Ninomiya Victoir方案：强收敛、对偶版本和

，d}，E“\'Xj，ηt-\'\'Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2pη#≤ C1+kxk2p惠普和j∈ {0，d+1}，E“\'Xj，ηt-\'\'Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2pη#≤ C1+kxk2ph2p，其中根据惯例'X-1，ηˇτt=(R)Xd+2，ηˇτt=XNV，ηˇτt。证明：设p≥ 1，t∈ [0，T]和j∈ {1，…，d}。由于提案2.4中的（2.17），我们有：E“\'Xj，ηt-\'\'Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2pη#≤ C1+E“\'\'Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2pη#！hp。自1+E“\'\'Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2pη#=1{ηt=1}E“1+\'\'Xj-1，ηˇτt2pη#+1{ηt=-1} E“1+(R)Xj+1，ηˇτt2pη#结合这个估计和引理2.5，我们得到“\'Xj，ηt-\'\'Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2pη#≤ Cexp（Cˇτt）1+kxk2p惠普≤ Cexp（CT）1+kxk2php。应用一个类似的论证，使用命题2.4中的（2.18），我们得到了相同的结果。我们通过设置C=Cexp（CT）得出结论。下面的引理涉及方案XNV，η和中间过程Xj，η之间差异的估计∈ {0，…，d+1}。引理2.7P≥ 1.C∈ R*+, T∈ [0，T]，N∈ N*, J∈ {0，…，d+1}，E“\'Xj，ηt-XNV，η^τt2pη#≤ C1+kxk2php。证明：Let p≥ 1，t∈ [0，T]和j∈ {d}1。利用伸缩求和和和凸性等式，我们得到\'Xj，ηt- XNV，η^τt2p≤ （d+2）2p-1.\'Xj，ηt-\'\'Xj-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xj+1，ηˇτt{ηt=-1}2p+Xηtm<ηtj\'Xm，ηˇτt-\'Xm-1，ηˇτt{ηt=1}-\'Xm+1，ηˇτt{ηt=-1}2p！。取条件期望，并使用引理2。6.我们“成功了”\'Xj，ηt- XNV，η^τt2pη#≤ （d+2）2p-1（d+2Tp）C1+kxk2php=C1+kxk2pHPC=（d+2）2p-1（d+2Tp）C.2.3强收敛证明证明：设p∈ [1+∞), T∈ [0，T]和s∈ [0，t]。

从（1.1）中减去（2.12），我们可以评估精确解和模式之间的差异- XNV，ηs=Zsσ（Xu）- σ\'X0，ηudu+Ztσ（Xu）- σ(R)Xd+1，ηu杜+dXj=1Zsσj（许）- σj（Xj，ηu）dWju+dXj=1Zsσjσj（Xu）- σjσj(R)Xj，ηu杜。利用一个凸不等式，并取上确界的条件期望，我们得到：E“sups≤TXs- XNV，ηs2pη#≤ （2（d+1））2p-1.dXj=1Ej+2pd+1Xj=0Ij（2.22）其中i=E“sups≤TZsσ（Xu）- σ(R)X0，ηu杜2pη#，Id+1=E“sups≤TZsσ（Xu）- σ\'Xd+1，ηu杜2pη#，对于j∈ {1，…，d}Ej=E“sups≤TZsσj（Xu）- σj（Xj，ηu）dWju2pη#，Ij=E“sups≤TZsσjσj（Xu）- σjσj\'Xj，ηu杜2pη#.