使用OCMat从0D到1D空间模型

（i）中切片流形解的目标值表明，在所有以Pd（0）=^PdPCSS开始的解中，收敛到寡营养平衡的路径是等时的。-10-5051000.510.60.811.2xiuPd0，u（a）初始分布的流形-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（b）Skiba解决方案的状态路径-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（c）Skiba解决方案的状态路径0。5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-79-78-77-76-75-74-73 | | Pd | | 2JPdI（d）目标值的交叉-10-505100510000.10.150.20.25xitud（e）Skiba溶液的控制路径-10-505100501000.10.150.20.25xitud（f）Skiba溶液的控制路径图7：该图显示检测到有图案的Skiba分布及其在Skiba流形上的不同Skiba分布的延续。要接收与面板（a）、（b）和（e）相关的动画文件，请联系作者。4.4第二种情景在b=0.65的第一种情景中，我们只发现富营养化和寡营养化的平衡为FOSS。这在某种程度上类似于0D模型，其中CSS不会出现在最佳系统中（见图3）。在第二种情况下，0D模型的结果显示，除了富营养化和贫营养化CSS之外，还有不稳定节点（CSS）-) 显示为两个CSS的景点区域限制。因此，我们可以预期FCSS-在模型（20）中是最优的。因此，PCSS也是如此-不能排除为最佳。因此，我们分析了两种不同的情况，c=3.5，其中PCS均不满足SPP，c=3.0825，其中一种PCS满足SPP。对于原始浅水湖模型（16），这两种情况在质量上是相同的（参见图4）。4.4.1模式平衡不满足SPP。对于c=3.5，我们试图找到从FCS状态开始的解决方案-（^PdFCSS）-) 还有一个-并向富营养化（寡营养）FCS汇合。图8描述了该分析的主要结果。

第一列（a、d和g）中描述的示例与图4所示的0D模型中的情况类似。因此，不可能从FCS的初始状态开始找到解决方案-并汇入富营养化或营养化的FCSS。相反，在延续过程中，^PdFCSS的初始状态-已接近，但无法联系到。在图8a中，绘制了最终结果的相位图，类似于0D中的状态共状态空间（参见图4a）。在图8c中，我们看到均匀初始分布的目标值是连续的（参见图4b）。因此，对于空间均匀的初始分布，最优路径是唯一的，其中^PdFCSS-分离富营养（寡营养）平衡^Pd、eFCSS（^Pd、oFCSS）的吸引区域。精确从^PdFCSS开始的解的最优状态路径-（平衡溶液，黑色）和附近（蓝色和绿色）如图8d所示。对每个PCS重复这些步骤，图8最后两列中描述了两个示例，得出每个平衡都是最优的，即为POSS。因为没有一个PCS满足SPP，所以这些平衡和它们的稳定流形将FOSS的吸引区域分开。目前仍有几个问题没有解决平衡点的缺陷是否不满足状态离散化的SPP常数这对最初的PDE问题意味着什么我们能说不满足SPP的平衡点及其稳定流形将满足SPP的解的吸引区分开吗PDE问题的状态空间是什么？4.4.2图案平衡在本节中，我们通过数值检查，c=3.0825的唯一图案平衡PCSS是否为POSS（参见图5b）。

由于这个原因，我们必须证明，不存在从^pdpcss开始的正则系统方程（21）的其他解路径，从而产生更大的目标值。唯一的其他候选者是富营养和贫营养FCS的稳定路径。图9d和图9e描绘了寡晶平衡与图案化平衡的数值比较结果。找到满足Pd（0，1）=^PdpcsAndLimt的可行路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））→∞（Pd（t，κ），λd（t，κ））=（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和κ∈ [0，1]我们从常数平衡解（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）开始求解同伦问题等式（25）。延续过程表明，不可能找到κ=1的可行路径，而是接近某个值κ<1。最后计算的路径（Pd（·，κ），λd（·，κ））与相应的切片流形（黑色虚线）一起显示在图9a中。接下来，我们重复了反向同伦问题的程序，从恒定模式解（^PdPCSS，^λdPCSS）开始，并试图找到一条可行路径（Pd（·1）- κ） ，λd（·，1- κ） ）这就满足了Pd（0，0）=^Pd的要求→∞（Pd（t，1）- κ） ，λd（t，1- κ） ）=（^PdPCSS，^λdPCSS）带κ∈ [0, 1].继续过程再次表明，不可能找到κ=0的可行路径，而是大约1的某个值- κ被接近。该溶液（Pd（·，1- κ） ，λd（·，1- κ） ）在图9b中由蓝色溶液路径和黑色切片流形表示。两个延拓过程的最后两个解路径表明，寡营养FCSS和PCSS的吸引区域存在一个分离流形。该分离歧管的一个可能候选歧管是PCSS的稳定歧管-有缺陷-1（参见 在图9c）中。为了验证这个猜想，我们解决了同伦问题（29）的缺陷平衡。

