基于惩罚分位数回归的资产配置策略

根据精确模式设定分位数水平后，目标是购买根据惩罚分位数回归模型估计的系数不同于零的对冲基金。因此，在H"ardle et al.（2014）的工作中，分位数回归被用作指数跟踪框架中的安全选择工具。在第二步中，通过将重点放在下行风险上，H"ardle et al.（2014）通过优化Cornish Fisher值atRisk（CF VaR）给出的目标函数，确定了之前选择的基金的最佳权重。不同的是，我们使用了一个惩罚分位数回归模型，只需一步就能解决证券选择和资产配置问题。响应和协变量是根据投资组合中的资产确定的，不考虑外部变量（如市场指数），目的是根据不同的θ水平优化不同的绩效指标。特别是，如果≤ K≤ n、 我们提出了基于以下模型的资产配置策略：arg-min（w-k（θ），ξ（θ））∈RnTXt=1ρθrk，t-Xj6=kwj（θ）r*j、 t- ξ(θ)+ λXj6=k | wj（θ）|，（18），其中参数（ξ（θ），w-k（θ））取决于概率水平θ，w-k（θ）是权重向量，不包括wk，即在（18）中选择的第k个资产的权重，作为数值，而λ是惩罚参数；λ越大，投资组合的稀疏性越大。因此，通过惩罚绝对系数的总和。l-正常情况下，一些权重可能会收敛到零。此外，从财务角度来看，这会导致选择活跃头寸较少的投资组合，并对营业额和交易成本产生相关影响。与模型（8）不同，（18）的解取决于数值Rk的选择。

事实上，如果体重等于wk（θ）=1，则不会受到惩罚-Pj6=kwj（θ），以满足预算约束。因此，我们需要确定一个标准，在所有可用证券中选择计价资产。我们提出了一个简单但直观的解决方案：我们建议选择样本ψ（Rp，ψ）值最低的资产作为计价单位。这种选择是因为数字在其他选定资产中扮演着重要角色，因此它必须记录特定指标的最佳预期绩效。另一个重要问题是最佳λ值的选择；我们提醒大家，λ越高，投资组合就越稀疏。为此，我们遵循贝洛尼和切尔诺朱科夫（2011）提出的方法。他们考虑了处理大量解释变量的问题，关于样本量T，其中最多只有s≤ n回归器对响应变量的每个条件分位数都有非零影响。在这种情况下，如果普通的分位数回归估计值不一致，他们表明l-在回归系数的范数下，估计在紧集U上一致一致 (0, 1). 为了确定最佳λ值，他们提出了一种具有最佳渐近性质的数据驱动方法。该方法考虑了模型中涉及的变量之间的相关性，并根据θ水平得出不同的最佳λ值。惩罚参数由随机变量∧=T supθ建立∈Umaxj6=kTTXt=1“r*j、 t（θ- 1{et≤θ}）^σjpθ（1）- θ)#, （19） 其中e。。。，独立于协变量分布的eTare i.i.d.均匀（0，1）随机变量，r*, ^σj=T-1PTt=1（r*j、 t）。按照贝洛尼和切尔诺朱科夫（2011）的建议，我们通过运行100000次迭代来模拟∧值。

因此，最佳惩罚参数计算为λ*=τpθ（1）- θ）T，（20）式中τ=2bQ0。9（λ| r）*) 和bq0。9（λ| r）*) 是以解释变量值为条件的∧的第90百分位。公式（20）给出的方法用于实证分析，如第4节所述，以确定惩罚参数λ.3的最佳值。1数据描述虽然Bassett等人（2004年）在他们的工作中仅使用模拟数据，但我们更进一步，在考虑两个不同数据集的情况下，基于真实数据进行了实证评估。它们包括从2004年11月4日到2014年11月21日，分别在标准普尔100指数和标准普尔500指数篮子中包含的公司每日收益。在第一个数据集中（标准普尔100），我们处理94项资产，而在第二个数据集中（标准普尔500），我们处理452项资产。图3允许分析最大的标准普尔500数据集的主要描述性统计数据。图3：根据标准普尔500指数成分股产生的每项资产收益计算得出的统计数据。从左到右，方框图指的是：（a）平均回报率，（b）资产回报率的标准差，（c）峰度指数，（d）偏度指数，（e）回报率的第10百分位，（f）初始财富等于100美元时，每家公司在分析结束时产生的最终财富。从图3（a）中，我们可以看到，平均回报率接近于零，并且倾向于为正，在中值0.055%左右对称分布；其最大值和最小值分别等于0.242%和-分别为0.044%。标准偏差的分布以2.137%的中值输入，范围为1.013%至5.329%（图3（b）），存在一些与极端右尾值相关的特别不稳定的公司。