让我们关注Ejand Ij，对于j∈ {1，…，d}。W和η之间的独立性允许应用Burkholder-Davis-Gund y不等式来获得≤ K E“Ztσj（许）- σj（(R)Xj，ηu）杜Pη#≤ KTp-1中兴通讯“σj（许）- σj（(R)Xj，ηu）2pη#duk是Burkholder-Davis-Gund y不等式中出现的常数。Lipschitz假设≤ KTp-1L2中兴通讯“徐-\'Xj，ηu2pη#du。（2.23）应用一个凸性不等式，我们得到≤ T2p型-1ZtE“σjσj（Xs）- σjσj\'Xj，ηs2pη#ds。同样，根据Lipschitz假设，我们也得到了≤ T2p型-1L2中兴通讯“徐-(R)Xj，ηu2pη#du。（2.24）使用相同的方法，我们得到了与Iand Id+1类似的结果。结合（2.23）和（2.23），再加上（2.22），我们得到了“SUP”≤T徐- XNV，ηu2pη#≤ αd+1Xj=0ZtE“徐-(R)Xj，ηu2pη#du（2.25），其中α=（2（d+1））2p-1L2pKTp-1+T2p-12便士. 现在，我们看看徐-\'Xj，ηu. 让j∈{0，…，d+1}和u∈ [0，t]。

引入解X和Ninomiya Victoir s chemeXNV，η在时间^τu，并使用凸性不等式，我们得到“徐-\'Xj，ηu2pη#≤ 32便士-1E“kXu- X^τuk2p+X^τu- XNV，η^τu2p级+XNV，η^τu-\'Xj，ηu2pη#.然后，使用命题2.4E“kXu”中的估计（2.17）- X^τuk2pη#≤ C1+kxk2p（u）- ^τu）p≤ C1+kxk2p来自外稃2的hpand。7E“\'Xj，ηu-XNV，η^τu2pη#≤ C1+kxk2php。MoreoverE“X^τu- XNV，η^τu2pη#≤ E“supv≤U十五- XNV，ηv2pη#.我们最终得到了“支持”≤TXs- XNV，ηs2pη#≤ β中兴“supv”≤U十五- XNV，ηv2pη#du+γ1+kxk2php，（2.26），其中β=32p-1（d+2）α和γ=βT（C+C）。在应用Gr-onwall引理之前，让我们通过（2.25），（2.16）和引理2.5来说明小吃≤TXs-XNV，ηs2p是有限的。感谢Gronwall的lemmaE“支持”≤TXt- XNV，ηt2pη#≤ exp（βT）γ1+kxk2php。我们用一个引理来结束这一节，它将对下一节有用。引理2.8 Let F∈ C（Rn，Rn），并假设其一阶和二阶导数具有多项式增长。在定理2.3的假设下，我们得到以下结果：P∈ [1+∞), C∈ R*+, J∈ {0，…，d+1}，N∈ N*,E“支持≤TZtF公司\'Xj，ηs- FXNV，η^τsds2pη#≤ Ch2p。证明：Let j∈ {0，…，d+1}，i∈ {1，…，n}，和t∈ [0，T]。使用partsformulaZt集成菲\'Xj，ηs- 菲XNV，η^τsdu=Zt（t∧ ˇτs-s） d菲\'Xj，ηs+ZˇτtXηsm<ηsj（ˇτs）- s） d菲\'Xm，ηs.然后，使用m的链式规则∈ {0，d+1}，我们得到了菲\'Xm，ηs=σ\'Xm，ηs. 菲\'Xm，ηsds。应用It^o公式计算m∈ {1，…，d}，我们得到菲\'Xm，ηs=σmσm\'Xm，ηs. 菲\'Xm，ηs+tr公司σm（σm）*\'Xm，ηs菲\'Xm，ηsds+σm\'Xm，ηs. 菲\'Xm，ηsdWms。在这两种情况下，结合凸性不等式、Burkholder-Davis-Gundy不等式、theHolder不等式、关于σm的Lipschitz假设，σmσm或m∈ {0。

