强依赖下的块抽样

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英文标题：
《Block Sampling under Strong Dependence》
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作者：
Ting Zhang, Hwai-Chung Ho, Martin Wendler, Wei Biao Wu
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The paper considers the block sampling method for long-range dependent processes. Our theory generalizes earlier ones by Hall, Jing and Lahiri (1998) on functionals of Gaussian processes and Nordman and Lahiri (2005) on linear processes. In particular, we allow nonlinear transforms of linear processes. Under suitable conditions on physical dependence measures, we prove the validity of the block sampling method. The problem of estimating the self-similar index is also studied.
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中文摘要：
本文研究了长程相依过程的块抽样方法。我们的理论推广了Hall、Jing和Lahiri（1998）关于高斯过程泛函的早期理论，以及Nordman和Lahiri（2005）关于线性过程的早期理论。特别是，我们允许线性过程的非线性变换。在适当的物理依赖测度条件下，我们证明了块抽样方法的有效性。研究了自相似指数的估计问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
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关键词：Multivariate Econophysics Applications Quantitative Statistical

强依赖下的块抽样由Ting Zhang+、Hwai Chung Ho、Martin Wendler+和Wu Wei Biao Wu+芝加哥大学和中研院统计科学研究所，台北，2018年8月20日摘要本文考虑了长程依赖过程的块抽样方法。我们的理论推广了Hall、Jing和Lahiri（1998）关于高斯过程泛函的早期理论，以及Nordman和Lahiri（2005）关于线性过程的早期理论。特别是，我们允许线性过程的非线性变换。在适当的物理相关测度条件下，我们证明了块抽样方法的有效性。研究了自相似指数的估计问题。1导言长记忆（强相关或长程相关）过程在计量经济学、金融、地质学和电信等领域受到了广泛关注。让Xi，我∈ Z、 是f ormXi的平稳线性过程=∞Xj=0ajεi-j、 （1）式中εi，i∈ Z、 具有零均值、有限方差和（aj）的独立同分布（iid）随机变量∞j=0是平方和的实系数。如果人工智能→ 0非常慢，说ai~ 我-β、 1/2<β<1，则存在常数cβ>0，这样t的协方差γi=E（XXi）=E（ε）P∞j=0ajai+j~ cβE（ε）i1-2β是不可求和的，因此显示出强烈的依赖性。一个重要的例子是分形积分的JEL码：C22Keywords:渐近正态性；协方差；线性过程；长程依赖；分配；Hermite过程自回归移动平均（FARIMA）过程（Gr anger和Joyeux，1980年和Hosking，1981年）。

设K为E[K（Xi）]<∞, u=EK（Xi）。本文考虑^un=nnXi=1K（Xi）=Snn+u的渐近抽样分布，其中Sn=nXi=1[K（Xi）- u].在均值u的推断中，如置信区间的构建和假设检验，有必要为部分和过程Sn建立大样本理论。后者的问题有着悠久的历史。这里我们只做一个非常简短的描述。Davydov（1970）考虑了特殊情况K（x）=x，Taqqu（1975）和Dobrushinand Major（1979）处理了另一种特殊情况，其中K可以是非线性变换，而（Xi）是高斯过程。Chung（2002）考虑了二次型。其他贡献请参见Surgailis（1982）、Avram和Taqqu（1987）以及Dittmann和Granger（2002），更多参考请参见Wu（2006）。对于具有非线性变换的一般线性过程，在K上的某些正则条件下，如果xi是具有p的短记忆（或短程相关）过程∞j=0|aj|<∞, 然后Sn/√n满足高斯极限分布的中心极限定理；如果Xi是长记忆（或长程相关），则通过适当的归一化，SN可能具有非高斯或高斯极限分布，且归一化常数可能不再为零√n（何和兴，1997年和吴，2006年）。在许多情况下，非高斯极限分布可以表示为多重维纳-It^o积分（MWI）；见方程式（2）。非高斯WMI的分布函数不具有闭合的r m。这给相关的统计推断带来了相当大的不便。作为一种有用的替代方法，我们可以使用重新采样技术来估计Sn的采样分布。K¨unsch（1989）证明了移动块自举方法对弱相依平稳过程的有效性。