峰度指数分布是右偏的，右尾的值非常大（图3（c））：中值等于12.379，而最小值和最大值分别等于5。948和72.867，指出收益分布受厚尾的影响，正如预期的那样（参见Cont（2001）f关于财务收益的程式化事实）。图3（d）显示偏度指数在中值0.209左右对称分布。其范围为-3.088至2.640，数据来自汤森路透数据流。两个尾部都存在一些极值；因此，收益具有轻量级和不对称分布。如第3.3节所述，图3（e）显示了收益率系列的第10个百分位数，这是一种极端风险的度量，我们将其用作风险价值的估计值。从图3（e）中，我们可以看到，第10百分位的分布受到轻微的负不对称的影响，集中在-2.044%，最小值和最大值等于-3.703%和-分别为1.004%。图3（f）所示的最后一项指标显示了我们在2014年11月21日从单一资产中获得的财富分布情况，2004年11月4日，我们在每项资产中投资了100美元。右偏的最终财富分布受其右尾相关极值的影响。其范围为2。423至7757.073，中值为221.650美元；因此，平均而言，我们记录了库存值的增加。3.2带样本内和样本外评估的滚动分析我们使用第2节中介绍的最小二乘法和分位数回归模型估计投资组合权重。在建立投资组合的那一刻，预测他们未来的表现是完全可能的，而实际的结果并不能保证，只能事后评估。

由于我们表现得像一个投资者，我们进一步扩展了Bassett et al.（2004）的工作，实现了一个rollingwindow程序，该程序允许分析样本外的表现。此外，我们可以评估估计值随时间的稳定性。滚动窗口程序描述如下。迭代地，原始资产返回维度为T×n的时间序列被划分为窗口大小为ws的子样本。第一个子样本包括从第一天到第六天的每日收益。第二个子样本是通过删除最古老的观测值，包括（ws+1）天的观测值而获得的。这个过程继续进行- 1） -第天到了。在实证分析中，我们使用两个不同的窗口，即ws={500，1000}，来检查投资组合绩效如何依赖于投资组合维度和样本量。对于每个窗口，我们估计投资组合权重，用BWT表示，t=ws。。。，T- 1.通过给定的资产配置策略。让rt-ws+1，t为ws×n矩阵，其行为资产，返回t之间期间记录的向量- ws+1和t。然后，在样本内和样本外计算投资组合回报。在第一种情况下，对于每个滚动子样本，我们将每行RT相乘-ws+1，tbybwt，获得样本投资组合回报中的ws，从中我们可以计算第3.3节中描述的绩效指标。

总的来说，从所有的T-ws子矩阵rt-ws+1，t，我们得到t-第4节分析了每个绩效指标的分布情况。与样本内分析不同，我们评估估计的绩效指标，样本内分析的目的是检查预期是否与实际结果相符。因此，样本外表现起着关键作用，因为它对应于投资者每天修改其投资组合所获得的财富的实际影响。特别是fort=ws。。。，T- 1，bwtis乘以rt+1，即在t+1观察到的资产回报向量，以获得样本外的投资组合回报。这样，对于每个资产配置策略，我们从样本投资组合收益中获得一个经验，即长度为T的向量- ws，我们从中计算第3.3.3.3节绩效指标中所述的绩效指标。在实证分析中，我们比较了几种资产配置策略，这些策略都是基于有序最小二乘和分位数回归模型构建的。我们使用几个指标来评估和比较它们的表现，以提供有关交易费用对投资组合的可行性、风险和影响的信息。每个指标都是根据样本内和样本外返回计算得出的。第2.1节描述了一些性能指标，即α-风险、MAD、ψ（Rp，ψ）和ψ（Rp，ψ）。此外，我们还考虑了财务研究中通常使用的其他指标。第一个是夏普比率，这是一种风险调整后的回报衡量指标，定义为“rp^σp”（21），其中“rp”和“σpdenote”分别是投资组合回报的样本平均值和标准偏差。如第3.2节所述，在样本情况下，计算每个轧制子样本的^Rp和^σpare-ws+1，t，对于t=ws。。。，T- 1.因此，我们获得了T- ws-Sharpe比率。

不同的是，在样本外的情况下，我们每个窗口有一个投资组合回报，得到一个总的投资组合回报向量，长度等于T- 我们从中计算夏普比率。除α-风险外，我们还考虑了风险价值，定义为阈值，即在给定时间范围内，投资组合损失超过该值的概率等于α。风险价值的重要性不仅是因为金融机构广泛使用风险价值来分配资本，而且金融机构也使用风险价值来确定监管活动中的资本要求。在目前的工作中，风险价值被估计为样本内和样本外投资组合收益的第α分位数，α=0.1。最后，我们通过计算asT urn=T的转换来评估交易费用对投资组合再平衡活动的影响- wsTXt=ws+1nXj=1 | bwj，t- bwj，t-1 |，（22）式中，bwj是第t天资产分配策略确定的第j项资产的权重。营业额越高，再平衡活动产生的成本影响越大。准确地说，（21）的分子应该等于无风险超额收益。为简单起见，我们假设无风险回报等于零。参见巴塞尔银行监管委员会的“资本计量和资本标准的国际趋同”，可在http://www.bis.org/publ/bcbs118.pdf.4实证结果我们分析的第一个方面是指l-投资组合权重的标准惩罚。对于分位数回归模型，我们根据Belloni和Chernozhukov（2011）提出的方法估计最佳收缩参数λ。对于每个分位数水平，我们使用标准普尔100和标准普尔500的完整样本数据计算（20）。