，d}，F和t的一阶和二阶导数的多项式增长假设∧ˇτs-s≤ Hs∈ [0，ˇτt]，我们得到两个常数γ∈ R*+q∈ N*, 独立于N，因此e“supt≤TZtFi\'Xj，ηs- 菲XNV，η^τsds2pη#≤ γh2pd+1Xm=0ZTE“1+\'Xm，ηs第二季度η#ds。我们通过使用引理2得出结论。5和d采用欧几里德标准。3结合Giles Szpruch方案[6]，Giles和Szpruch提出了一个修改后的Milstein方案，定义如下：XGStk+1=XGStk+bXGStk（tk+1）- tk）+dXj=1σjXGStk公司Wjtk+1+dXj，m=1σjσmXGStk公司JTWK+1Wmtk+1- 1{j=m}hXGSt=x.（3.1）与米尔斯坦方案相比，涉及列维的条款是sztk+1tkWjsdWms-Ztk+1tkWMSDWJS已删除。根据文献[6]中的引理4.2，强收敛阶为γ=1/2。引理3.1假设b，σj∈ C（Rn，Rn），J∈ {1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数，并且σjσm，j、 m∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：CGS∈ R*+, N∈ R*+, E最大值（maxk）∈{0，…，N}Xtk- XGStk公司2p≤ CGShp。（3.2）Giles and Szpruch还提出了一个相反版本的方案，该方案基于方案中每对连续布朗增量的交换。关于多层蒙特卡罗估计量，Giles和Szpruch使用方案（3.1）的算术平均值及其在细网格上的对偶版本，在每个水平l∈ {1，…，L}如下^Y=MMXk=1fX1,0，kT+LXl=1MlMlXk=1FXl、l、kT+ FXl、l、kT- FXl码-1，l，kT.在粗网格和细网格上使用的方案之间，每对连续布朗增量的交换提供了一个顺序1的强收敛性，因此Giles和Szpruch获得了方差V的收敛速度β=2FXl、l、kT+ FXl、l、kT-FXl码-1，l，kT,当支付顺利时。

通过这种方式，使用这种多级蒙特卡罗估计器会导致计算复杂性-2.对于均方根误差。为了在多水平蒙特卡罗估计器的每个水平或仅在最底层使用Ninomia Victoirscheme，我们在本节中研究Ninomia Victoir和Giles Szpruch方案之间的耦合。为了保持β=2，我们建议将Giles Szpruch方案与以下修改后的Ninomiya Victoir方案'XNV，η进行比较=XNV，η+XNV，-η. （3.3）为了与Ninomiya Victoir方案的插值保持一致，我们将网格点之间的方案插值定义为xgst=x+ZsbXGS^τudu+dXj=1ZsσjXGS^τudWju+dXj=1ZsσjσjXGS^τuWjudWju+dXj，m=1m6=jZsσjσmXGS^τuWmˇτudWju。（3.4）定理3.2我们假设b∈ C（Rn；Rn）具有有界的一阶和二阶导数，以及σj∈ C（Rn；Rn），J∈ {1，…，d}，具有有界的一阶和二阶导数以及多项式增长的三阶导数σjσm，j、 m∈ {1，…，d}，具有有界的一阶导数。然后：C∈ R*+, N∈ N*, E“支持≤T(R)XNV，ηt- XGSt公司2pη#≤ Ch2p。证明：我们用L表示b的公共Lipschitz常数，σjandσjσm，j、 m∈ {1，…，d}。我们还用M表示b和σj的第一和第二导数的全局界，J∈ {1，…，d}。让t∈ [0，T]和s∈ [0，t]。

