股票收益率非线性相关性的嵌套因子模型

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英文标题：
《A nested factor model for non-linear dependences in stock returns》
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作者：
R\\\'emy Chicheportiche and Jean-Philippe Bouchaud
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The aim of our work is to propose a natural framework to account for all the empirically known properties of the multivariate distribution of stock returns. We define and study a \"nested factor model\", where the linear factors part is standard, but where the log-volatility of the linear factors and of the residuals are themselves endowed with a factor structure and residuals. We propose a calibration procedure to estimate these log-vol factors and the residuals. We find that whereas the number of relevant linear factors is relatively large (10 or more), only two or three log-vol factors emerge in our analysis of the data. In fact, a minimal model where only one log-vol factor is considered is already very satisfactory, as it accurately reproduces the properties of bivariate copulas, in particular the dependence of the medial-point on the linear correlation coefficient, as reported in Chicheportiche and Bouchaud (2012). We have tested the ability of the model to predict Out-of-Sample the risk of non-linear portfolios, and found that it performs significantly better than other schemes.
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中文摘要：
我们工作的目的是提出一个自然的框架来解释股票收益率多元分布的所有经验已知属性。我们定义并研究了一个“嵌套因子模型”，其中线性因子部分是标准的，但线性因子和残差的对数波动率本身具有因子结构和残差。我们提出了一个校准程序来估计这些对数体积因子和残差。我们发现，虽然相关线性因子的数量相对较大（10个或更多），但在我们对数据的分析中，只有两个或三个对数体积因子出现。事实上，一个只考虑一个对数体积因子的最小模型已经非常令人满意，因为它准确地再现了二元copula的特性，特别是中间点对线性相关系数的依赖性，如Chicheportiche和Bouchaud（2012）所述。我们测试了该模型在样本外预测非线性投资组合风险的能力，发现它的性能明显优于其他方案。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
--

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PDF下载：
--> A_nested_factor_model_for_non-linear_dependences_in_stock_returns.pdf (2.52 MB)

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关键词：股票收益率 线性相关 股票收益 收益率 非线性

StockReturns中非线性依赖的嵌套因子模型Sr’EMY Chichepatiche和JEAN-PHILIPPE BOUCHAUDAbstract。我们工作的目的是提出一个自然的框架来解释股票收益率多元分布的所有经验已知性质。我们定义并研究了一个“嵌套因子模型”，其中线性因子部分是标准的，但线性因子和残差的对数波动率本身具有因子结构和残差。我们提出了一个校准程序来估计这些对数体积因子和残差。我们发现，虽然相关线性因素的数量相对较大（10个或更多），但在我们对数据的分析中，只有两个或三个对数体积因素出现。事实上，一个只考虑一个对数体积因子的最小模型已经非常令人满意，因为它准确地再现了二元连接函数的性质，特别是中间点对线性相关系数的依赖，如Chicheportiche和Bouchaud（2012）所述。我们测试了该模型预测样本外非线性投资组合风险的能力，发现其表现明显优于其他方案。1.介绍金融资产或资产类别之间的依赖关系是现代投资组合选择理论的核心。

无论投资者的（凹型）效用及其风险度量是什么，多元化都是可行的，但只有充分理解潜在的依赖结构，才能实现最佳多元化。例如，著名的马科维茨最优投资组合设计理论（马科维茨，1952年，1959年；Bouchaud和Potters，2003年）旨在确定池中每只股票的最优权重。它假设股票收益率是相关的随机变量xi，并且优化代理具有形式为U（w）=E[x·w]的“均值-方差”二次效用函数- uV[x·w]，参数u控制风险规避水平。因此，它依赖于股票收益的线性协方差矩阵ρ=E[xx+]，更重要的是依赖于其逆ρ-1.事实上，在没有进一步约束（预算、交易成本、操作风险约束、禁止卖空等）的情况下，最优权重由byw给出*ρ∝ ρ-1克≡ V∧-1V+g（1），其中g是篮子中资产的增益目标向量，ρ=V∧V+是协方差矩阵的谱分解，V是特征向量的平方矩阵，而∧是特征值的对角矩阵。ρ及其谱∧的经验估计通常非常嘈杂，如果想要避免在采样模式中人为地增加低风险的权重，则需要在反演之前应用清洁方案——正如上面w的表达式所表明的那样*ρ以∧-表示，这将成为样本模式之外的高风险实现。目前，所有这些都是相当标准的做法，并且考虑到信号建模（参数模型、因子模型、主成分分析）或噪声建模（基于RMT的Laloux et al.（1999、2000）；Ledoit和Wolf（2004年）；Potters等人（2005年）；El Karoui（2010）；Bartz等人（2012年），另见Tumminello等人。