然而，Lahiri（1993）表明，对于高斯次长记忆过程，块自举样本均值总是渐近高斯的；因此，它无法恢复乘法器it^o积分的非高斯极限分布。另一方面，Hall、Horowitz和Jing（1995）提出了一种抽样窗口方法。Hall，Jing和Lahiri（1998）表明，对于高斯过程的非线性变换的特殊类别，后一种方法在连续块和的经验分布函数通过适当的归一化收敛于SN的极限分布的情况下是有效的。Nordman和Lahiri（2005）证明了同样的方法适用于线性过程，这是一种完全不同的特殊平稳过程。然而，对于线性过程，极限分布总是高斯分布的。对于一类更一般的长记忆过程，能否建立极限理论一直是一个悬而未决的问题。在这里，我们将通过允许线性过程的泛函给出上述问题的一个有效答案，这是一类更一般的平稳过程，包括高斯过程的线性过程和非线性变换作为特例。具体来说，假设实现Yi=K（Xi），1≤ 我≤ n、 由于K和xib都可能未知或不可观测，我们考虑对Sn/n的抽样分布进行一致估计。为此，我们将实施物理依赖性度量（Wu，20 05）的概念，该概念通过测量输出如何依赖于输入来量化随机过程的依赖性。论文的其余部分组织如下。第2节给出了主要结果，并讨论了正规化连续块和的经验分布函数的渐近一致性。

有趣的是，同样的采样indows方法适用于高斯和非高斯极限分布。第4节提供了一个模拟研究，一些证据被推迟到附录中。2主要结果在第2.1节中，我们简要回顾了Snin Ho和Hsing（1997）和Wu（2006）的渐近理论。Hall、Horowitz和Jing（1995）的分段抽样方法见第2.2节。对于物理依赖性度量，第2.3节给出了经验抽样分布的一致性结果。在第2.4节中，我们得到了sl=kSlk的前卫估计的收敛速度。第2.5节提出了H的一致估计，H是极限过程的自相似参数。对于两个正序列（an）和（bn），写一个~ bnif an/bn→ 1和1 b如果存在常数C>0，则a/C≤ bn≤ 对于所有的大n.设CA（resp.CpA）表示A上的连续函数（resp.具有p阶连续导数的函数）的集合 R.表示为“=>” 弱收敛；关于C[0,1]弱收敛理论的详细解释，请参见Billingsley（1968）。对于随机变量Z，我们写Z∈ 如果kZkν=（E|Z|ν）1/ν<∞, 然后写kZk=kZk。对于整数i≤ jde fine Fji=（εi，εi+1，…，εj）。写F∞i=（εi，εi+1，…）和Fj-∞= （…，εj）-1，εj）。定义投影运算符Pj，j∈ Z、 byPj·=E（·| Fj）-∞) - E（·Fj）-1.-∞).然后Pj·，j∈ Z、 收益率鞅差。2.1渐近分布为了研究强依赖下的渐近分布，我们将引入幂秩的概念（Ho and Hsing，1997）。基于K和Xn，设Xn，i=P∞j=n-iajεn-j=E（Xn | Fi）-∞) 是尾部流程和定义功能SK∞（x） =EK（x+Xn）和Kn（x）=EK（x+Xn- Xn，0）。注意Xn- Xn，0=Pn-1j=0ajεn-jis独立于Xn，0。用κr=K（r）表示∞（0），r阶导数（如果存在）。