将“XNV，η”写成积分形式，我们得到“XNV，ηs=x+dXj=1Zs”σj\'Xj，ηu+ σj“Xj，-ηsdWju+dXj=1Zsσjσj\'Xj，ηu+ σjσj“Xj，-ηudu+Zsσ\'X0，ηu+ σ\'-X0，-ηudu+Zsσ\'Xd+1，ηu+ σ(R)Xd+1，-ηu杜。然后使用B-民主党=1σjσj-σ=0，我们得到‘XNV，ηs=x+dXj=1ZsσjXNV，η^τu+ σjXNV，-η^τudWju+ZsBXNV，η^τu+ BXNV，-η^τudu+dXj=1Zsσj\'Xj，ηu- σjXNV，η^τu+ σj“Xj，-ηu- σjXNV，-η^τudWju+dXj=1Zsσjσj\'Xj，ηu- σjσjXNV，η^τu+ σjσj(R)Xj，-ηu- σjσjXNV，-η^τudu+Zsσ\'X0，ηu- σXNV，η^τu+ σ(R)X0，-ηu- σXNV，-η^τudu+Zsσ\'Xd+1，ηu- σXNV，η^τu+ σ\'Xd+1，-ηu- σXNV，-η^τu杜。减去（3.4）并使用凸性不等式，我们得到“sups”≤T\'\'XNV，ηs- XGSs公司2pη#≤ 32便士-1（d+1）2p-1.dXj=1Ij+dXj=0Ej+d+1Xj=0Rj（3.5）其中E=E“sups≤TZsBXNV，η^τu+ BXNV，-η^τu- BXGS^τu杜2pη#，R=E“sups≤TZsσ\'X0，ηu- σXNV，η^τu+ σ“X0，-ηu- σXNV，-η^τu杜2pη#，Rd+1=E“sups≤TZsσ\'Xd+1，ηu- σXNV，η^τu+ σ\'Xd+1，-ηu- σXNV，-η^τu杜2pη#，对于j∈ {1，…，d}，Ij=E“sups≤TZsσj\'Xj，ηu- σjXNV，η^τu+ σj(R)Xj，-ηu- σjXNV，-η^τudWju-ZsσjσjXGS^τuWju+dXm=1m6=jσjσmXGS^τuWmˇτu！dWju2pη#，Ej=E“sups≤TZsσjXNV，η^τu+ σjXNV，-η^τu- σjXGS^τudWju2pη#，Rj=E“sups≤TZsσjσj\'Xj，ηu- σjσjXNV，η^τu+ σjσj(R)Xj，-ηu- σjσjXNV，-η^τu杜2pη#.步骤1：估计Ej，对于j∈ {0，…，d}。让我们从Ej，f或j的估计开始∈ {0，…，d}。我们为F=b和Fj=σjj设置∈ {1，…，d}。结合Burkholder-Davis-Gundy不等式和凸性不等式，我们得到≤ 最大值T2p型-1，KTp-1.中兴通讯“FjXNV，η^τu+ FjXNV，-η^τu- FjXGS^τu2pη#du，其中K是Burkholder-Davis-Gundy不等式中出现的常数。因为我∈{1, . . .

，n}，表示于=菲吉XNV，η^τu+ 菲吉XNV，-η^τu- 菲吉XGS^τu并进行二阶泰勒级数展开，得到Yu=Fij(R)XNV，η^τu- 菲吉XGS^τu+XNV，η^τu- XNV，-η^τu*菲吉uτξ+ 菲吉ξτuXNV，η^τu- XNV，-η^τu其中ξ^τuan和ξ^τuare点位于XNV、η^τuan和XNV之间，-η^τu.那么，我们很容易得到Kyuk2p≤ α\'XNV，η^τu-XGS^τu2p级+XNV，η^τu- XNV，-η^τu4p其中α=22p-1.L2p公司+M2p. 图塞≤ αmaxT2p型-1，KTp-1.中兴通讯“supv≤U\'\'XNV，ηv-XGSv公司2pη#杜+中兴”XNV，η^τu- XNV，-η^τu4pη#du！。