(2007); Potters和Bouchaud（2009）。然而，现在已经确定，市场的运作超越了高斯线性机制。对于onething，众所周知，单个股票的回报率是非高斯的，超出均值和方差的矩已经引起了人们的极大兴趣（例如，过度峰度，或其低矩估计）。但更重要的是，股票收益率并不是高斯分布的：成对股票之间的依赖结构与高斯copula不相容，因此，效用函数中的惩罚应该比投资组合方差更微妙，并包括风险的非线性度量（如尾部事件、二次相关性等），以便更好地满足代理人的风险规避偏好。只有在多元高斯环境中，这些非线性依赖关系才能完全用线性相关性来表示。非线性相关性在结构化产品和衍生产品组合的定价和风险管理中也非常重要。例如，套期保值期权的收益有一个V形，带有线性渐近线和二次核心，见图1。因此，由多个此类对冲期权组成的投资组合具有先锋性，其特征是标的股票（伽马风险）的绝对相关性和二次相关性。2 R.CHICHEPROTICHE和J.-P.BOUCHAUD0 5 10 15 20-非对冲dk=10，x0=8，C=1xtσ t=0σ t=30 5 10 15 20-2 0 2 4 6直径=-1 2K=10，x0=8，C=1xtσ t=0σ t=3图1。期权的预期收益是标的股票当前价格的函数。左：无刃；右图：通过卖空|φ|=1/2股标的股票进行对冲。图中所示为一个买入期权，在初始价格为x=8的股票上，在波动率σ与Bachelier差异之后，行使权为xK=10，价格为C=1。

细线是到期时的支付（σt=0），厚曲线是到期前支付的预期值（σt=3）。在投资组合层面上估计风险所需的这些振幅的相关性甚至比线性相关性更具噪音，因此需要一个可靠的线性和非线性依赖关系模型。在之前的一篇文章（Chicheportiche和Bouchaud，2012）中，我们证明了股票每日收益的联合分布也不是“椭圆”分布，也就是说股票不会受到影响所有股票的单一波动性的影响。事实上，我们排除了所有具有单一随机波动率σ的模型，其形式为xi=σi、 （2）联合高斯（和相关）残差我们认为，这揭示了非线性依赖关系中的一个更紧密的结构，并为考虑多种波动模式的描述开辟了道路。然而，我们的结果也表明，任何以个体挥发物Xi=σi形式的描述i、 （3）如果σi之间存在任意依赖关系，也无法成功解释经验联合分布。我们特别关注二元连接函数的中间点C（，），这是两个变量同时低于其中值的概率。所有伪椭圆模型（由公式（3）定义）都导致了中间连接性与线性相关系数之间的简单关系，参见Chicheportiche和Bouchaud（2012）中的讨论：Cij（，）=+2πArcinρij不同的是，有效相关性ρ（B）ij≡ 余弦2πCij（，）（4） 对于这些模型，它等于ρij，而经验数据显示与该预测存在显著偏差，见图。2.

正如Chicheportiche和Bouchaud（2012）所讨论的，每个岩石对的ln |ρ/ρ（B）| vsρ散点图并不集中在椭圆预测周围（水平虚线在0处穿过y轴），而是平均曲线（黑线）与预测显著偏离。此外，随机对（Xi，Xj）的copula C（ui，uj）是变量分别低于其边际（ui，uj）-th分位数的联合概率：C（ui，uj）=P[Xi<P-1<，i（ui），xj<P-1<，j（uj）]，其中P<，ide表示xi的累积分布函数（CDF）。上标（B）代表“Blomqvist”，因为ρ（B）与Blomqvist的β系数有关，参见（Blomqvist，1950）。股票收益率非线性相关的嵌套因子模型为30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.5-1-0.50.0.5 1.0 1.5ρijlog |ρijcos（2πCij（0.5,0.5））|（a）2000–20040.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.5-1-0.50.0.5 1.0 1.5ρijlog |ρijcos（2πCij（0.5,0.5））|（b）2005-20090.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-1.5-1-0.50.0 0.5 1.0 1.5ρijlog |ρijcos（2πCij（0.5,0.5））|（c）2009-2012年图2。ln |ρ/ρ（B）|与每对股票的ρ之比，见等式（4）。该图量化了copula C（，）中点与式3定义的伪椭圆基准的距离，其中预测为0处的一条直线（虚线）。经验值显示为所有股票对（灰色云）以及二平均值（黑线）的散点图，在这里考虑的三个时期。平均行为的“主导波动模式”预测（见第4节）显示为红色，与数据非常吻合，并正确捕捉其时间演变。