如果p∈ N是这样的，对于所有的r=1，…，κp6=0和κr=0，P- 1，那么我们说K对xi的分布有幂Rank p。SNS的极限分布可以是高斯分布，也可以是非高斯分布。这里的非高斯极限分布表示为MWIs。为了定义后者，让simplexSt={（u，…，ur）∈ Rr:-∞ < u<…<ur<t}和{IB（u），u∈ R} 是标准的双面布朗运动。对于1/2<β<1/2+1/（2r），将厄米特过程定义为MWIZr，β（t）=ZStZtrYi=1gβ（v- 用户界面）dv dIB（u）。其中gβ（x）=x-如果x>0，则为β；如果x>0，则为gβ（x）=0≤ 0.如果r是非高斯的≥ 2.注意z1，β（t）是f r作用布朗运动，Hurst指数H=3/2- β.允许l（n） 是一个缓慢变化的函数，即limn→∞l（联合国）/l（n） =1表示所有u>0（宾厄姆、戈尔迪和特格尔，1987年）。假设a6=0，且形式为-βl（i） ，我≥ 1，其中1/2<β<1。（3） 在（3）项下，我们说（ai）随指数β有规律地变化。设ai=0，如果i<0，我们需要K和过程（Xi）的正则条件。条件1。对于函数f且λ>0，写出f（x；λ）=sup | u|≤λ| f（x+u）|。假设ε∈ L2ν与ν≥ 2千牛∈ Cp+1r对于所有大n，以及对于某些λ>0，p+1Xα=0kK（α）n-1（Xn，0；λ）kν+p-1Xα=0kεK（α）n-1（Xn，1）kν+kεk（p）n-1（Xn，1）kν=O（1）。（4） 我们注意到，在条件1中，函数K本身不必是连续的。例如，如果K（x）=1x≤0; 设a=1，Fε（分别为Fε）是εi的分布（分别为密度）函数，则K（x）=Fε(-x） 如果Fε是这样的话，这就是Cp+1r。如果supx | K（1+p）n-1（x）|<∞,然后是一个ll 0≤ α ≤ p、 存在一个常数C>0，使得| K（α）n-1（x）|≤ C（1+| x |）1+p-α、 （4）如果εi成立∈ L2ν（1+p）。定理1。（Wu，2006）假设K具有幂秩p≥ 1关于xindcondition，1保持为ν=2。

（i）ifp（2β）-1） <1，设σn，p=nHlp（n）κpkZp，β（1）k，其中H=1-p（β- 然后在空间C[0,1]中我们有弱收敛{Snt/σn，p，0≤ T≤ 1} => {Zp，β（t）/kZp，β（1）k，0≤ T≤ 1}.（ii）如果p（2β- 1） >1，那么D:=P∞j=0PYj∈ L.假设kDk>0。我们有{Snt/σn，0≤ T≤ 1} => {IB（t），0≤ T≤ 1} 式中σn=kDk√n、 （6）上述结果不能直接应用于平均u=EK（Xi）的统计推断，因为σn和σn通常是未知的。此外，二分法定理1在假设检验或构建u的置信区间方面造成了相当大的不便。本文的主要目的是建立一些重新抽样技术的有效性，以便估计SNP的分布。2.2块采样一开始我们假设u=EK（Xi）=0。Hall、Horowitz和Jing（1995）提出的分段抽样法可描述如下。设l为满足l=ln的块大小→ ∞ 还有信用证→ 0.为了表达的简单性，我们假设除了Y，Yn，过去的观察结果是令人震惊的-L也有。definesl=kSlk，经验分布函数fn（x）=nnXi=1Yi+Yi-1+···+Yi-l+1≤xsl。（7） 如果已知SLI，我们说块采样方法是有效的ifsupx∈R | Fn（x）- P（序列号/序列号）≤ x） |→ 概率为0。（8） 在长记忆情况下，上述收敛关系具有更深层次的意义，因为根据定理1，Sn/Sn可以具有高斯或非高斯极限分布。相比之下，对于短内存进程，Sn/Sn通常具有高斯极限。理想情况下，我们希望（8）适用于定理1中的两种情况。那么我们就不必担心限制分配使用的二分法了。作为本文的主要目标，我们证明了事实的确如此。实际上，u=EK（Xi）和Sla都未知。