在时间^τu处引入解X，并使用凸性不等式，我们得到“XNV，η^τu- XNV，-η^τu4pη#≤ 24便士-1E“XNV，η^τu-X^τu4pη#+E“X^τu- XNV，-η^τu4pη#!.多亏了Theorem2。3，我们推断为“XNV，η^τu- XNV，-η^τu4pη#≤ 24pCNV1+kxk4ph2p。接下来就是EJ≤ β中兴“supv”≤U\'\'XNV，ηv- XGSv2pη#du+h2p！（3.6）其中β=αmaxT2p型-1，KTp-1.maxn1，24pCNV1+kxk4po、 步骤2：估算Rj，对于j∈ {0，…，d}。关于Rj的估计，对于j∈ {0，…，d}，来自引理2。我们得到一个常数β∈ R*+,这样的话RJ≤ βh2p。（3.7）步骤3：估算Ij，对于j∈ {1，…，d}。仍需估计Ij，对于j∈ {1，…，d}。利用Burkholder-Davis-Gundy和凸性等式，我们得到≤2pKTp-1中兴通讯“σj\'Xj，ηu- σjXNV，η^τu+ σj(R)Xj，-ηu- σjXNV，-η^τu- 2.σjσjXGS^τuWju公司-dXm=1m6=jσjσmXGS^τuWmˇτu2pη#ds。引入ψju=ψj，ηu+ψj，-ηu其中ψj，ηu=σj\'Xj，ηu- σjXNV，η^τu- σjσjXNV，η^τuWju公司-Xηum<ηujσjσmXNV，η^τuWmˇτu（3.8）和Φju=σjσjXNV，η^τuWju+σjσjXNV，-η^τuWju公司- 2.σjσjXGS^τuWju+Xηum<ηujσjσmXNV，η^τuWmˇτu+Xηum>ηujσjσmXNV，-η^τuWmˇτu-dXm=1m6=jσjσmXGS^τuWmˇτu（3.9）我们得到≤KTp-1中兴通讯“ψju2p级+Φju2pη#du！。步骤3.1：估计E“ψju2pη#，代表j∈ {1, . . .

，d}。应用（3.8）中的It^o公式计算σj\'Xj，ηu- σjXNV，η^τu, 我们得到ψj，ηu=Zu^τuσjσj\'Xj，ηv- σjσjXNV，η^τvdWjv+Xηum<ηujZˇτu^τuσjσm\'Xm，ηv- σjσmXNV，η^τvdWmv+Zu^τuFj，jσj\'Xj，ηvdv+Xηum<ηujZˇτu^τuFj，mσm\'Xm，ηv其中Fj，m=σjσmfor j，m∈ {1，…，d}。注意，termPηum<ηujZˇτu^τuFj，mσm\'Xm，ηvdv等于漂移贡献和由^Xm，η的动态引起的It^o校正之和。σjand-Lemm a2的假设。5、确保oj、 m∈ {1，…，d}，σjσmis-Lipschitz连续j、 m∈ {1，…，d}，Fj，mσm\'Xm，ηv具有一致有界矩。利用引理2.7、Burkholder-Davis-Gundy和凸性不等式，我们得到了一个常数γ∈ R*+因此，E“ψj，ηu2pη#≤ γh2p。显然，对于ψj，我们有相同的不等式，-η.步骤3.2：估计E“Φju2pη#，代表j∈ {1，…，d}。根据Lipschitz假设Φju2p≤ （d+1）2p-1L2pXNV，η^τu- XGS^τu2pWju公司2p级+XNV，-η^τu- XGS^τu2pWju公司2p+Xηum<ηujXNV，η^τu-XGS^τu2pWmˇτu2p+Xηum>ηujXNV，-η^τu- XGS^τu2pWmˇτu2p！。（3.10）独立人士“XNV，η^τu- XGS^τu2pWmˇτu2pη#=E“XNV，η^τu- XGS^τu2pη#EhWmˇτu2pi≤ 22便士-1EhWmˇτu2页“XNV，η^τu- X^τu2pη#+E“X^τu- XGS^τu2pη#!.然后，使用定理2。3和引理3.1，我们得到“XNV，η^τu- XGS^τu2pWmˇτu2pη#≤ 22pEh | G | 2piCNV1+kxk2p+ CGSH2P其中G是一个范数al随机变量。使用相同的方法，我们对（3.10）右侧的中的其他项得到了相同的结果。

