全球社会经济系统的结构稳定性如何？

为了找到保持正稳定稳定状态的国家的相应比例，我们使用扰动向量作为初始参数K来模拟我们的动力学模型。通过使用Matlab routline ode45的龙格-库塔法对普通微分方程组进行积分，来进行寻找平衡点的模拟。图3显示，当结构向量的偏差η很小（对数标度为负）时，所有国家都保持正稳定状态（黄色/浅色区域）。然而，偏差越大，保持这种稳定状态的国家比例越低。这在数值上证实了结构向量是与所有国家的正稳定稳态兼容的参数空间范围的中心。重要的是，图3还显示，系统离最大全球竞争边界（^ρ）越近，导致所有国家处于正稳定状态的参数空间越窄，反过来系统的结构稳定性越低。这表明，随着国家间全球竞争的加剧，该体系的结构稳定性降低。由于全球竞争水平（ρ）是国家间共享资源的函数，因此了解资源的再分配是否会增加或减少全球竞争水平，进而影响系统的结构稳定性是很重要的。

为了捕捉这些影响，我们量化了备选机构间资源竞争网络（从随机生成的资源代理系统中提取，详见附录B）中相对于观察到的机构间竞争网络计算的全球竞争水平（ρ）的全球竞争水平（ρ）*).这意味着当ρ/ρ*> 1，反之亦然，当ρ/ρ*< 1.在替代竞争网络预期保持每个国家观察到的资源分布的情况下，我们发现全球竞争水平相对于观察到的网络有所增加（见图4中的黑色符号）。这些发现支持标准宏观经济理论（10、12、13），该理论认为，社会经济系统的观测特征应该优化当前的经济约束。然而，在不保留每个国家的资源分布的情况下，我们发现国家间的异质性越低（通过每个国家的资源标准偏差衡量），竞争水平ρ/ρ越低*< 1反过来，系统的结构稳定性越高（见图4）。这些结果表明，机构间资源竞争网络是调节与系统中所有国家的正稳定状态相容的条件范围的一个重要因素。此外，我们的发现表明，系统的结构稳定性与资源竞争水平和资源分布的异质性密切相关。3.3风险评估为了进一步深入了解影响全球社会经济系统结构稳定性的因素，我们探讨了资源分布和可用性快速变化后，各个国家的相关风险。

根据经济学理论（10、12、13），我们将快速变化称为扰动，其发生速度可能快于系统适应新的社会经济条件。具体而言，我们使用蒙特卡罗方法来量化一个国家保持正稳定状态（N）的概率*i> 0）当系统受到不同类型的干扰时。具体而言，扰动是由承载能力结构向量的随机偏差、全球竞争的不同水平以及代理间资源竞争网络的变化产生的。为了探索与资源可用性的快速变化相关的风险，在我们对运载能力的结构向量引入比例随机扰动之前，使用微扰向量作为初始参数K，在观察到的竞争网络上模拟动力学模型，调查一个国家保持正稳定状态的时间分数，作为其资源数量的函数。有趣的是，图5a显示，所有国家保持正稳定稳定状态的概率几乎相同，无论其资源数量如何。然而，这种可能性随着系统中全球竞争水平的增加而降低（见图5a），与我们之前在网络层面的结果相呼应。此外，我们还通过资源代理系统随机改变代理间资源竞争网络，探索与资源分配快速变化相关的风险（见附录B）。这些变化既可以单独调查，也可以与资源可用性的变化（即结构向量的扰动）结合调查。一般来说，我们发现一个国家的初始资源数量越少，其保持正稳定状态的概率就越低（图5b-c）。

总的来说，初始资源的数量似乎存在一个饱和点，在此之后，各国无法再增加其保持积极稳定状态的机会。重要的是，这些发现表明，系统的定性行为对资源分配的快速变化高度敏感。4讨论在本文中，我们使用了一个资源竞争系统的简约模型和网络表示来研究全球社会经济系统的结构稳定性。然而，在模型生成和经验特征之间发现的惊人相似之处表明，这可能是回答全球社会经济系统结构稳定性的一个有希望的起点。我们已经使用结构稳定性的概念来研究与定性行为的稳定性相容的条件范围，在这种行为中，所有成分都可以在一段时间内自我维持。由于缺乏关于模型中经验参数值的详细信息，我们的结果没有揭示所观察到的全球社会经济系统所能容忍的实际条件范围。然而，我们的结果表明，独立于参数值，国家间的竞争水平或资源不平等程度越高，系统的结构稳定性越低。重要的是，我们的发现表明，跨国公司可以作为资源的代理，全球社会经济系统的可持续行为可以对国家公司互动的变化高度敏感。我们相信，我们的框架提供了一个新的方向，可以增进我们对社会经济体系改变和适应能力的理解。例如，虽然人口可能呈指数增长，但我们生活在有限的资源中（21）。

