识别非平稳微观结构噪声和噪声的无模型方法

形式上，我们定义子网格G（K，K）的索引为K=0，·K- 每K 1个∈ N+：G（k）=G（k，k）≡tk，tk+K，tk+2K，tk+（bn/Kc）-1） K, 其中k=0，1，·，k- 1（7）为了分析边缘效应和修改的TSRV，我们需要更多的观测符号：G0（k）=G0（k，k）≡ {ming（K，K）+1，ming（K，K）+2，····，max G（K，K）}G00（K）=G00（K，K）≡ {ming（K，K）+1，ming（K，K）+2，····，max G（K，K）- 1} G（min）=G（K，min）≡ {ming（K，1），ming（K，2），···，ming（K，K）}G（min）=G（K，max）≡ {max G（K，1），max G（K，2），···，max G（K，K）}（8） 因此，我们有| G（min）|=|G（max）|=K和以下关系sk[K=1G（K）=G（min）[K[K=1G0（K）！=G（min）[K[K=1G00（K）！[G（max）]有时，我们也会用给定网格H中的第i个时间点来表示，例如，G（min）i=ming（K，i）=ming（i），G0（K）i、 为了定义第4节中的一些测试，我们需要引入一些收缩移动窗口和局部采样网格。稍后，我们将固定时间间隔[0，T]（在应用程序中，T可能是5个工作日或更长的时间段）划分为rn（取决于n和rn）→ ∞) 子区间（Ti，Ti+1），每个（Ti-1，Ti]包含Knobservations，即Ti=tiKn，0=T≤ T≤ T≤ ··· ≤ Trnand rn=bn/Knc。我们还顺便提到了缩小的采样网格{t（i-1） Kn，···，tiKn}超过[Ti-1，Ti]，即| Si |=Kn，Si=G∩[Ti-1，Ti]，Srni=1Si={Ti∈ G:ti≤ Trn}.2.3假设根据第2.1小节中的模型设置，我们必须做出以下识别假设，以实现可识别性和可估计性：dZt≡ dXt=btdt+σtdWt+Jt（9）边缘效应是非参数高频计量经济学中普遍存在的现象。从口头上讲，边缘效应是“信息在时间间隔的边缘逐渐进入和逐渐退出”，这是由数据的不均匀使用造成的。

虽然不受欢迎，但这一特征在估计中是不可避免的。（7）和（8）中定义的时间网格取决于调谐参数K，该参数应更恰当地表示为Kn，然而，为了可适应性和易记性，在观测符号中，对n的依赖将被抑制。尽管如此，重要的是要记住这种对n的隐性依赖。否则，所有的估算方法都将失效[Jacod等人，2009]。注意，在识别假设（9）下，我们有{et}t≥0和{t} t≥0是相同的，噪声和潜在过程之间没有相关性。综上所述，各种结果需要以下假设：假设1。它的微分部分是^o半鞅。底层模型是（1），{bt}t≥0，{σt}t≥0和{Wt}t≥0被改编，{bt}t≥0和{σt}t≥0是c`adl`ag进程，并且是局部有界的。假设2。它的跳跃^o半鞅。Jt=RtRRx1{|x|≤1}(u - ν） （ds，dx）+RtRRx1{| x |>1}u（ds，dx），其中u是R+×R上的泊松随机测度，而ν是u的可预测补偿器，在这个意义上（u- ν） （（0，t]，A）是t>0，A.∈ B（R）。我们可以写出ν（dt，dx）=dt λ（dx），其中λ是r的σ-有限度量。假设3。它的有限跳^o半鞅。在假设2的基础上，假设 R上的一个函数，使得rrΓ（x）λ（dx）<∞ Γ在哪里≥ 1.假设4。可识别隐藏它的^o半鞅。其基本过程是（1）；我们有可识别性假设（9）。假设5。有条件的独立。以潜变量为条件，不同时间的观测Yti是独立的，即YtiYtjfor i 6=j。这一假设大大简化了证明。假设6。微观结构效应的局部有界性。l>0，和α > 0,M（α，l），使得|ti |α| F（0）≤ M（α，l），当Xti∈ [-l、 l]，σti∈ （0，l.）假设7。