我们可以简单地通过\'Yn=Pni=1Yi/n来估计前者，通过\'sl=Qn，ln来估计后者，其中\'Qn，l=nXi=1 | Yi+Yi-1+···+Yi-l+1- l|Yn|。（9） （7）中Fn（x）的实现版本现在的形式是)Fn（x）=nnXi=1Yi+Yi-1+···+Yi-l+1-林≤xsl，相应地（8）变成∈R|Fn（x）- P（Sn/~Sn）≤ x） |→ 概率为0。（10） 在后面的第2.5节中，我们将提出一个一致的snof sn估计。在第2.3节中，我们将在定理1中说明（8）对这两种情况都适用。这意味着（10）如果估计值满足sl/sl→ 1和sn/sn→ 概率为1，概率为1- u）=oP（sl）。利用（10），我们可以构造双面（1）- α） -th（0<α<1）和上部单侧（1- α） uas[\'Yn]的置信区间- ~q1-α/2sn/n，(R)Yn- ~qα/2~sn/n]和[\'Yn]- ~q1-α~sn/n，∞)其中，qα是Fn（·）的第α个样本分位数。2.3经验样本分布的一致性let（ε′j）j∈Zbe（εj）j的iid副本∈Z、 因此ε′i，εl，i，l∈ Z、 是iid；莱克斯*i=Xi+Xj=-∞人工智能-j（ε′j）- εj）。（11） 如果j<0，回忆aj=0。我们可以看X*xia与εj，j的耦合过程≤ 0，在后一种情况下，替换为其iid副本ε′j，j≤ 0.注意，如果我≤ 0，两个随机变量X和X*i=P∞j=0ajε′i-jare彼此独立。在Wu（20 05）之后，我们定义了物理依赖性度量τi，ν=kK（Xi）- K（X）*i） kν，（12）它量化了过程Yi=k（Xi）如何忘记过去的εj，j≤ 0.定理2。假设u=EYi=0，p≥ 1，l nR对于某些0<r<1的情况，条件1保持不变，且ν=2。（i）如果p（2β- 1） <1，然后是supx∈R | Fn（x）- P（Zp，β（1）≤ x） |→ 概率为0。（13） （ii）让Z~ N（0，1）是标准高斯分布。

如果p（2β- 1） >1，我们有vesupx∈R | Fn（x）- P（Z）≤ x） |→ 概率为0。因此，在（i）或（ii）项下，我们有（8）。作为一个有用且有趣的事实，我们从定理2中强调，Fn（·）一致地估计了Sn/Sn的分布，而不管后者的极限分布是G高斯分布还是无t。换句话说，Fn（·）自动适应Sn/Sn的极限分布。Bertail、Politis和Ro ma no（1999）对强混合过程得出了类似的结果，其中极限分布可能是非高斯的；另见Politis、Romano和Wolf（1999年）。证据（定理2）对于（i），请注意，对于经验分布函数的一致收敛性，GlivenkoCantelli a r gument（参见Chow and Teicher，1997）给出的Zp，β（1）具有连续分布，（13）如果我们可以证明，对于任何固定的x，E | Fn（x）- P（Zp，β（1）≤ x） |=var（Fn（x））+|EFn（x）- P（Zp，β（1）≤ 十）|→ 0.让Bi，l=Yi+Yi-1+ . . . + 易-l+1。自Bi起，l/sl=> Zp，β（1）as n→ ∞, 上面右边的第二项变为0。现在，我们证明了第一项VaR（Fn（x））≤nn-1Xi=0 | cov（1B0，l/sl≤x、 1Bi，l/sl≤x） |→ 这里我们使用（Bi，l）i∈这是一个稳定的过程。为了说明（14），我们将应用耦合工具。为X调用（11）*i、 让B*i、 l=Pij=i-l+1Y*j、 Y在哪里*j=K（X）*j） 。从那时起*i、 土地F-∞是独立的，E（1B*i、 l/sl≤x | F-∞) = P（B）*i、 l/sl≤ x） 。因此| cov（1B0，l/sl≤x、 1Bi，l/sl≤x） |=| E[1B0，l/sl≤x（1Bi，l/sl）≤十、- 1B*i、 l/sl≤x） ]|≤ E | 1Bi，l/sl≤十、- 1B*i、 l/sl≤x |。（15） 对于任意固定λ>0，通过三角形和马尔可夫不等式，E | 1Bi，l/sl≤十、- 1B*i、 l/sl≤x|≤ E（1 | Bi，l/sl）-x|≤λ） +E（1 | Bi，l/sl）-B*i、 l/sl|≥λ)≤ P（| Bi，l/sl）- x|≤ λ） +kBi，l- B*i、 lkλsl。

