市场冲击博弈中纳什均衡的高频极限

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英文标题：
《High-frequency limit of Nash equilibria in a market impact game with
  transient price impact》
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作者：
Alexander Schied, Elias Strehle, and Tao Zhang
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study the high-frequency limits of strategies and costs in a Nash equilibrium for two agents that are competing to minimize liquidation costs in a discrete-time market impact model with exponentially decaying price impact and quadratic transaction costs of size $\\theta\\ge0$. We show that, for $\\theta=0$, equilibrium strategies and costs will oscillate indefinitely between two accumulation points. For $\\theta>0$, however, strategies, costs, and total transaction costs will converge towards limits that are independent of $\\theta$. We then show that the limiting strategies form a Nash equilibrium for a continuous-time version of the model with $\\theta$ equal to a certain critical value $\\theta^*>0$, and that the corresponding expected costs coincide with the high-frequency limits of the discrete-time equilibrium costs. For $\\theta\\neq\\theta^*$, however, continuous-time Nash equilibria will typically not exist. Our results permit us to give mathematically rigorous proofs of numerical observations made in Schied and Zhang (2013). In particular, we provide a range of model parameters for which the limiting expected costs of both agents are decreasing functions of $\\theta$. That is, for sufficiently high trading speed, raising additional transaction costs can reduce the expected costs of all agents.
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中文摘要：
我们研究了在价格影响呈指数衰减且交易成本为$\\theta\\ge0$的离散时间市场影响模型中，两个代理竞争最小化清算成本的纳什均衡中策略和成本的高频极限。我们证明，当$\\theta=0$时，均衡策略和成本将在两个累积点之间无限振荡。然而，当$\\θ>0$时，策略、成本和总交易成本将趋于独立于$\\θ$的限制。然后，我们证明，对于$\\theta$等于某个临界值$\\theta^*>0$的连续时间模型，限制策略形成了一个纳什均衡，并且相应的预期成本与离散时间均衡成本的高频极限一致。然而，对于$\\theta\\neq\\theta^*$，通常不存在连续时间纳什均衡。我们的结果允许我们对Schied和Zhang（2013）中的数值观测进行严格的数学证明。特别是，我们提供了一系列模型参数，对于这些参数，两个代理的极限预期成本都是$\\θ$的递减函数。也就是说，对于足够高的交易速度，提高额外的交易成本可以降低所有代理的预期成本。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：纳什均衡 Mathematical Quantitative observations accumulation

具有瞬时价格冲击的市场冲击博弈中纳什均衡的高频极限Alexander Schied*埃利亚斯·斯特雷尔**Tao Zhang§第一版：2015年9月28日本版：2017年5月9日摘要我们研究了两个代理人在纳什均衡中的策略和成本的高频极限，这两个代理人在离散时间市场影响模型中竞争，以最小化清算成本，价格影响为指数，交易成本为θ≥ 0。我们表明，当θ=0时，均衡策略和成本将在两个累积点之间不确定地振荡。然而，对于θ>0，策略、成本和总交易成本将收敛到与θ无关的极限。结果表明，对于θ等于某个临界值θ的连续时间模型，极限策略形成了纳什均衡*> 0，并且相应的预期成本与离散时间均衡成本的高频极限一致。对于θ6=θ*, 然而，连续时间纳什均衡通常不存在。我们的结果允许我们对[28]中的数值观测给出严格的数学证明。特别是，我们提供了一系列模型参数，对于这些参数，两种代理的预期成本都是θ的递减函数。提高交易速度可以有效地降低交易成本。MSC分类：91A05、91A10、91A25、49N70、91A60、91A80、91G10、91G80关键词：市场影响博弈、瞬时价格影响、纳什均衡、高频限制、交易成本1简介在本文中，我们继续分析[30]和[28]中开始的市场影响博弈。在这个博弈中，两个代理人在一个具有瞬时价格影响的离散时间市场影响模型中竞争以最小化清算成本。