对于x（1），我们取Pd（0，κ）（第一个同伦问题的最后一个连续步骤的初始状态）并设置V:=（1，…，1）∈ RN+1，满足秩条件等式（29d）。这个同伦问题的最后一个解（Pd（·，1），λd（·，1））在图9d中被描绘为蓝色虚线曲线，并为我们的猜想提供了大量的数值论证。整体图（图9d）表明，对于每一个ε>0，存在κ和κ，因此存在解（Pd（·κ），λd（·κ））和（Pd（·1）- κ） ，λd（·，1- κ） 关于k（Pd（0，κ），λd（0，κ））的同伦问题- （Pd（0,1），λd（0,1））k<ε和k（Pd（0,1- κ） ，λd（0,1）- κ)) - （Pd（0,1），λd（0,1））k<ε，甚至更强（Pd（·κ），λd（·κ））- （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε和k（Pd（·，1- κ） ，λd（·，1- κ)) - （Pd（·，1），λd（·，1））kL<ε。绘制沿相应切片流形的解评估的目标值，表明目标函数在Pd（0，1）附近是连续的，见图9e。类似的结果可用于比较向富营养化FCSS和PCSS收敛的稳定路径。这很好地证明了FCSSA和PCSSA的最优性。同样，根据c=3.5的情况，有缺陷平衡的稳定机制分离出满足SPP的平衡的吸引区域。图9f显示了c=3.0825的状态共状态空间中的相图（部分）。平衡点的下标表示相应平衡点的缺陷。因此，存在两个FCS（^Pd、EFCS和^Pd、OFCS）和一个PCS（^PdPCSS）。此外，还绘制了一些路径，这些路径汇聚到^Pd、eFCSS、^Pd、oFCSS和^PdPCSS（纯蓝）以及PCSS-有缺陷-1（蓝色虚线）。图9d和图9分别说明了收敛到寡营养平衡（^Pd、OFCs、^Pd、OFCs）和模式平衡（^PdpCs、^λDPCs）的溶液的具体情况。

9e。5结论本文的目的是展示一个数值框架，使我们能够对一维空间分布的最优控制问题进行数值实验。数值实验在哈维塞德的意义上是有意义的，他声称数学是一门实验科学，参见哈维塞德[1893]。0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 112141618202224 | Pd | 2 |λd | 2 F SS0F SS-（a） 延续到Pd（0）≈^PdFCSS-0.40.50.6 0.7 0.8 0.9 112141618202224 | | Pd | | | | 2 | | |λd | 2 F SS0HS S-（b） 延续到Pd（0）≈^PdPCSS-0.40.50.6 0.7 0.8 0.9 11213141516171819202122 | | | Pd | | 2 | |λd | | 2 F SS0HS S-（c） 延续到Pd（0）≈^PdPCSS--10-5051005001000.50.60.70.80.9xitPd（·）（d）从^PdFCSS附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（e）从^pdpcs附近开始的状态路径--10-505101002003004005000.50.60.70.80.9xitPd（·）（f）从^pdpcs附近开始的状态路径-0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（g） 沿切片的目标值为0。4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（h） 沿切片的目标值为0。4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-22-20-18-16-14-12-10 | | Pd | | 2J FOSS0HOSS-（i） 图8：该图描述了FCSS最优性的数值证明-和PCSS-在c=3.5时，即不满足SPP的平衡点的最优性，以三个平衡点为例。在第一行（a）-（c）中，相应连续过程的切片流形在赋范状态共状态空间中描述。第二行（d）-（f）显示了从FCS开始并靠近FCS的解决方案的状态路径-和PCSS-, 分别地最后一行（g）-（i）说明了目标函数在FCSS的常数平衡解附近是连续的-和PCSS-.

