线性随机市场模型的最优投资策略

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英文标题：
《Optimal strategies of investment in a linear stochastic model of market》
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作者：
O.S. Rozanova, G.S. Kambarbaeva
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study the continuous time portfolio optimization model on the market where the mean returns of individual securities or asset categories are linearly dependent on underlying economic factors. We introduce the functional $Q_\\gamma$ featuring the expected earnings yield of portfolio minus a penalty term proportional with a coefficient $\\gamma$ to the variance when we keep the value of the factor levels fixed. The coefficient $\\gamma$ plays the role of a risk-aversion parameter. We find the optimal trading positions that can be obtained as the solution to a maximization problem for $Q_\\gamma$ at any moment of time. The single-factor case is analyzed in more details. We present a simple asset allocation example featuring an interest rate which affects a stock index and also serves as a second investment opportunity. We consider two possibilities: the interest rate for the bank account is governed by Vasicek-type and Cox-Ingersoll-Ross dynamics, respectively. Then we compare our results with the theory of Bielecki and Pliska where the authors employ the methods of the risk-sensitive control theory thereby using an infinite horizon objective featuring the long run expected growth rate, the asymptotic variance, and a risk-aversion parameter similar to $\\gamma$.
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中文摘要：
我们研究了在单个证券或资产类别的平均收益与潜在经济因素线性相关的市场上的连续时间投资组合优化模型。当我们保持因子水平的值固定时，我们引入了功能性的$Q\\u\\gamma$，其特征是投资组合的预期收益率减去与系数$\\gamma$成比例的惩罚项。系数$\\γ$起着风险规避参数的作用。我们找到了在任何时刻都可以获得的最优交易头寸，作为Q_\\gamma$的最大化问题的解。对单因素情况进行了更详细的分析。我们给出了一个简单的资产配置示例，其特点是利率会影响股票指数，也可以作为第二个投资机会。我们考虑了两种可能性：银行账户的利率分别由Vasicek type和Cox Ingersoll-Ross dynamics控制。然后，我们将我们的结果与Bielecki和Pliska的理论进行比较，其中作者采用了风险敏感控制理论的方法，从而使用了具有长期预期增长率、渐近方差和类似于$\\ gamma$的风险规避参数的无限期目标。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> Optimal_strategies_of_investment_in_a_linear_stochastic_model_of_market.pdf (1.79 MB)

2022-5-18 18:31:12 上传

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关键词：投资策略 Optimization maximization respectively proportional

线性随机市场模型中的最优投资策略。S、 Kambabaeva和O.S.ROZANOVAAbstract。我们研究了市场上的连续时间投资组合优化模型，其中单个证券或资产类别的平均收益与潜在经济因素线性相关。我们引入了函数Qγ，其特征是当我们保持因子水平的值固定时，投资组合的预期收益率减去与系数γ成比例的惩罚项。系数γ起着风险规避参数的作用。我们找到了在任何时刻都可以作为Qγ最大化问题的解获得的最佳交易头寸。我们将对单因素进行更详细的分析。我们给出了一个简单的资产配置示例，其特点是利率会影响股票指数，也可以作为第二个投资机会。我们考虑了两种可能性：银行账户的利率分别由Vasicek类型和Cox Ingersoll-Ross dynamics控制。然后，我们将我们的结果与Bielecki和Pliska的理论进行比较，其中作者采用了风险敏感控制理论的方法，从而使用了具有长期预期增长率、渐近方差和类似于γ1的风险规避参数的有限期目标。简介为了满足投资者的利益和平衡风险与绩效的特定投资目标，做出投资组合决策的艺术被称为投资组合管理（投资组合是由同一个人或组织分配的投资的集合）。投资组合选择的现代研究始于马科维茨[28]，[29]的著作。他展示了如何将投资组合的方差最小化，并将其约束为预期收益等于二次规划的规定水平。