可能是不规则的观测网格，网格缩小。采样时间可以是不规则的，但与潜在过程无关。网格的网格变为零，更具体地说，是max1≤我≤Nti=OpN.基于其中一些假设，我们给出了涉及各种随机收敛模式的结果。有必要澄清这些收敛模式的符号：P-→表示概率收敛，L-→ 表示定律收敛（分布收敛，弱收敛），L-s-→ 意味着法律上的稳定趋同。3检验平稳性/非平稳性：第一项检验在本文中，我们考虑检验市场微观结构是平稳的零假设：H：{t} t≥它是静止的←→ H:{t} t≥0是非平稳的。对这一假设的解释是，如果市场参与者知道潜在的有效价格，在不同时间发生的市场微观结构效应是独立的。对于一些读者来说，“法律中的稳定趋同”这个概念可能并不熟悉，请参考Myklandand Zhang[2012]或Jacod and Protter[2012]第2章的定义。我们关注以下问题：o我们能找到任何非参数测试来判断微观结构噪声的平稳性吗？o就控制I型错误而言，平稳性测试是否有效它是渐近最优的，因为它的统计能力在渐近中是最大的吗？3.1序曲：非平稳性及其补救措施在本小节中，我们将注意力转移到使用受（可能是非平稳的）市场微观结构噪声污染的高频数据估计综合波动性（或随机演算术语中的连续二次变化）。

我们的第一个测试数据就是受此启发。双时间尺度已实现波动率估计器（TSRV）[Zhang等人，2005]是第一个使用噪声高频金融数据对综合波动率进行一致性估计的估计器。在本文中，我们定义了[Y，Y]在给定的采样网格上计算过程{Yt}的已实现方差。TSRV定义如下：\\hX，Xi（T SRV，Kn）T≡ [Y，Y]（平均值，千牛）T-N- Kn+1nKn[Y，Y]G（10），其中，根据第2.2小节中引入的符号，[Y，Y]（平均值，Kn）=KnPKn-1k=0[Y，Y]G（k）[Y，Y]G=Pni=1（Yti- Yti-1） [Y，Y]G（k）=Pti∈G0（k）（Yti）- Yti-K） ，对于K=0，··，K- 1调谐参数的最佳选择是Kn=O（n），这将导致TSRV的最佳可能顺序。以同样的方式，我们可以定义[, ]G[, ]（avg，Kn）和[Z，Z]（avg，Kn）T。设计\\hX，Xi（T SRV，Kn）背后的直觉是次采样和平均：每个[Y，Y]G（k）是在一个更稀疏的网格上计算的，因此减轻了微观结构的影响，因此它们的行程[Y，Y]（avg，Kn）T应该更接近hX，XiT；第二项[Y，Y]很好地代表了噪声方差，因此它将影响[Y，Y]（平均值，Kn）T中噪声引起的偏差。TSRV最初是在微结构噪声为静态的设置下设计的；然而，在非平稳微观结构噪声下，由于以下引理，TSRV有一个由边缘效应产生的偏差项：引理1。在假设1,3,4,5,6,7下，我们有[Y，Y]（avg，Kn）T- [Z，Z]（平均，千牛）T=KnKXk=1Xti∈G00（k）gti+KnXti∈G（最小）gti+KnXti∈G（max）gti |{z}偏差[Y，Y]（平均值，K）t由于非平稳噪声+op（1）（11）应用中的一个注意事项是选择- 为了减少边缘效应，bn/KncK非常小。从引理1中，我们可以看到，每个时间点的噪声对平均实现方差[Y，Y]（avg，Kn）T中的偏差的贡献并不相等。