此类市场影响模型通常用于描述订单到达速度快到足以受之前交易产生的价格影响逆转影响的情况[7,26,2,4]。【30】和【28】中的观察结果表明，具有暂时性影响的模型中纳什均衡的定性行为与Almgren-Chriss型模型中的纳什均衡的定性行为截然不同，在这类模型中，参与者的到达速度应该足够慢，不会受到任何暂时性价格影响成分的影响；我们参考[10,31,12,29]来分析Almgren–Chriss模型中的市场影响博弈。文献[25]分析了信息不对称的离散时间市场冲击博弈。博弈论在市场微观结构问题上的其他应用包括[8,9,11,22,19]。关于市场影响模型和相应优化问题的一般背景可以在书【13】、两次调查【17、23】以及其中的参考文献中找到。具体而言，[30]和[28]表明，两个代理的均衡策略通常在买卖交易之间波动，这让人想起2010年金融危机期间的“烫手山芋游戏”*滑铁卢大学统计和精算科学系和曼海姆大学数学系，电子邮件：alex。schied@gmail.com**曼海姆大学数学系，电子邮件：estrehle@mail.uni-曼海姆。曼海姆大学数学系，电子邮箱：陶章。de@gmail.comThe作者衷心感谢德意志联邦储备银行（DFG）通过研究补助金SCHI/3-1和SCHI/3-2提供的财政支持。初步而言，本文的部分内容发表在第三作者的博士论文中【34】。崩溃[14]。

这种行为可以解释为防止竞争对手进行掠夺性交易。当然，通过增加每笔交易的额外交易成本，可以抑制交易策略的波动。为了研究交易成本对均衡策略的影响，[28]引入了二次交易成本，其规模由参数θ控制≥ 0.改变θ会产生许多令人惊讶的效果。例如，【28，定理2.7】表明存在一个明确给定的临界值θ*> 使得平衡策略至少显示了θ<θ的一些振荡*, 而θ的所有振荡都消失了≥ θ*.然而，最令人惊讶的观察结果与预期清算成本的行为有关。首先，通过数值计算，在[28]中说明，在某些制度下，两个代理人的预期成本可以是交易成本大小的递减函数。也就是说，如果施加额外的交易成本，所有市场参与者的平均效果都会更好。第二，数值模拟表明，对于小θ，预期成本可以（本质上）随着交易频率的增加而增加，尽管更高的频率意味着代理人可以从更大的策略类别中获益，因此原则上应该能够应用更具成本效益的策略。然而，如果交易成本增加，这种情况就会改变。如果θ足够大（例如，如果θ≥ θ*) 预期成本成为交易频率的递减函数。前段所述的两种现象可以再次解释为需要防止掠夺性交易。首先，交易成本的增加阻碍了掠夺性交易，因此双方都需要采取较少的预防措施，从而可以使用更具成本效益的策略。

相应的节省可以超过交易成本中的额外费用，从而导致所有市场参与者的成本整体降低。其次，交易频率的增加也增加了掠夺性交易的机会，因此，如果交易成本较低，则需要采取额外的保护措施。这些措施的成本可能超过更高交易频率的好处，从而导致预期成本的增加。如果掠夺性交易通过更高的交易成本被有效阻止，情况就会发生变化。在这种情况下，我们观察到预期成本通常随着交易频率的降低而降低。本文的主要目的之一是为[28]中的数值观测提供数学证明和证明。我们的主要相应结果将是推论3.3，它提供了一系列模型参数，这些参数足以通过增加额外的交易成本来降低两个代理的预期成本。推论3.3的证明基于对均衡策略行为和高频极限下预期成本的透彻分析，其本身也很有趣，并展示了我们市场影响博弈的许多令人惊讶的特征。在定理3.1中，我们将研究累积均衡策略的渐近性。对于这两条曲线，我们明确地确定了θ=0之间的振荡。然而，对于所有θ>0的情况，策略收敛到明确给出的、独立于θ的连续时间限制。

