 满足（F1）γ（Z）≤ 0代表所有Z∈ L+；（F2）γ（Z）>-∞ 为了一段时间∈ L+；（F3）γ在下降。在（4.2）中，我们可以选择γ=σA。此外，对于任何满足（4.2）的γ，我们有γ（Z）≤ σA（Z）表示所有Z∈ L+。此外，σA（Z）=infX∈AE[-十、-Z] 每一个Z∈ L+。（4.3）证据。首先，假设A（γ）是（4.2）中的交点。作为σ（L）的交集∞, 五十） -由正σ（L）生成的闭半空间∞, 五十） -连续线性泛函，A（γ）是σ（L）∞, 五十） -封闭的凸接受集。特别地，A（γ）是L的一个非空的真子集∞通过（F1）和（F2）。为了证明a（γ）是剩余不变量，取X∈ A（γ）。

因为γ在减小，所以对于每一个Z∈ L+我们成功了[-十、-Z] =E[X1{X<0}Z]≥ γ（1{X<0}Z）≥ γ（Z）（4.4）表明A（γ）是引理3.3的剩余不变量。现在假设A是σ（L∞, 五十） -封闭的凸接受集，是sur加号不变量。根据[12]中的定理4.4，我们可以用γ=σA表示（4.2）中的A，对于任何满足（4.2）的函数γ，我们必须有γ（Z）≤ σA（Z）表示所有Z∈ L+。注意，σAin（4.3）的表示来自A的剩余不变性。因此，σAsatis fies（F3）。由于A是非空且适当的，因此σAalso等于（F1）和（F2）。备注4.5。让我们 L∞做σ（L）∞, 五十） -闭、凸、剩余不变接受集。通过正同质性，我们可以将（4.2）中的交集限制为所有随机变量Z∈ B（A）满足E[Z]=1。这种类型的随机变量可以通过Radon-Nikodym导数DQDPOF概率测度Q来识别<< P、 即概率测度相对于P是绝对连续的。因此，（4.2）isA=\\Q中A的对偶表示的“概率”版本<<P、 dQdP∈B（A）十、∈ L∞; 等式[X]≥ σAdQdP. （4.5）剩余不变风险测度的对偶表示下一步，我们建立了满足Fatou性质的凸风险测度的标准对偶表示的剩余不变的结果。对于任何ρ：L∞→ R∪ {∞} 我们用ρ表示*它的σ（L）∞, 五十） 共轭，即ρ*（Z） ：=supX∈L∞{E[XZ]- Z的ρ（X）}∈ L.（4.6）提案4.6。设ρ：L∞→ R∪ {∞} 是满足Fatou性质的凸风险度量。如果ρ是剩余不变的，那么ρ（X）=supQ<<P-等式[X]- ρ*-dQdP为了X∈ L∞. （4.7）此外，如果ρ（X）≥ 0，那么ρ（X）=supQ<<P等式[X]-] - ρ*-dQdP. （4.8）证据。因为ρ是凸的，关于σ（L）是下半连续的∞, 五十） ，通过结合[15]中的定理6和推论7，我们得到了任意X∈ L∞标准对偶表示ρ（X）=supZ∈L+{-E[XZ]- ρ*(-Z） 哦。

（4.9）因此，（4.7）紧随其后，如果我们将其传递到注释4.5中讨论的相应氡Nikodym der ivatives。如果ρ（X）≥ 0，那么ρ（X）=ρ(-十、-) 通过剩余不变性，因此（4.8）也会改变。对于ρA，S形式的盈余不变性风险度量，这是与操作相关的度量，我们得到了一个更清晰的对偶表示，盈余不变性的影响更明显。提案4.7。勒塔 L∞是凸的，σ（L）∞, 五十） -关闭验收集，并假设ρA，sda在值中-∞. 如果A是剩余不变的，那么ρA，S（X）=supQ<<P、 EQ[ST]=S-等式[X]+infY∈AEQ[-Y-]为了X∈ L∞. （4.10）此外，如果ρA，S（X）≥ 0，那么ρA，S（X）=supQ<<P、 EQ[ST]=S等式[X]-] + 英菲∈AEQ[-Y-]. （4.11）证据。因为ρA，所以S不能达到这个值-∞, 我们可以应用[12]中的推论4.14和定理4.16来获得ρA，S（X）=supZ∈B（A），E[STZ]=S{σA（Z）- E[XZ]}（4.12）每X∈ L∞. 因此，σAin（4.3）的表示在ce上产生（4.10），我们考虑相应的Radon-Nikodym导数。第二种代表紧随其后的是盈余不变性。相干剩余不变接受集我们现在关注相干剩余不变接受集，并证明该类基本上与示例3.4中定义的跨度接受集一致。因此，如果超不变性被认为是一种可取的属性，为了有更广泛的可接受性标准，我们不得不离开不同的世界。如果我们额外要求法律不变性，这一点就更加明显了，这是文献中的一个常见假设。事实上，我们证明了正锥L∞+是唯一的剩余不变量，也是定律不变量。在本节中，我们假设空间是可分的。根据[5]中的定理19.2，这是σ-代数F可数生成的情况。引理4.8。