因此，不满足SPP的平衡也是最优的。0.5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.515115.51616.51717.518 | | | | | | | | | | | | 2 FCSS0（Pd1（·，κ0），λd1（·，κ0））S（F（0），H（0），κ）（a）同伦FCSS0到PCSS0。5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51515.51616.51717.518 | | | Pd | | 2 | |λd | | 2 HCSS0（Pd2（·，1- κ0），λd2（·，1）- κ0）S（F（0），H（0），1- κ） （b）同伦PCSSto FCSS0。5 0.6 0.7 0.8 0.91313.51414.51515.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | | |λd | | 2 HCSS-（Pd3（0，1），λd3（0，1））（Pd3（·1），λd3（·1））（c）同伦PCSS-到P（0，κ）0.50.60.70.80.91313.51414.51515.51616.51717.518 | | Pd | | 2 | |λd | | 2（d）切片流形和求解路径13 14 15 17 18-19-18-17-16-15-14-13-12-11 | |（Pd，λd）| | 2J（e）目标值0。4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.213114151617181920F（0）F(-4） F（0）H(-3） H(-2） H(-1） H（0）H(-1） H(-2） | | Pd | | 2 | |λd | | 2（f）相图图9:In（f）描述了状态共状态空间中的一些溶液路径和平衡。（d）和（e）中所示的解决方案是连续过程的结果，当我们试图从POS状态开始找到解决方案，并收敛到寡营养自由/开放源码软件，反之亦然。延续过程接近PCS稳定流形（蓝色虚线）上的状态-有缺陷-1.因此，对于初始状态与有缺陷的稳定流形的状态一致的情况-1沿着稳定流形收敛到有缺陷的POSS是最优的-1.在这些初始状态附近，收敛到寡养自由／开源或满足SPP的POSS是最优的。要接收与面板（d）相关的动画文件，请联系作者。因此，我们能够找到分布式模型中出现（差异）阈值分布的数字证据。

此外，这指向了鞍点性质的一种可能的推广，在多个正则稳态（CSS）的情况下，鞍点性质与多个最优解的存在密切相关。尽管这种简单的有限差分法也可以应用于空间二维模型，但这种方法会立即在数值上变得难以处理。因此，它是有限元离散化方法的中间步骤，在Grassand Uecker[2015]中介绍，并在Uecker[2015]中扩展。对于所提出的方法的进一步研究结果，有不同的方向。显而易见的下一步是前面提到的有限元离散化应用。这是作为MATLAB软件包pde2path的附加工具箱（p2pOC）实现的，pde2path是二维椭圆系统中用于延拓和分岔的数值工具，参见Uecker等人[2014]。实际方法的一个主要缺点是难以处理（不平等）约束。为了正确使用所用BVP阀，动力学的rhs必须至少连续可区分。当约束处于活动状态时，将违反此属性。我们通过考虑解路径的不同弧来解决这个问题，其中每个弧都满足可微性条件。对于非分布式模型，这通常是一种可行的方法，但对于分布式模型，这很难实现。因为从一个电弧到另一个电弧的每次转换都必须说明相应的切换条件。

对于高维离散化系统，这种安萨兹很快变得难以处理。因此，我们将致力于开发基于有限元离散和共轭梯度法并结合延拓步骤的解算器。在本节中，我们阐述了计算收敛到正则系统平衡点的路径的基本方法。A.1核心问题必须解决的核心问题如下。给定一个平衡点（^x，^λ）和一个初始分布x，我们想要找到一条满足等式（3）的路径（x（·），λ（·）），以及边界条件x（0）=x和limt→∞（x（t），λ（t））=（^x，^λ）。（22）相应本征空间的维数0<dimes（^x，^λ）=ns≤ n、 然后，等式（22）中的边界条件可以用所谓的渐近边界条件来近似[cf.Lentini，1978，Lentini和Keller，1980]Ohm>^x^λ-x（T）λ（T）= 0∈ R2n-纳什，Ohm ∈ R2n×（2n）-（ns）和Ohm⊥ e（^x，^λ）（23），T>0足够大。对于紧凑的符号，我们介绍X：=xλ式（21）表示为˙X（t）=F（X（t））。它可以从以下网站免费下载：http://www.staff.uni-oldenburg.de/hannes.uecker/pde2path.Then之前的BVP写为˙X（t）=tf（X（t）），t∈ [0,1]（24a）X（i，…，ins）（0）=X（i，…，ins）（24b）Ohm>（^X）- X（1））=0。（24c）如果^X满足SPP，则ns=n，等式（24b）简化为X（1，…，n）（0）=X。为了保持符号简化，我们假设X的坐标已排序，使得（i，…，ins）=（1，…，ns）=：（ns）。然后。当x（ns）（0）=x（ns）（24b\'）一般情况下，BVP（24）无法解析求解时，可以重写（24b），因此必须应用数值方法。这些数值计算方法需要一些初始函数X（·）。