这一结果也需要作为定理3.2的证明的输入，定理3.2涉及均衡中预期成本的渐近性。定理3.2指出，对于θ=0，预期成本会不确定地振荡，并且在极限内有两个完全不同的累积点，以闭合形式给出。同样，θ>0时，图片有所不同。在这种情况下，预期成本收敛到与θ无关的显式极限。将该极限与θ=0的两个累积点进行比较，得出上述推论3.3。均衡策略和成本的趋同引发了一个问题，即限制策略和成本是否可以与我们的市场影响博弈的连续时间版本相关联。第3节通过借鉴具有瞬时价格影响的连续时间市场影响模型的现有文献，提供了相应的连续时间设置【16、18、27、24、3、1】。定理4.5，我们相应的主要结果，表明，对于θ等于上述临界值θ*, 存在一个独特的纳什均衡，它正好由离散时间市场冲击博弈的高频极限中发现的限制策略组成。此外，该均衡的预期成本等于离散时间成本的高频极限（推论4.6）。然而，定理4.5也指出，对于θ6=θ*如果至少有一个代理持有非平凡库存，则不存在纳什均衡。第三部分的结果及其证明的初步版本已在第三作者的博士论文[34]中说明。综上所述，我们表明，对于θ=0，均衡策略和成本将不确定地振荡，并且不会收敛到任何极限。然而，对于θ>0，策略和成本都将收敛到与θ无关的极限。

这些极限也出现在θ=θ的唯一连续时间纳什均衡中*,这本质上是唯一存在于连续时间内的纳什均衡。本文的组织结构如下。在第2节中，我们回顾了[28]中的设置和主要结果，这里需要它们。在第三节中，我们陈述了关于均衡策略和成本的高频极限的渐近结果。第4节讨论了连续时间纳什均衡。第5节通过代数建立离散时间均衡策略的显式公式，准备证明我们的主要结果；相应的主要结果是定理5.4。附录中的部分包含了我们主要结果的证明。2.预备阶段让我们以特殊形式简要回顾[28]的设置和主要结果，此处需要它们（[28]的设置更一般）。我们考虑两个活跃在一项风险资产的市场影响模型中的金融代理人。价格影响将是暂时的，并通过指数decaykernel，G（t）=λe进行建模-ρt，t≥ 0，其中ρ>0。在本文的其余部分中，取λ=1并没有失去一般性，因为所有其他量都可以相应地缩放。[7]中提出了短暂的价格影响，而[26]中给出了价格影响指数衰减的amodel的首次分析。例如，参见[2,16,4,18,27,24,3,1,15]，了解该模型的进一步分析和扩展，该模型有时被称为传播子模型。如果两个代理都不活跃，则资产价格由右连续鞅S=（St）t描述≥0在过滤概率空间上(Ohm, （Ft）t≥0，F，P），其中（Ft）t≥0是右连续的，FisP是平凡的。这个过程通常被称为未受影响的价格过程。交易发生在时间网格T={T，T，…，tN}的离散时间，其中0=T<T<·T<tN=T。

这两个代理人都被要求使用在以下意义上可接受的交易策略：定义2.1。T和z的可容许交易策略∈ R是随机变量的向量ζ=（ζ，…，ζN），使得每个ζis Fti可测量且有界，z=ζ+···+ζNP-a.s。给定T和z的所有容许策略集由X（z，T）表示。对于ζ∈ X（z，T），ζiI的值被视为ti时交易的股票数量，正号表示卖出，负号表示买入。因此，z是在时间0=t时代理的库存量，到时间tN=t时，代理的库存量必须为零。从经济角度来看，每个ζIIS边界都可以在不丧失普遍性的情况下进行假设。如果两个代理应用各自的策略ξ∈ X（X，T）和η∈ X（y，T），资产价格为ξ，ηT=St-Xtk<te-ρ（t-tk）（ξk+ηk）。基于对受影响价格过程的定义，可以得出以下两个代理的交易成本定义。定义2.2。假设T={T，T，…，tN}，x和y是给定的。进一步取θ≥ 0和（εi）i=0,1，。。。是独立于σ（St）的伯努利（）分布随机变量的i.i.d.序列≥0英尺）。然后是ξ的成本∈ 给定η的X（X，T）∈ X（y，T）定义为asCT（ξ|η）=xS+NXk=0G（0）ξk- Sξ，ηtkξk+εkG（0）ξkηk+θξk（1） 给定ξ的η的成本为（η|ξ）=yS+NXk=0G（0）ηk- Sξ，ηtkηk+（1- εk）G（0）ξkηk+θηk. （2） 在前面的定义中，εkis是一个随机变量，当两个代理在同一实例下订单时，它决定是首先执行第一个代理还是第二个代理的订单。除了内部清算成本外，每笔交易ζkalso还会产生θζk形式的二次交易成本，其大小由参数θ决定≥ 0