目前，我们可能会看到同样增长的经济发展，仅仅是因为我们还没有达到我们的总承载能力，即新的资源正在不断开发和利用。如果代理人通过数量或数量增加其承载能力，他们也可能会增加其总丰富度或财富。然而，所有代理的正稳定稳态将取决于系统中的新条件是否与相应的承载能力结构向量对齐或足够接近。新的挑战将是如何在结构向量施加的约束下处理数量有限的资源，以及如何在代理人之间提供理想的财富分配。我们的框架也可以应用于其他领域，如生物系统。事实上，生态系统因其内部和外部压力而不断变化。例如，结构稳定性的概念已被应用于共生系统，以调查是否存在一些网络特征，可以增加物种共存的可能性（17）。本研究中使用的资源竞争系统在生态学中被广泛用于描述物种间的资源竞争（22）。这表明，我们的发现也可以为影响捕食者之间竞争的因素提供新的线索，捕食者以一组共同的猎物为食，或者植物之间争夺矿物质、水和阳光。附录A.动态竞争模型的数学推导。在本附录中，我们给出了由这组常微分方程（1）描述的动力系统的分析结果。具体而言，我们研究了稳定状态的存在性、可行性（即所有代理都具有严格的正状态）及其全局稳定性。

首先，我们证明了如果动力系统的初始条件在正象限（Rn≥0），则其轨迹也保持在正象限。这意味着我们必须只关注正象限中稳态的存在和稳定性。引理1。考虑一个由一组普通微分方程（1）给出的动力系统，初始条件为正象限（Rn）≥0），即Ni（t=0）≥ 然后系统的曲率保持在正象限，即Ni（t）≥ 0表示所有时间t≥ 0.证明。假设存在一个代理k和一个时间Tsuch，使得Nk（t=t）<0。然后，当我们的动力系统（1）的轨迹是连续的时，就存在着T<Tsuch，即Nk（T=T）=0。这意味着在时间t时，NK的导数消失，即dNkdt | t=t=0。此外，这个等式独立于niforall i6=k的值。因此，我们得到了Nk（t≥ T） =0，尤其是Nk（T=T）=0。这个矛盾证明了引理。回想一下，稳态N*如果N，则称为正*i> 0表示所有试剂i。任何正稳态都是通过定义以下线性方程K=βN的解*.因此，为了更好地定义正稳态，我们需要假设竞争矩阵β是非奇异的，即det（β）6=0。接下来，我们证明了正稳态是全局稳定的当且仅当竞争矩阵β的特征值是严格正的。注意，通过定义我们的竞争矩阵β是对称的，那么所有特征值严格为正的条件等价于严格为正的定义。回想一下，稳态N*如果N，则称为阳性*i> 0代表所有代理i.引理2。假设存在正稳态，即存在N*如此*i> 0和K=β·N*, 竞争矩阵是非奇异的。

然后，该稳态在严格正象限Rn>0内渐近全局稳定，当且仅当对称竞争矩阵β为严格正定义。证据<== 在参考文献（24）中，Goh引入了一个Lyapunov函数，证明了任何正稳态N在Rn>0的域中的全局渐近稳定性*i> 在矩阵β是Lyapunov对角稳定的条件下。矩阵β是Lyapunov对角稳定的，存在严格正的对角矩阵D，使得Dβ+βTD是严格正的。在我们的例子中，β已经是严格的正定义，那么它也是Lyapunovdiagonal稳定的。因此，任何正稳态都是全局稳定的。这证明了Lemma从右向左==> 假设正稳态N*i> 0是渐近全局稳定的。这意味着在det（β）6=0的假设下，雅可比矩阵的特征值具有严格的负实部。正稳态下的雅可比矩阵由矩阵J=-D（a）β，其中D（a）是由向量a的元素构成的对角矩阵。a的元素是严格正的，由ai=ri/KiN给出*i、 通过相似变换，矩阵xd（a）β的特征（也称为惯性）等于矩阵D（a）1/2βD（a）1/2的特征。实际上，通过相似变换，我们有以下等式：签名（D（a）β）=签名（D（a）βD（a）1/2D（a）-1/2）=签名（D（a）1/2βD（a）1/2）。此外，由于β是对称的，西尔维斯特定律意味着签名（D（a）1/2βD（a）1/2）=签名（β）。因此，β的特征值都是严格正的，这证明了引理是从右向左的。引理2意味着，如果我们想要正稳定状态的全局渐近稳定性，我们必须限制全局竞争的水平u，使得矩阵β的所有特征值都是严格正的。