这样一个初始函数不需要满足BVP（24），但根据问题的性质，它必须或多或少地具有良好的近似性。如果没有这样一个初始函数，我们该怎么办？A.2嵌入同伦问题假设等式（24）的解Y（·）为Y（n）（0）=x（n）6=x（n），我们可以将等式（24）嵌入相应的同伦问题˙x（t）=tf（x（t），u），t∈ [0,1]（25a）X（n）（0）=X（n）+（1）- κ） （x（n）- x（n））（25b）Ohm>（^X）- X（1））=0。（25c）然后Y（·）解出等式（25），对于κ=0和κ=1，得到BVP（24）的解。OCMat使用弧长延拓法求解同伦Bvp（25）[Kuznetsov，1998，Allgower和Georg，2003]。因此，在每个同伦步骤i>0时，前面的解（X（i-1） （·），κi-1） BVP（25）与附加方程z（X（i）（t）一起求解（X（i）（·），κi）- X（i）-1） （t）V（i）-1） （t）dt+（κi- κi-1） V（i）-1） ，κ=0（25d），其中-1） （·），V（i）-1） ，κ）满足线性化的BVP˙V（i-1） （t）=t FX（X（i）-1） （t），u）V（i）-1） （t），t∈ [0,1]（25e）V（n）（i）-1） （0）=V（i）-1） ，κ（x（n）- x（n））（25f）Ohm>V（1）=0。（25g）溶液（V（i）-1） （·），V（i）-1） BVP（25e）-（25g）的，κ）在第一步称为切线解- 1.在实际的OCMat实现中，BVP（25a）-（25g）离散化，提供不同的离散化方案，依赖于两个原生的MATLAB BVP解算器bvp4c、bvp5c[cf.Kierzenka and Shampine，2001年、2008年]和适应的解算器bvp6c[cf.Hale，2006年，Hale and Moore，2008年]。离散化切线在每一牛顿步计算。这是一种特殊的弧长延拓，称为MoorePenrose延拓，参见库兹涅佐夫[1998]。随后，我们引入一些术语来明确区分稳定路径和在延拓过程中计算的初始点集。定义A.1（切片歧管）。设X（·，κ（s）），s∈ 我 I为非空区间且κ（·）的R∈C（I，R）是等式（25）对每个s的解∈ 我

然后（^X，X（ns），X（ns），κ（·））：={X（0，κ（s））：s∈ 一} （26）被称为沿x（ns）的切片流形，x（ns）代表^x和κ（·）。定义A.2（可比切片歧管）。设^X满足SPP和S（^Xj，Xj，Xj，κj（sj）），sj∈Ij，j=1，2是沿着xj，xj的两片流形，对于^Xjandκj（·），xj6=xj，j=1，2。然后（^Xj，Xj，Xj，κj（sj）），j=1，2被称为可比的i{x+（1）- α） （十）- x） ：α∈ R} ={x+（1）- α） （十）- x） ：α∈ R} （27）持有。如果可比片流形满足{x+（1- κ（s））（x- x） ：s∈ 我}∩ {x+（1）- κ（s））（x- x） ：s∈ 一} 6= （28）据说切片歧管是相交的。备注A.1。切片流形是通过稳定流形的线性切割。在两个不同切片流形的相交处，给出了相同（初始）状态x的切割。因此，对于x（0）=x的最优控制问题，相应路径是（不同）候选解。对于稳定路径（x（·），λ（·））收敛到（^x，^λ）S（x，x（T），^x，id[0,1]）={（x（T），λT）的单状态自治最优控制问题：∈ [0，T]}。因此，稳定路径的轨道与稳定流形重合。此外，不同鞍座的两片流形具有很小的可比性。有充分的理由考虑BVP（25）而不是BVP（24）。对于任意初始点，xit通常很难为BVP（24）提供初始函数的“好”猜测。由于一般情况下，BVP的解不是唯一的，因此可能无法保证计算出的解是搜索到的解。另一方面，对于初始点^x，平衡解平凡地满足BVP（24）。因此，同伦BVP（25）可以从精确解开始。然后，只要满足某些秩条件，隐函数定理就保证了唯一解的存在。