这种交易成本往往是由二次价格滑落引起的；参见【6、5】和【16，第2.2节】。然而，在许多情况下，比例交易成本可能更为现实，因此，当二次交易成本θξkar被（分段）线性交易成本所取代时，问题在于结果会发生多大程度的变化。这个问题将在下面的备注2.5中讨论。通常，对于给定的时间网格T和初始值x，y∈ R、 纳什均衡是一对（ξ*, η*) X（X，T）×X（y，T）中的策略，使得e[CT（ξ）*|η*) ] = 最小ξ∈X（X，T）E[CT（ξ|η*) ] 和E[CT（η*|ξ*) ] = 最小η∈X（Y，T）E[CT（η|ξ*) ].这一定义隐含地假设每个代理都完全了解另一个代理的初始库存（分别为x或y）和策略（ξ）*或η*, 分别）。[30，定理9.1]证明了一类确定性策略中存在唯一的纳什均衡，且θ=0。这个结果在[28]中被推广到一般的衰变核、自适应策略和任意θ≥ 更重要的是，给出了均衡战略的明确公式，允许对均衡战略和成本进行定性分析，这将在本论文中继续。现在，我们回顾了[28]在价格影响指数衰减的特定设置中以及在等距时间网格中，TN=nkTN的存在结果k=0，1，不，N=2，3。为此，我们定义了下三角（N+1）×（N+1）矩阵=当i<j时为0，当i=j，e时为1/2-ρ（i）-j） 然后，我们用矩阵的符号来表示。设Id表示（N+1）×（N+1）-单位矩阵和只包含一个单位的（N+1）-列向量。

定义（N+1）-列向量ν：=（Γ+ΓΓ+2θId）-11和ω：=（Γ）-Γ+2θId）-11;[28，引理3.2]很好地定义了这两个向量。在定理5.4中，我们将导出ν和ω的闭式表示。让v:=>νν和w:=>ωω（3）表示相应的归一化向量；同样，分母在[28，引理3.2]中是非零的。定理2.3（文献[28]中的定理2.5]）。对于任何ρ>0，θ≥ 0、时间网格T和初始值x、y∈ R、 存在唯一的纳什均衡（ξ*, η*) ∈ X（X，T）×X（y，T）。最优策略ξ*和η*是确定性的，由ξ给出*=（x+y）v+（x- y） w和η*=（x+y）v-（十）- y） w.在[30]和[28]中观察到，对于消失的交易成本（即θ=0），均衡策略可能会随着交替的买入和卖出交易表现出强烈的振荡。这些波动可以解释为防止竞争对手进行掠夺性交易[30,28]。当交易成本增加时，这些波动被抑制，当交易成本达到特定临界水平θ时，它们最终消失*. 这是【28】中针对价格影响指数递减的具体情况得出的以下结果的内容。定理2.4（文献〔28〕中的定理2.7）。以下条件是等效的。（a） 每N∈ N和ρ>0，v的所有分量都是非负的。（b） 每N∈ N和ρ>0，w的所有分量都是非负的。（c） θ≥ θ*= 1/4。[28，第2.4节]中的一个非常令人惊讶的数值观察结果是，当交易成本增加时，双方的预期成本会降低；见图1。从经济上来说，这种现象可以解释如下。交易成本的增加导致掠夺性交易的减少。因此，两个交易者都需要对掠夺性交易采取较少的预防措施，从而可以使用更有效的策略。