请注意，当ρ增加时，ln |ρ/ρ（B）|趋于0，这表明高度相关的股票更“椭圆”，也就是说，确实暴露在相同的波动模式下。这些对的相关性越小，它们偏离椭圆双变量分布的距离就越远，这就需要更丰富的描述，而不仅仅是暴露在共模波动下的振幅。这一点，再加上对其他观察值（如copuladiagonals）的经验值和理论值的比较，激发了对具有多种波动模式的股票回报的描述，但不包括σi可被乘法分解为市场贡献ω、部门贡献bωs（其中股票i属于部门s）的模型，剩余贡献eωias：σi=σeω+bωs+eωi。相反，我们提出，由于因子峰度和剩余峰度的相互作用，加性非高斯因子应该能够产生异常的中间值，这是由Chicheportiche和Bouchaud（2012）中提出的C（，）的toymodel激发的。对多元依赖关系的理论描述的探索导致了关于连接函数的文献爆炸。除了上面讨论的椭圆连接函数外，还提出了几个连接函数族：阿基米德（Clayton、Franck和其他）、Vine、Liouville等。不幸的是，正如Chichepatiche和Bouchaud（2012）所强调的，这些连接函数通常是没有财务解释的理论片段，仅出于这个原因就应该被怀疑。（这些可选的copulaso无法重现股票回报的经验依赖性）。我们在Chicheportiche和Bouchaud（2012）中主张，需要基于直觉和合理性构建有意义的连接词。

因此，本文的目的是构建一个通用因子模型，该模型足够灵活，可以重现股票收益率经验联合分布的所有已知类型化事实，但仍然足够简单，可以根据数据进行简单校准。我们希望我们的股票回报多元模型能够：o用少量因素重现线性相关性的结构。o生成具有非高斯因子和残差的厚尾收益序列如Cizeau等人（2001年）所观察到的，考虑残余物的挥发性和因素的挥发性之间的相关性；Allez和Bouchaud（2011年）。o重现Chicheportiche和Bouchaud（2012）中确定的异常连接结构，尤其是上述对角线和反对角线以及中间点，见图2。还有人指出，高度相关的股票对“更椭圆”，在金融危机等高度动荡的时期，股票对都更相关、更椭圆，显示出强烈的共同波动模式通过减少参数数量，预测非线性（绝对值和二次）相关性的结构，以清除经验测量的依赖系数，并允许有效的样本外风险控制。4 R.CHICHEPROTICHE和J.-P.BOUCHAUDTable 1。

根据彭博社分类的经济部门，每个时期对应的个人数量。彭博社行业代码2000–04 2005–09 2009–12 2000–09通信#3 33 25 29 18消费者，周期性#4 60 49 33 40消费者，非周期性#5 67 75 53能源#7 19 21 34 15金融#8 57 55 75 37工业#11 51 50 42 50 50技术#13 38 43 35公用事业35227 28公司总数352345 352 359总天数（T）1258 2514我们将在下面展示，我们通过一个“嵌套”因子模型来实现这一点，即标准因子模型，其中因子的波动性本身具有乘法因子结构。我们建立了因子波动率的因子模型，需要一个（或者两个）“主导模式”（也影响残差的波动性）加上特殊贡献。也许令人惊讶的是，这种主导波动模式并不是线性因素模型中主导（市场）模式的波动。最近的几项研究得出的结论与我们的结论部分重叠。Kelly等人（2012年）记录了个人股票收益波动性的强协动。他们发现，因子残差模型（如Fama和French（1993）或主成分分析）表现出强烈的波动性依赖性，他们使用单因子（vol）模型捕捉到这种依赖性。据我们所知，这是股票文献中唯一一个在去除线性相关性后，将股票收益的波动性依赖性描述为二阶效应的尝试。然而，它只关注残差波动率，因此忽略了因素波动率相关性，正如我们在下文中所揭示的。正如在讨论图1时提到的，期权界也非常关注期权组合风险描述的波动依赖性，一些研究已经开始解决这个问题。

值得注意的是，Engle和Figlewski（2012）承认了单个股票期权隐含波动性的共同作用，并试图通过波动率指数的暴露来模拟其动态。最近，Christo Offersen等人（2013年）提出用期权数据校准一个单因素模型，使用其在期权定价方面的预测。他们用一个共同的随机市场因素和具有相关创新的随机特质波动来模拟股票价格动态。我们的研究范围是多元分析和自下而上的copula描述。我们的模型只关注横截面特性，目前还没有动力学内容，尽管这是一个自然的下一步，很容易做到（至少在概念上）。我们的嵌套因子比上面提到的更完整，因为它能够再现更多的程式化事实，特别是因子波动率和特质波动率的共同结构，以及二元经验连接函数的微妙性质。数据集。我们将构建并校准我们的模型，该模型基于在整个研究期间标普500指数中存在的公司的每日收盘至收盘对数回报率。我们将考虑大约5年的三个时期进行实证研究和模型校准：金融危机之前（2000年1月至2004年12月）；在金融危机期间（2005年1月至2009年12月）；金融危机之后（2009年8月至2012年12月）。在上一节中，样本内/样本外测试的滑动窗口程序使用了更长的数据集：在这里，我们考虑了2000年至2009年的十年期。根据公司的活动领域对公司进行分组，以查看是否出现了可解读的模式，这将很有用。为此，我们将使用彭博社的inTab汇总分类。1.概述。