参数风险平价

特别是本文中考虑的风险措施的RCIT如下所示对于波动率：T RCi=（β∑）i√β′∑β（11），其中∑是因子的方差-协方差矩阵风险值（参见Gourioux等人，2000年，完整治疗）：T RCi=-E[Fi | r=V aRα（r）]βi（12），其中V aRα（r）是在α水平上评估的投资组合的风险价值对于预期短缺（更多详细信息，请参见Tasche，2002）：T RCi=-E[Fi | r≤ -V aRα（r）]βi（13）使用历史方法可以很容易地计算给定因素的总风险贡献。实际上，我们只需要在第一列中包含向量rw的矩阵，而在其他列中，我们将因子返回。考虑风险价值作为分配的标准。我们获取完整的数据矩阵，并对投资组合收益列后面的所有数据进行排序。O注意，一旦对矩阵进行了排序，我们就拥有了风险分解所需的所有信息。然后在排序因子列上计算因子的边际贡献。然而，正如Boudt等人（2007年）所观察到的，使用历史风险值和历史预期短缺获得的估计结果，与基于正确指定的参数分布类别的估计结果相比，样本外观测值有很大的差异。在非高斯参数框架中，Zangari（1996）提出的修正VaR和Bou dt等人（2007）提出的修正ES似乎是一种很有吸引力的方法，因为这两种方法都保持了同质性，并且一旦因子的多变量矩可用，就可以很容易地计算出它们。使用（1），我们将每个资产回报率建模为要素回报的加权平均数。因子的平均向量为u，而∑是其维数为N×N的方差-协方差矩阵。

C o-维度N×Nis的偏度因子m矩阵：m=E[（F）- u）（F）- u)′ （F）- 当它们的共峰度矩阵的维数为N×N:M=E[（F- u）（F）- u)′ （F）- u)′ （F）- u）′（15）其中 表示克罗内克积。向量r的二阶、三阶和四阶中心矩分别为：m=β′∑βm=β′m（β β） m=β′m（β β  β） （16）偏度（skew）和峰度（kurt）是根据中心力矩定义的：skew=mm（17）和kurt=mm- 3（18）为了计算∑，进而计算中心矩，我们需要通过copula函数得到因子r的多元分布或它们的依赖结构。在这里，我们从不同的角度面对这个问题，也就是说，我们寻找产生观察到的回报的潜在独立因素。在实践中，应用于因子的ICA分析（见Hyvarinen，1999）简化了∑，Mand Msince:F=AS（19）的计算，其中在S=[S….SN]\'中，我们有原始来源，A是要估计的混合矩阵。每个信号都使用MixedTS建模，即：Si~ ui+uiVi+√ViXi（20）如Ap pendix B所示，由于因子独立性，力矩矩阵元素的计算非常简单和快速：∑ik=PNj=1aijakjσ（sj）Mikl=PNj=1aijakjaljskew（sj）Miklm=PNj=1aijakjaljamjkurt（sj）（21）计算矩和共矩，使用Zangari（1996）中推导的公式获得修正的VaR:mV aRα（r）=-β′u -√mΦ-1(α) +√mC（zα，skew，kurt）（22），其中数量：C（zα，skew，kurt）=-（zα）- 1） 歪斜-（zα）- 3zα）kurt+（2zα）- 5zα）歪斜（23）通过考虑回归向量r的偏度（偏斜）和峰度（库尔特）以及zα=Φ来修正高斯VaR-1(α). Φ（）表示标准正态分布，而其逆态用于分位数测定。修改了Boudt等人定义的预期短缺。

（2007）是α以下收益预期值的线性变换-Cornish Fisher分位数，其中考虑了真实分布的二阶边扩展：mESα（r）=-β′u -√梅格[z | z≤ gα]（24），其中gα=g-1(α). 扩展公式为：EG[z | z≤ gα]=-αφ（gα）+我- 6I+3φ（gα）库尔特+我- 3I歪斜（25）+我- 15I+45I- 15φ（gα）歪曲（26）whereIq=Qq/2j=1（Qq/2j=12jQij=12j）g2iαφ（gα）+（Qq/2j=12j）φ（gα）f或q*j=0（Qq*j=0（2j+1）Qij=0（2j+1））g2i+1αφ（gα）- （Qq）*对于q奇数（27）和q，j=0（2j+1））φ（gα）*=Q-1、中心力矩的偏导数公式为：Mβi=2（β∑）iMβi=3[M（β β） ]我Mβi=4[M（β β  β） [i（28）使用混合回火稳定模型对酸性ce信号进行建模。偏导数使我们能够使用以下公式获得可变价值形成因素的总风险贡献：mV-aRα（r）βi=-ui-Mβi√mΦ-1(α)+Mβi√M-（zα）-1） 歪斜-（zα）- 3zα）kurt+（2zα）- 5zα）歪斜+√M-（zα）- 1)歪曲βi-（zα）-3zα）库尔特βi+（2zα）-5zα）歪斜歪曲βi同样，通过Boudt等人（2007年）给出的类似公式，可以获得修正预期短缺的总风险贡献。（24）的导数要求进行正向计算，但可以直接使用任何编程语言中的标准代数来实现。在图1中，我们详细描述了本节中描述的整个过程。此处插入图1.5实证分析在本节中，我们将逐步展示如何使用Mixedts对市场中的源信号进行建模，从而获得风险平价投资组合。