这样一个最优投资组合被称为方差最小化，如果它在所有收益率相同的投资组合中也能实现最大的预期收益，那么它就是有效的。有相当多的研究涉及考虑最优投资决策的资产随机过程模型。一些研究人员（如Merton【31】、Karatzas【25】）利用随机控制理论开发了连续时间投资组合管理模型，其中资产建模基于随机过程，但忽略了金融和经济因素。与此同时，大量实证研究（如[34]、[33]、[20]）提供了证据，证明失业率、通货膨胀率、股息率、工业生产变化、利率等宏观经济因素对股票回报有影响。Lucas【27】介绍了一种离散时间模型，其中包括随机过程模型作为因素。Brennan、Schwartz和Lagnado[7]认为这些因素是不同的。日期：2000年数学学科分类。初级35L65；中学35L67，76L05。关键词和短语。风险敏感控制，最优投资组合，市场的线性随机模型，Vasicek和CIR利率，战术资产配置。2 G.S.Kambabaeva和O.S.Rozanova将过程和资产视为相关的布朗运动，资产价格的漂移和差异被视为因子水平的确定函数。他们的目标是在最终日期最大化财富的预期效用。Brennan-Schwartz-Lagnado方法的一个关键限制是，不可能获得最优策略的可处理公式。在过去的几十年里，风险敏感控制在资产管理中的应用非常普遍。

风险敏感控制不同于传统的随机控制，因为它明确地将决策者的风险厌恶建模为控制框架的一个组成部分，而不是通过外部定义的效用函数将其引入问题中【41】。Lefebvre和Montulet[26]首次将风险敏感控制应用于解决财务问题，Fleming[16]首次将其应用于投资组合选择。Bielecki和Pliska[4]首次将连续时间风险敏感性控制作为一种实用工具应用于解决“现实世界”的投资组合选择问题。在T.Bielecki、S.Pliska等人的一系列工作中，（[4]、[5]等）致力于研究有限期连续时间风险敏感的投资组合优化问题。作者考虑了一个类似于Brennan SchwartzLagnado one[7]的市场模型，其中单个证券的平均回报率明显受到基本经济因素的影响，如股息收益率、企业股本回报率、利率和失业率。这些因素是随机过程，证券的贴现系数是这些因素的线性函数。Bielecki和Pliska的理论的主要结果是构建了可接受的交易策略，该策略在因子水平上具有简单的特征。结果以两种资产配置的简单但重要的例子进行了说明，金融经济学家对此有着独立的兴趣。这里的资产之一是银行账户，唯一的因素是Vasicek类型的利率。Vasicek利率模型是线性的，这为获得最优策略的显式公式提供了可能性。Bielecki和Pliska提出的策略指的是策略集分配。

[7]战略资产配置的主要目标是创造一种资产组合，在长期投资期的预期风险和回报之间提供最佳平衡。在本论文中，我们提出了另一种资本配置方法，在这种方法中，投资者采取更积极的方法，试图将投资组合定位到那些显示出最大潜在损失的资产、部门或个股。该模型涉及战术资产配置（例如[35]）。我们的策略在因素水平方面也很简单，但与Bielecki-Pliska模型相比更灵活，可以在所有投资时间内实施。此外，我们不仅得到了因子线性模型（特别是Vasicek利率模型）的显式公式，而且得到了更复杂的公式，如Cox-Ingersoll-Ross模型。本文总结并推广了[21]、[22]、[23]的结果。本文的组织结构如下。以秒为单位。2.我们描述了线性市场的模型，其中我们将考虑资本的分配。以秒为单位。3.我们给出了Bielecki和Pliska理论的一个结果，并写出了它们的显式优化策略。第。4包含辅助结果：找到一对随机微分方程的条件期望和条件方差的算法。为了找到这些值，我们必须求解两个随机值的联合概率密度的福克-普朗克方程。我们证明了有两种方法可以解决这个问题。第一种方法使用ansatz作为解决方案，从而将问题简化为在市场方程的线性模型中求解一个由普通差分投资策略组成的非线性系统。

第二种方法是指傅里叶分析的应用。以秒为单位。5.我们建立了固定时间投资组合选择问题，并给出了求解该问题的一般算法。以秒为单位。6我们考虑线性利率的情况（Vasicek模型）。首先，我们以前面提到的由两种资产组成的投资组合为例，解决了固定时间优化问题。然后，我们发现，对于不同的因子初始分布，随着时间的推移，证券投资资本比例的渐近性趋于一致。我们详细讨论了两种和三种风险资产的情况，并讨论了模型参数对策略的影响。最后，我们将我们的资产配置与比列斯基和普利斯卡长期战略的类似资产配置进行了比较。第。7讨论了利率的Cox-Ingersoll-Ross模型，我们考虑了由两种资产组成的投资组合的情况。以秒为单位。8我们比较了两种利率模型下由两种资产组成的投资组合的固定时间最优策略，并得出结论，在某种意义上，Cox-Ingersoll-Ross模型更可取。这项工作中出现的公式有时非常繁琐，我们无法写出它们。为了获得它们，我们使用了计算机代数系统MAPLE。2.随机市场模型我们在M的市场模型框架下研究了一个投资组合优化问题≥ 2资产和n≥ 1 T.Bielecki和S.Pliska使用的系数（例如[4]、[5]）。下面我们描述一下这个模型。让(Ohm, {Ft}t≥0，F，P）是基本概率空间。

