预期缺口下的投资组合优化

对这种套利幻象进行了详细分析，并在[20,21]中显示为下行风险度量的一般属性。正是这一机制解释了相界的矛盾行为，即在图1中，当我们从右向左移动时，相界向下倾斜。随着我们降低置信水平，也就是当我们保留越来越多的数据时，ES的不稳定性发生在越来越低的N/T值上。事实上，如果我们不仅包括远尾分布，还包括大部分分布，ES取负值的概率会增加，直到α=0时，它变得确定，并且相边界达到水平轴。早期的研究[19–23]主要关注ES的不稳定性、相变附近估计误差的行为，以及通过正则化控制不稳定性的可能性。在这里，我们将沿着估计误差占据有限固定值的线进行构造，即，我们给出了ES估计误差的等高线图。我们还将为一个我们称之为敏感度的数量构造一组相关的等高线，该数量测量估计的ES对收益率微小变化的敏感度，以及另一个建议作为VaR代理的数量[24]。我们的一些结果将以一系列图表的形式呈现，这些图表可以被解读为估计误差图。为了便于定量理解这些结果，我们还将以表格形式呈现数值结果。这些表格允许oneto确定在给定投资组合规模和给定置信水平下，保持在规定的估计误差值以下所需的最小数据量。[19,20,22,23,25]中描述了我们分析结果背后的方法，但有微小变化；然而，为了完整起见，我们将在附录a中给出一个简短的总结。

重要的一点是要注意，对统计样本进行平均的任务类似于随机系统理论中的“猝灭平均”。因此，人们可以借用这一理论的工具，尤其是复制方法[13]。复制方法非常强大，能够提供迄今为止通过任何其他分析方法都无法获得的结果。为了将我们的工作与投资组合选择中估计误差问题的扩展文献相比较，我们注意到，这些文献中的大多数是基于有限（经验或合成）样本的分析，结合各种降噪方法，从贝叶斯[26–28]，到收缩[29–32]，套索[33]，随机矩阵[34–37]，以及许多其他技术。用概率论和统计学的标准工具来处理这个问题的纯理论论文集要小得多，并且与均值-方差优化中的估计误差有关[38–40]。关于港口组合优化领域的最新综述见[41]。关于方差以外的风险度量的估计误差问题的分析结果，除了在当前背景下应用重复性的少数文献[19,20,22,23,25]之外，并不存在。然而，应该注意的是，复制法有一个缺点，即在推导的某一点上，必须解析地将公式从一组自然数延续到实数，这种延续的唯一性很难证明。在统计物理中的许多类似问题中，即使在非凸成本函数更复杂的情况下，也可以构造严格的证明[42]。

虽然我们无法在这里提供如此严格的证明，但很难想象当成本函数是凸函数且只有一个最小值时，该方法会导致误入歧途。尽管如此，由于缺乏严格的数学证明，我们不得不总是通过数值模拟来检查复制品的结果，并且总是发现完全一致。本研究得出的主要结论是，除非纵横比/T非常小，否则估计最优投资组合的组成及其结果ES的误差都非常大。从质量上来说，这是一个必然的结论。其新颖之处在于一系列定量结果，准确地显示了样本量应该有多大，以实现合理的低水平估计误差，以及这些样本量超过了行业中实际希望获得的任何东西的多少。结果还表明，包含更多数据（设置较低的置信水平）也无济于事：相对误差在可接受范围内（比如5%）的轮廓线相当模糊。所有这一切意味着，对于典型的参数值N，T，估计误差太大，以至于使portfoliooptimization变得虚幻。到目前为止，我们所说的一切都与历史估计有关。人们可能认为参数估计对估计误差的影响较小。事实的确如此——尽管差别并没有人们所希望的那么大。在[20]中，我们通过复制技术再次推导了参数VaR和ES的相位边界，发现参数ES的临界线高于历史估计值，因此它朝着好的方向移动。本文推广了这些结果，构造了参数估计的计数线，它是一个给定的有限常数。