在第一个和最后一个KNS采样点中，噪声的条件二阶矩乘以系数kn，相反，采样点中间的噪声条件二阶矩乘以系数kn。然而，噪声校正项[Y，Y]Gin（10）的作用就好像gti对[Z，Z]（平均值，Kn）T中的噪声分量具有相同的贡献。对TSR和前两次测试的修改是由时间间隔[0，T]两侧信息利用的不均匀性所驱动的。据我们所知，Kalnina和Linton[2008]是第一项考虑了TSRV中由于非平稳微观结构噪声而产生的边缘效应的研究，他们通过[Y，Y]（平均值，Kn）T重新定义了TSRV-N-Kn+1nKn[Y，Y]{n}Twhere[Y，Y]{n}T=n-KnXi=1（Yti+1- Yti）+n-1Xi=Kn（Yti+1- )！在一个包含日测量误差和内生测量误差的参数模型下。在下文中，我们使用这种设计来解决第2节给出的广义隐It^o半鞅模型下的非平稳性问题。在本文中，我们将由Kalnina和Linton[2008]中已实现变量的修改版本组成的新TSRV称为“样本加权TSRV”，定义为\\hX，Xi（W T SRV，Kn）T=[Y，Y]（平均值，Kn）T-Kn[Y，Y]{n}t在第2节的一般模型下，样本加权TSRV具有以下渐近性质：定理1。假设在有限的时间间隔[0，T]内有n个观测值。

当wetake Kn=cn2/3对于某个常数c，在假设1，3，4，5，6，7下，我们有n1/6\\hX，Xi（W T SRV，Kn）T- [Z，Z]TL-s-→ 锰0，T cZTgtdt+4cTZTσtdt（12） 该定理告诉我们，非平稳噪声环境下的样本加权TSRV与平稳噪声环境下的传统TSRV具有相同的渐近性质[Zhang等人，2005年，Li和Mykland，2007年，Ait-Sahalia等人，2011年]，因为渐近分布和收敛速度保持不变；换句话说，样本加权TSRV的渐近性质对于非平稳噪声是不变的。Kalnina和Linton[2008]所依据的模型是isdXt=utdt+σtdWtYti=Xti+钛ti=uti+vtiuti=Δγn（Wti- Wti-1） vti=m（ti）+n-αω（ti）eti，α∈ [0，1/2）式中，eX，i.i.d.，E（E）=0.3.2第一次测试N（Y，Kn）假设其为真，原始TSRV和样本加权TSRV的渐近分布均为混合正态分布。因此，两个不同版本之间差异的渐近分布（经过适当缩放）这也是一种混合的常态。因此，我们可以基于其差分D（Y，Kn）nT的渐近行为来测试空hba=√千牛\\hX，Xi（W T SRV，Kn）T-\\hX，Xi（T SRV，Kn）T, 注意d（Y，Kn）nT=n- 2（千牛）- 1） 2nK1/2n[Y，Y]G（最小）+n- 2（千牛）- 1） 2nK1/2n[Y，Y]G（最大值）-千牛- 1nK1/2n[Y，Y]G/（G（最小值）∪G（max））（13）第一个测试统计量N（Y，Kn）NTI的设计如下：N（Y，Kn）nT≡D（Y，Kn）nTqn[Y；4]G-2n[Y，Y]G，如果[Y；4]G-2n[Y，Y]G6=00，如果[Y；4]G-2n[Y，Y]G=0（14），其中[Y；4]G=Pni=1（Yti）- Yti-1） 是基于观察Yti的样本四次性。我们的第一个检验统计量具有以下渐近性质：定理2。