实际上，对于u=0，矩阵β的特征值等于1。由于特征值是u的连续函数，因此存在一个临界水平^u，最低特征值等于零。因此，对于区间0的全球竞争水平≤ u<^u，正稳态是渐近全局稳定的。前面的引理建立了正平衡状态的全局渐近稳定性条件。然而，承载能力K的所有向量都不存在正稳态∈ 注册护士。事实上，存在与正稳态相容的承载力向量子集。该子集定义为FD={K∈ Rn |存在N*i> 0，使得Ki=PjβijN*j} 。该子集可以简单地表示为向量vk=βek（ek是Rn的标准正交基的向量），FD={λv+·λ+λnvn |λ，·λn>0}的严格正线性组合。由于矩阵β的元素都是正的，这意味着向量vk的所有元素都是正的，反过来，这也意味着导致正平衡状态的承载能力向量的所有元素都是正的，即FD 注册护士≥0在下一个引理中，我们研究了正等式Rn中稳态的存在性和稳定性≥0对于承载能力K的任何向量。首先，让我们注意到，在不丧失普遍性的情况下，我们总是可以假设稳态具有以下形式N*=（0，···，0，N*m+1，··，N*n |{z}>0）T.事实上，这种形式总是可以通过对试剂重新编号来实现，使第一个m是非正的，最后一个n-m是积极因素。引理3。

考虑对称竞争矩阵β是严格正定义的。然后，对于承载力K的所有向量∈ Rn，存在一个且只有一个稳定状态，以N的形式书写而不失普遍性*= （0，···，0，N*m+1，··，N*n |{z}>0）T，在域中全局渐近稳定Ohm = Rm≥0∪注册护士-m> 0。此外，正象限Rn中的所有其他稳定状态≥他们不稳定。最后，该稳定稳定状态的值仅由竞争矩阵β和承载能力向量K确定。1.以N为例*= （0，···，0，N*m+1，··，N*n |{z}>0）是一个稳态。然后，在该稳态下计算的雅可比矩阵由以下2×2块矩阵给出：J=-D（b）Pjβ1jN*J- K0 0 . . . 0。。。。。。。。。。。。。。。。。。0 . . .PjβmjN*J- Km0。0N*m+1βm+1,1。N*m+1βm+1，mN*m+1βm+1，m+1。N*m+1βm+1，n。。。。。。。。。。。。。。。。。。N*nβn，1。N*nβn，mN*nβn，m+1。N*nβn，n.向量b的元素是严格正的，由bi=ri/Ki给出，矩阵D（b）是由向量b的元素构成的对角矩阵*局部稳定当且仅当ifPjβijN*J- Ki>0代表我的全部∈ {1，···，m}，以及子矩阵特征值的实部bm+1N*m+1βm+1，m+1。bm+1N*m+1βm+1，n。。。。。。。。。bnN公司*nβn，m+1。bnN公司*nβn，n绝对是积极的。后一个条件自动满足，因为矩阵β对称且严格正定义。然后，给出了N的存在条件和局部稳定性*可以总结为：N*我≥ 0，XjβijN*J- Ki公司≥ 0和N*i（XjβijN）*J- Ki）=0，对于所有代理i，如果Ni=0.2，则第二个不等式是严格的。

我们记得向量N*是由竞争矩阵β和承载能力向量K定义的线性互补问题（26）的解，如果它满足以下不等式：*我≥ 0，XjβijN*J- Ki公司≥ 0和N*i（XjβijN）*J- Ki）=0。此外，在我们的例子中，竞争矩阵β是严格正定义的，线性互补问题（27）存在且只有一个解。我们证明了由竞争矩阵β和承载能力向量K定义的线性互补问题的解在域中是全局稳定的Ohm = Rm≥0∪ 注册护士-m> 0。证明基于Goh在参考文献（28）中引入的以下Lyapunov函数：V（N）=mXi=1diNi+nXi=m+1di镍- N*i+N*伊洛格宁*我,用严格的正数。显然，我们有V（N）≥ 0，作为N*我≥ 0安德尼- N*i+N*伊洛格宁*我≥ 就我所知，0∈ {m+1，··，n}。此外，V（N）=0当且仅当N=N时*. 让我们计算它对时间的导数。我们得到了dvdt=mXi=1diriKiNifi+nXi=m+1diriKi（Ni- N*i） fi，其中fi=Ki-Pnj=1βijNj。因为我∈ {m+1，···，n}，考虑这样一个事实，即Ki=Pni=1βijN*j、 然后我们可以写FIA:fi=-Pnj=1βij（Nj-N*j） 。因为我∈ {1，···，m}，我们重写filike:fi=Ki-Pnj=1βijN*J-Pni=jβij（Nj- N*j） 。将这两个表达式代入李雅普诺夫函数的导数，我们得到dvdt=mXi=1diriKidiNi（Ki-nXj=1βijN*j）-nXi=1riKidiNi（镍）- N*i） βij（Nj）- N*j） 。右侧的第一项总是负值，实际上，Ni≥ 0和我∈{1，···，m}我们有Ki-Pnj=1βijN*J≤ 0.右边的第二项总是严格的正的。事实上，如果我们设置di=Kiri，那么它是由严格正定义的矩阵竞争矩阵β定义的二次型。因此，在该领域Ohm, 我们的dvdt<0。