因此，在实施滚动窗口程序后，我们计算每个滚动样本的活跃和空头头寸数量，其平均值分别用“Na”和“ns”表示。根据模型（18）构建的资产配置策略被命名为P QR（θ），用于∈ (0, 1). 我们还应用l-模型（1）上的范数以及由此产生的资产定位策略被表示为套索。对于套索，λ*进行校准，以获得与分位数回归模型在θ=0.5时产生的结果相比较的结果（以“na”为单位）。为了简单起见，我们在表1中显示了λ*仅P QR（0.1）、P QR（0.5）、P QR（0.9）和套索在滚动窗口上的有效和空头位置的值和平均数量。表1：项目的影响l-对活跃和空头头寸的标准惩罚。策略λ*（标准普尔100）λ*（标准普尔500）‘na（标准普尔100）’na（标准普尔500）’ns（标准普尔100）’ns（标准普尔500）ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=500 ws=1000 ws=1000 ws=1000 ws=1000 P QR（0.1）0.3644 0.6964 24 43 32 74 6 19 8 26P QR（0.5）0.6073 0.1608 29 44 42 77 8 10 28P QR（0.9）0.3644 0.6964 27 36 71 15 7 230。0004 0.0004 28 45 42 77 9 20 12 32该表报告了最佳收缩参数（λ*), 对于普通最小二乘法（LASSO）和分位数回归（P QR（θ））模型，通过l-标准惩罚，通过使用不同的数据集和窗口大小。我们注意到λ*根据θ水平变化，在θ域中心达到相对较高的值。这导致分位数回归法的衰减，即中位数周围活跃状态增加的趋势，见表1。此外，我们还分析了普通最小二乘法和分位数回归法估计的投资组合权重的演化时间。

我们检查了重量是否随着时间的推移变得更稳定l-标准惩罚，ws=1000时效果更明显。这一结果是由于l-范数惩罚将高度相关资产的权重缩小为零，窗口大小越大，估计误差的影响就越小。现在我们分析和比较各种分配策略的样本内性能。根据第3.2节所述计算的样本投资组合回报，我们获得以下绩效指标：平均值、标准差、夏普比率、α=0.1时的风险值（见第3.3节）、α=0.1时的α-风险、ψ（Rp，0.9）、ψ（Rp，0.9）和MAD，分别定义为（5）、（10a）、（11）和（16）。如第3.2节所述，总体而言- 由滚动过程产生的ws子样本，我们得到T- 每个绩效指标的ws值。我们利用箱线图来观察样本内统计数据在滚动子样本上的分布情况。如图4-5所示，在目前的工作中，如果某一股票的重量绝对值大于0.0005，则认为该股票的仓位较长。同样，如果重量小于-0.0005，则认为位置较短。值介于-0.0005和0.0005之间的权重设置为零。从普通最小二乘法和分位数回归（应用于θ={0.1,0.5,0.9}）模型中获得，无论是否施加l-标准惩罚，使用标准普尔500指数（S&P500）作为数据集，并应用窗口大小为500个观测值的滚动技术。图4：在没有处罚的情况下获得的样本结果，来自2010年标准普尔500指数的收益序列。窗口大小为500个观察值的滚动分析。

A、 B、C表示从量化回归模型构建的策略，分别应用于0.1、0.5和0.9的概率水平，而D表示普通的最小二乘回归模型。从左到右，子图报告了以下统计数据的箱线图：平均值（a）、标准偏差（b）、平均绝对偏差（c）、10%水平的风险值（d）、α=0.1（e）、bψ（rp，ψ）（f）、bψ（rp，ψ）（g）、ψ=0.9、夏普比（h）。普通最小二乘模型提供了最低的标准差，有（图5（b））和没有（图4（b））惩罚，正如预期的那样，因为其目标函数由投资组合方差给出。正如第2.1节所指出的，在假设E[Rp]=0和ξ（0.5）=0的情况下，中值回归使投资组合的平均绝对偏差最小化。这样的结果在QR（0.5）中是明确的（图4（c））；当我们强加l-与其他分位数回归模型相比，范数惩罚P QR（0.5）仍然提供了最低的MAD，但其表现优于LASSO（图5（c））。如果我们强加l-在中位数回归中，我们希望得到一个具有两个特征的投资组合：低平均绝对偏差和稀疏性，即活跃头寸数量有限。然后，在中值回归不受惩罚的情况下，获得稀疏投资组合的进一步目标可能需要更高的MAD，也就是说，当关注点仅放在等式（16）中定义的数量的最小化上时。在α-风险的情况下也会出现同样的现象：在θ=0.1时应用的分位数回归模型在不受惩罚时提供最佳结果（图4（e）），但当我们施加l-定额罚款（图5（e））。