该数据集由先锋基金指数（Vanguard Fund Index，VFIAX）的每日对数收益组成，该指数复制了标准普尔500指数和十大行业指数的表现，这十大行业指数包括公用事业、电信、材料、信息技术、工业、健康、金融、能源、主要消费品和被视为风险因素的非必需消费品。数据集指2010年6月24日至2013年7月10日期间。在表1中，我们给出了本节中使用的时间序列的主要统计数据。观察它们的结果是负偏态，尾巴比正态分布预测的要重。金融部门的更高波动性反映了这场危机在这个时间框架内是其最终阶段。在此插入表1。作为第一步，我们想展示当混合分布直接用于对观察到的时间序列建模时，我们得到的单变量风险度量。我们将混合TSR分布与VFIAX基金的回报进行比较，并使用公式（22）和（24）将整个期间的历史VaR和ESR与各自的参数版本进行比较。分析的置信水平α范围为（0.01；0.1）。α<0.08的历史VaR结果低于使用图2中观察到的混合EDT计算的VaR。这种差异只有在α<0.05时才明显。与ES有关的结果更加突出了选择参数或非参数方法测量风险的重要性。事实上，我们已经知道，ES的历史方法比基于混合EDTS的ES具有更高的价值。α的差异更大∈ (0.04 : 0.08). 注意ES是一个条件平均值，受极值的影响很大。我们考虑了与经验数据的比较（见Cont等人。

（2010）自定义为0<α<α<1以来，作为trimmedmean的ES为：ESEmpiα（Y）=（α- α） ZααV aRu（FY）du（29）鲁棒ES对极值敏感，我们得到的经验量与基于混合ES的经验量相似。插入图2。在下一步中，我们将VFIAX基金的回报视为行业回报的线性组合。如前一节所述，我们对m矩阵执行ICA分析，m矩阵的行是扇区索引返回。该算法的输出是表2中的混合矩阵和基础信号的时间序列。根据该算法的思想，每个市场收益率时间序列都是主导市场的独立因素的线性变换。在此插入表2。我们将其混合到独立因素时间序列中。与第一个窗口相关的已设置参数如表3所示。特别值得注意的是参数α，因为对于α=2，我们得到了方差γ分布。我们注意到，只有第四和第五个分量可以用方差Gamma建模。每个分量的前四个矩在ce上计算，我们有参数。如前所述，ICA算法中的独立性假设产生了投资组合因素矩阵的分析高阶矩，即我们计算矩阵的矩，矩阵的行是每个部门的收益。在此插入表3。在这里插入图3。为了对我们的程序有一个直觉，我们进行了滚动分析，并将VFIAX基金的样本外表现与三种基于风险的投资组合进行了比较。我们将2011年6月24日至2013年7月10日期间的250个收盘价视为样本数据，以下50个收盘价视为样本外数据。

在表4中，我们报告了标准普尔500指数、VFIAX基金指数和风险平价参数投资组合三种风险度量的r eturn平均值：波动率、VaR和es。在滚动窗口分析中。首先，我们给出每个样本外窗口的结果，以及所有样本外结果的平均值和标准偏差。根据我们的分析，并考虑源信号建模的混合分布，观察风险度量的选择对每个扇区的权重没有太大影响。在此插入表4。在图4中，我们绘制了两个投资组合的样本外表现：VFIAX基金和风险平价投资组合，其中考虑的风险度量为预期缺口。从这个图中，我们可以立即观察到风险平价投资组合具有更好的样本外表现。这个结果对于另外两个基于风险平价的投资组合是有效的，但我们决定只显示一个比较，因为我们认为三个类似的图是多余的。在这里插入图4。然后，我们决定评估风险平价投资组合具有良好多样性的说法，并考虑基尼指数来衡量多元化。事实上，当所有权重都被赋予一种资产，即完全集中的投资组合时，等权投资组合的基尼指数等于0和1。在表5中，我们根据基尼指数G:G=N的一致性估计给出了我们投资组合的集中度度量- 1N+1- 2PNi=1（N+1- i） yiPNi=1yi！！（30）如果观察顺序为ed，即yi≤ 易+1。在此插入表5。特别是，我们报告了滚动分析每个窗口的相应指数。我们发现，基于波动率和ES（其修改版本）两个风险度量的风险平价投资组合几乎在所有窗口中都不太集中。

VFIAX基金权重遵循各部门的市值，尽管根据这些权重计算的Gin i指数遵循市场。基于VaR的风险平价投资组合（修改版）似乎比其他优化投资组合更加集中。为了做出投资决策，我们必须同时考虑业绩和预期的集中度。然而，根据我们的研究结果，我们发现风险平价投资组合的集中度较低，并且在样本外表现出比被动策略更好的表现，例如，被动策略可以作为复制标准普尔500指数回报的VFIAX投资于一只基金。6结论在本文中，我们给出了参数风险分解框架中所需的步骤。将IC应用于因子分析，并用混合分布对每个源信号进行建模，这一想法使我们有可能获得捕捉尾部行为的力矩和灵活性的分析公式。这种方法可以应用于考虑同质风险度量的任何设置。在本文中，我们考虑了波动性，VaR和ES是实践和学术界最常用的三种方法。我们的结果表明，考虑哪种风险度量的决定与投资组合的构成没有太大关系，但我们观察到，风险平价策略产生了多样化的投资组合，具有良好的样本外表现。附录A动量的推导我们推导混合随机变量的平均值、方差、三阶和四阶中心矩。如果连续随机变量Y可以写成：Y=u+uV，则它是一个混合回火稳定变量+√其中，给定的V是标准化回火稳定的，参数为stdCT Sα, λ+√V，λ-√五、.我们回忆起具有参数（α，λ+，λ）的标准化回火稳定的n阶累积量的公式-):cn（X）=Γ（n）- α)λα-n++(-1） nλα-N-C、 n=2。