（16） 自E（Bi，l | F）∞) = E（B）*i、 l | F∞) 对于i>2l，由引理4（ii）和B*i、 l-E（B）*i、 l | F∞) 还有Bi，我- E（Bi，l | F）∞) 分布相同，我们有KBI，l- B*i、 lk≤ kBi，l- E（Bi，l | F）∞)k+kE（Bi，l | F）∞) - B*i、 lk=2kBi，l- E（Bi，l | F）∞)k=2kSl- E（Sl | F）∞l+1-i） k=slO[l-~n+（l/i）~n]。（17） 在不损失g通性的情况下，假设φ<1。否则，我们可以将其替换为φ′=min（φ，1/2）。通过引理4（i）和引理1，我们得到了kB0，lk=O（sl）。还记得我吗 nr，0<r<1，我们已经-1Xi=0kBi，l- B*i、 lksl=O（1）n2lXi=0O（1）+O（1）nn-1Xi=2l+1O[l-ν+（l/i）ν]=O（l/n）+O（l）-~n）+O[（l/n）~n]=O（n）-φ） 式中φ=min（1-r、 νr，（1）-r） ）。因为P（| Bi，l/sl-x|≤ λ) → P（|Zp，β（1）-x|≤ λ） ，然后从（15）和（16）开始→ ∞, 然后λ→ 0.对于（ii），通过（i）中的论证，可以证明：→∞nnXi=1kBi，l- E（Bi，l | F）∞)K√l=0。（19） 更具体地说，如果（19）是有效的，那么通过kBi，l-B*i、 lk≤ 2kBi，l-E（Bi，l | F）∞)k、 我们有18个，因此有14个。设N>3l，GN=BN，l-E（BN，l | F）∞). 观察（PkGN）Nk=-∞是一系列的马丁格尔差异，GN=PNk=-∞PkGN，我们有KGNK=NXk=-∞kPkGNk。（20） 通过（48）和引理2，我们知道预测依赖度量ηi=kPYik是可加的。回想一下τn，ν的（12）。让τ*n=maxm≥nτm，2。然后τ*nis非递增和limn→∞τ*n=0。自kPkE（Yj | F∞)K≤ kPkYjk=ηj-坎德基- E（Yj | F）∞)K≤ τj，2，我们有kpkgnk≤NXj=N-l+1kPk[Yj- E（Yj | F）∞)]K≤NXj=N-l+1min（2ηj-k、 τ*N-l+1）≤ η*, （21）式中η*= 2P∞i=0ηi。然后，通过（20）和勒贝格主导收敛定理，我们得到了limn→∞克林克≤ 画→∞NXk=-∞η*lkPkGNk≤ 画→∞NXk=-∞η*lNXj=N-l+1min（2ηj-k、 τ*N-l+1）≤ 画→∞η*∞Xi=0min（2ηi，τ）*N-l+1）=0，（22）因为τ*N-l+1≤ τ*L→ 0 a s l→ ∞ η是可求和的。Hencepn=3lkGNk=o（nl）。注意，l=o（n），（19）后面是不等式（Pni=1 | zi |/n）≤Pni=1zi/n。