因此，我们推断存在一个常数α∈ R*+以便：E“Φju2pη#≤ αh2p。结合不同的不等式，我们得到≤ βh2p（3.11），其中β=KTpα+22pγ.第4步：结论最后，通过结合（3.6）、（3.7）、（3.11）和（3.5），我们使用Gronwall的lemmaE“supt”完成了p屋顶≤T(R)XNVt-XGSt公司2pη#≤ CH2P，其中C=32p-1（d+1）2p-1（dβ+（d+1）β+（d+2）β）实验2p-1（d+1）2p-1dβT.在本节中，我们感兴趣的是用蒙特卡罗方法计算期望y=E[f（XT）]，wher E X=（XT）t∈[0，T]是随机微分方程（1.1）和f:Rn7的解→ R给定的函数，使得Ehf（XT）是有限的。我们将重点关注在给定目标误差下最小化计算复杂性。为了测量anestimator^Y的准确性，我们将考虑均方根误差RMSE^Y，Y= EY-^Y.4.1多水平蒙特卡罗方法由Giles在[5]中介绍，包括使用时间步长hl=T/2l的几何序列组合多水平离散化。用XNa数值格式表示，采用时间步长T/N，该技术的主要思想是使用以下望远镜求和来控制偏置HFXLT公司i=EFXT+LXl=1EhfXlT公司- FXl码-1Ti、 然后，建立了广义多级蒙特卡罗估计量，如下所示^YMLMC=LXl=0MlMlXk=1Zlk（4.1），其中Zlk0≤L≤五十、 一,≤K≤在相依随机变量中，对于给定的离散化水平∈ {0，…，L}，序列Zlk1.≤K≤MLI分布均匀且令人满意Z= EFXT（4.2）和L∈ {1，…，L}，EhZli=EhfXlT公司- FXl码-1Ti、 （4.3）假设，f或给定的离散化水平l∈ {0。

，L}，模拟一个样本zl的计算成本是Cλll，其中C∈ R+是一个常数，仅取决于离散化方案和λl∈ Q*+是一个权重，仅取决于l。由CMLMC表示的^YMLMC的计算复杂性由CMLMC=CLXl=0Mlλll给出。（4.4）Zl、l的自然选择∈ [5]中考虑的{0，…，L}isZ=fXT（4.5）Zl=fXlT公司- FXl码-1T, L∈ {1，…，L}。（4.6）对于这个标准选择，取λ=1和λl=3/2是很自然的，L∈ {1，…，L}。根据[5]中的OREM 3.1，最佳复杂度C*MLMC依赖于格式弱收敛的阶数erα和Zl方差收敛到0的阶数β。这里，我们回顾一下这个复杂性定理。定理4.1假设EHFXlT公司我- Y=cαl+oαl（4.7）andVZl=cβl+oβl（4.8）对于某些常数c∈ R*c∈ R*+独立于l。然后，通过选择：l*=日志√2 | c | 491;α（4.9）和L∈ {0，…，L*}, M*l=sV（Zl）λllL*Xj=0qλjjV（Zj）（4.10）我们得到了最佳计算复杂度：C*MLMC=O-2.如果β>1C*MLMC=O-2.日志!如果β=1C*MLMC=O-2+β-1α如果β<1（4.11），则使用RMSE^YMLMC，Y以为界。要获得估计值（4.8），关键是要对Xl和Xl进行模拟-1来自同一布朗路径。我们很容易用数值格式的强收敛速度γ从下面限制方差收敛速度，因为一般来说，β≥ 2γ用于平滑支付。为了得到γ=1，在e上，通常需要模拟涉及所有区域的迭代Br ownian积分，对于这一点，没有已知的有效方法。为了解决这一难题，Giles和Szpruch引入了一个Milstein方案，其中包含ou t L’evy区域，并通过交换布朗增量引入了它的对立版本。