我们发现，参数估计比历史估计要求更低，这是很自然的，因为通过选择目标分布，我们将大量信息投射到估计中。然而，即使是参数估计，其增益也远远不足以使实际投资组合和样本量产生可接受的低估计误差——尽管我们将高斯分布用于高斯分布生成的有限样本。在现实生活中，人们应该对经验数据进行厚尾分布，这项任务与估计高分位数或高于它的条件平均数一样充满不确定性。最后，谈谈正规化。处理高维统计的标准方法是使用正则化[43]，在给定的上下文中，这意味着对投资组合权重的大幅度偏移施加近似，从而降低估计误差。我们在[22,23,44]中研究了正则化对ES估计的影响。在这里，我们没有考虑可能的正则化器的影响，因为我们的主要目的是展示原始估计误差问题有多严重。我们计划在未来的出版物中回到各种正则化子的研究，我们希望在比这里考虑的i.i.d.高斯更丰富的数据生成过程中评估偏差估计误差权衡。本文的计划如下：第二节。2我们列出了优化ES的任务，并回顾了[24]是如何将这个问题简化为线性规划的。以秒计。3.我们确定了表征估计误差的各种数量：ES的样本内和样本外估计、相对估计误差、投资组合权重估计分布的样本平均值，以及敏感性。这些是我们用复制品法计算的数量。

对复制法的解释被归入附录A，在附录A中，最小值将给出优化问题答案的生成函数被导出为六个变量的函数，即所谓的参数。决定订单参数的一阶条件以秒为单位写入。4，其中前一节中定义的各种估计误差度量也用副本语言确定。Firstorder条件解决方案的主要特点在第。5.解本身主要通过数值计算获得，在一些特殊情况下，人们可以通过分析计算深入了解方程的结构，其中一些细节见附录B。历史估计的主要结果见第。6主要以图形形式，但也以表格形式。第7节讨论了参数估计问题，并与历史估计进行了比较。本文的大部分内容是处理估计误差问题的最简单可能实现：i.i.d.正常的基本过程，估计全球最小投资组合（忽略预期收益的约束），等等。8我们依次考虑这些简化，并研究它们是否能够修改本文的主要信息。相关的、非同分布但仍为高斯分布的潜在波动，以及对预期回报的约束，都可以很容易地适应。数值模拟仍然是唯一的工具是厚尾分布问题，以及平均估计误差的误差条。这些模拟在原则上不构成问题，但计算量非常大，所以我们只给出几个示例。

所有这些可能的扩展研究的结论是，它们可以在最简单的设置中修改结果的一些细节，但不会以任何有意义的方式改变论文的主要信息。最后，在Sec。我们总结了最重要的结果，并指出了当前工作可以继续下去的方向。2 Est的优化我们在这里考虑的简单投资组合是N种证券的线性组合，收益率xi，i=1，2。。。，N和权重wi:X=NXi=1wixi（1）将对权重进行归一化，使其总和为N，而不是通常的1。选择这种标准化的动机是，我们希望在N的极限范围内有顺序统一的权重，而不是1/N→ ∞:NXi=1wi=N.（2）除此预算约束外，权重不受任何其他条件的约束。特别是，他们可以接受任何实际价值，也就是说，我们允许无限的空头头寸。诚然，这是相当不现实的：根据机构投资者的类型，法律和/或流动性约束可能会限制甚至排除空头头寸。然而，当它们存在时，即使受到限制，它们也会极大地促进ES的不稳定性。对空头头寸的禁令将起到严格的监管作用，并将消除不稳定性[23]，至少在涉及到空头规模的方面是如此。（即使在正则化之后，最优权重中的大波动也可能保持不变。）关于各种正则化子的影响的详细讨论将留给单独的出版物，这里我们关注最简单的、未正则化的情况，并希望显示由问题的内在不稳定性引起的估计误差。我们也没有对投资组合的预期回报施加通常的限制，因此我们正在寻找全球最低风险投资组合。