如果噪声过程是平稳的，在假设1、2、5、6、7的情况下，只要Kn→ ∞ 但Kn=o（n），n（Y，Kn）nTL-→ N（0，1）（15）我们使用这个结果来测试第9小节中市场微观结构噪声的平稳性。2（图9）。检验统计量（15）的分母，namelyn[Y；4]G-2n（[Y，Y]G）实际上是2E的麻醉剂(|F（0））。这在（17）中正式介绍，它不仅用于第一次测试统计，也用于第4.2小节中的第二次测试统计。它本身很有趣，因此我们这里给出结果：引理2。如果我们定义过程ht（ω（0））≡ E(t | F（0））（ω（0）），那么在假设1,2,5,6,7下，我们有[Y；4]G=TZThtdt+TZTgtdt+Op√N（16） 备注1。基于引理2，如果噪声是平稳的，2n[Y，Y，Y，Y]G | F（0）P-→ E(|F（0））+E(|F（0））, 所以对E的自然估计(|F（0））是\\E(|F（0））=2n[Y；4]G-4n[Y，Y]G（17）备注2。现在，我们研究微观结构是非平稳的情况下，我们的第一个测试统计数据的行为。因为2n[Y，Y]G=TRTgtdt+op（1），所以\\E(|F（0））P-→ DT≡E(|F（0））{t} t≥0is Stationarythrtdt+TRTgtdt-TRTgtdt{t} t≥0是非平稳的（18），因为我们假设噪声方差的局部有界性，几乎可以肯定的是，与噪声平稳性无关。根据第11.3小节中的证明，我们知道（Y，Kn）nT=pKn×g（开始）+g（结束）- 2g（中间）DT+Op（1）（19），其中G（开始）=KnPti∈G（最大）gtig（结束）=KnPti∈G（最大）gtig（中间）=n+1-2KnPKnk=1Pti∈Gkgti（20），因为Kn=On2/3在我们的设置中，当噪声不稳定时，N（Y，Kn）Texplodes。因此，该测试的II型误差可以渐近忽略不计。根据定理2和备注2，我们得到了推论1。假设{gt}t≥0和{ht}t≥c`adl`ag在[0，T]上的过程几乎都是连续点，另外我们有假设1，2，5，6，7和letKn→ ∞, 千牛/牛→ 0

当噪声过程是非平稳的，N（Y，Kn）nT-pKn×g+gT-TRTgtdtTRThtdt+TRTgtdt-TRTgtdtL-→ N（0，1）（21）关于RTHTDT+3RTgtdt的事件-TRTgtdt6= 0.备注3。测试统计量N（Y，Kn）Nt可以通过网格G（min）、G（max）的两个边缘和网格G/（G（min）的中间揭示微观结构噪声中潜在的非平稳性∪G（最大值）。我们可以证明，在后面的小节中，有一些方案不仅能够反映两个边缘和中间之间的异质性，而且还能够捕获数据中关于非平稳性的几乎所有信息，然而，不可避免地需要更多的计算成本。我们将在第4节讨论这些方案。术语“c`adl`ag”（法语中“continue droite，limite gauche”的首字母缩写）描述了一个函数的性质，该函数处处右连续，处处有左极限，例如，布朗运动（样本路径几乎是连续的），L`evy过程（可数个跳跃间断）。4第二和第三个测试4。1总体思路第二次和第三次测试旨在有效利用数据中包含的与噪声平稳性相关的所有信息，而不是第一次测试N（Y，Kn）N（见备注3）。第二次和第三次测试的基本思想是在子区间上进行局部测试，然后合并所有局部测试的证据。为了理清思路，回顾第2.2小节中的观测符号，我们将固定时间间隔[0，T]划分为rnsub间隔（Ti，Ti+1），这样每个-1.Ti]包含任何服务。

和第一个测试统计的定义类似，但第二个测试使用移动窗口（Ti）上定义的局部测试统计，而不是整个区间[0，T]-1，Ti-1+sn] [0，T]具有合适的窗口长度sn（根据子区间（Ti，Ti+1）的数量）：D（Y，Kn，sn）ni≡（序号- 2） Kn+22snK3/2n[Y，Y]Gi+[Y，Y]Gi+sn-千牛- 1snK3/2n[Y，Y]∪锡-1k=2Gi+k（22）然后，我们使用重叠窗口来计算数量U（Y，Kn，U）nT，这取决于过程Y、统计实验n的阶段、调整参数Knandsn<jnKnk，以及一个数字U>0:U（Y，Kn，sn，U）nT≡bn/Knc- 锡币+10亿元/Knc-sn+1Xi=1 | D（Y，Kn，sn）ni | u（23）同样，我们也基于非重叠窗口定义了一个数量：u（Y，Kn，sn，u）nT≡bn/（snKn）cbn/（snKn）cXi=1D（Y，Kn）（i）-1） sn+1u（24）4.2第二个测试V（Y，Kn，sn，2）nT我们设计了第二个测试统计量V（Y，Kn，sn，2）nT≡（pn/Kn）U（Y，Kn，sn，2）nT-n[Y；4]G-2n[Y，Y]G/bη，如果bη6=00，如果bη=0（25），其中bη=n[Y；4]G-n[Y；4]G·[Y，Y]G+2n[Y，Y]G（26）关于V（Y，Kn，2）nT的渐近性质，我们有以下结果：定理3。（V（Y，Kn，sn，2）nt在零位下）在假设1，2，5，6，7下，假设噪声过程是平稳的，并选择调谐参数，使Kn/n→ 0千牛顿/牛顿/立方英寸→ ∞, 锡→ ∞, sn。然后检验统计量V（Y，Kn，2）n具有以下渐近性质：V（Y，Kn，sn，2）nTL-→ N（0，1）（27）在E(|F）- E(|F） E(|F） +E(|F） 6=0。我们使用这一结果来测试第9小节中市场微观结构噪声的平稳性。2（图10）。我们还可以根据不重叠的间隔V（Y，Kn，sn，2）nT确定另一个数量V（Y，Kn，sn，2）nT≡（pn/（snKn）U（Y，Kn，sn，2）nT-n[Y；4]G-2n[Y，Y]G/bη，如果bη6=00，如果bη=0根据定理3，可以导出V（Y，Kn，sn，2）nT的渐近性质。推论2。

在与定理3相同的条件下，假设噪声是静止的：V（Y，Kn，sn，2）nTL-→ N（0，1）（28）在E(|F）- E(|F） E(|F） +E(|F） 6=0。备注4。当我们比较推论2和定理3时，有点令人惊讶，因为U（Y，Kn，sn，2）n和U（Y，Kn，sn，2）n的极限混合法线具有相同的渐近方差，可以用bη一致估计，尽管前者的收敛速度较低。然而，研究结果仅证明了极限行为。V（Y，Kn，sn，2）n所需的计算量较少，而V（Y，Kn，sn，2）n由于其较高的收敛速度，在渐近逼近方面更精确。4.3第三个测试v（Y，Kn，2）n第二个测试统计量（25）中存在中度边缘效应（来自第一个SNK和最后一个SNK观察）。受关于第一个检验统计量（14）的备注3的启发，我们可以设计一个补充检验统计量V（Y，Kn，2）n（由（30）定义），当噪声是平稳的，但在有限样本中具有较小的边缘效应时，它与V（Y，Kn，sn，2）n具有相同的渐近性质。然而，我们应该将V（Y，Kn，sn，2）保留在我们的工具箱中——尽管V（Y，Kn，2）在噪声静止时不能提供更好的近似值，但我们将看到V（Y，Kn，sn，2）具有更大的统计能力，如图1所示。第三个检验统计量的关键成分是u（Y，Kn，2）nT≡4nbn/Knc-1Xi=1[Y，Y]Si+1- [Y，Y]Si（29）其中每边标注收缩采样网格{t（i-1） Kn，···，tiKn}超过[Ti-1，Ti]（重新调用第2.2小节中的观测符号，[Y，Y]Si是网格Si上实现的过程方差。我们的第三个测试统计数据是定义的asV（Y，Kn，2）nT≡（pn/Kn）U（Y，Kn，2）nT-n[Y；4]G-2n[Y，Y]G/bη，如果bη6=00，如果bη=0（30），其中bη在（26）中定义。定理4。