用Si表示，i=1。。。，m第i种证券的价格，由Xj计算，j=1。。。，在时间t的j-thfactor水平上，我们考虑以下证券价格和因素动态的市场模型：dSi（t）Si（t）=（Ai+nXp=1αipXp（t））dt+m+nXk=1σikdWk（t），Si（0）=Si>0，i=1。。。，m、 （2.1）dXj（t）=（Bj+nXp=1βjpXp（t））dt+m+nXk=1λjkdWk（t），Xj（0）=Xj，j=1。。。，n、 （2.2）其中，W（t）是一个具有分量swk（t）的Rm+n值标准布朗运动过程；X（t）是包含分量Xj（t）的Rn值因子过程；市场参数A:=[Ai]、B:=[Bj]、α：=[αip]、β：=[βjp]、∑：=[σik]、∧：=[λjk]适当维度的矩阵。根据[24]（第5章），对于（2.1）、（2.2）存在唯一的强解，且过程Si（t）的概率为1。设Gt：=σ（（S，X（S）），0≤ s≤ t） ，其中S（t）=（S（t）。。。，Sm（t））是证券价格过程。设h（t）=（h（t）。。。，hm（t））表示一个Rmvalued投资过程或策略，其组成部分hi（t）代表在t时投资于证券i的资本比例。我们根据[4]定义了可接受的投资策略。4 G.S.Kambabeva和O.S.ROZANOVADe定义2.1。如果满足以下条件，投资过程h（t）是允许的：（i）mXi=1hi（t）=1；（ii）h（t）是可测量的，Gt-适应；（iii）P[ZthT（s）h（s）ds<∞] = 所有人1个≥ 0.可容许投资策略的类别将用H表示。设H（t）为可容许投资过程。然后，存在一个唯一、有力且几乎肯定的正解V（t）：dV（t）=mXi=1hi（t）V（t）”（Ai+nXp=1αipXp（t））dt+m+nXk=1σikdWk（t）#，V（0）=V>0。（2.3）过程V（t）表示投资者在t时的资本，其中hi（t）表示投资于证券i的资本比例。备注2.1。

在[13]中，线性市场模型被扩展到由布朗运动和泊松随机测度驱动的SDE所代表的资产价格，漂移是辅助扩散因子过程的函数。3.Bielecki和Pliska的最优投资策略[4]一种新的投资组合优化模型，用于考虑m≥ 2受n影响的资产≥ 1 Bielecki和Pliska介绍了财务和经济因素。也就是说，他们考虑了以下函数jθ：=lim inft→∞Qθ（t）t，Qθ（t）：=-2θlne（E）(-θ/2）ln V（t）），θ>-2, θ 6= 0.Qθ围绕θ=0的泰勒展开式sqθ（t）=E（lnv（t））-θVar（lnv（t））+O（θ），（3.1），因此Jθ可以解释为长期预期增长率减去惩罚率，误差与θ成正比。惩罚项也是成比例的θ，因此θ被解释为风险敏感参数或风险规避参数，θ>0和θ<0分别对应于风险规避和风险寻求投资者，θ=0为风险零。Bielecki和Pliska[4]提出解决以下风险敏感性最优投资问题族，标记为（Pθ）：对于θ∈ (0, ∞) 最大化风险敏感预期增长率jθ（v，x；h（·））=lim inft→∞-2θt-1ln E[E](-θ/2）ln V（t）| V（0）=V，X（0）=X]，在所有容许投资过程h（·）类上，根据定义1.3，其中V（t），X（t）服从方程（2.3），（2.2）。（·）t换位运算符的标准（·）和Var（·）是概率空间中的期望和方差(Ohm, {Ft}t≥作者注意到Jθ对资本过程V（t）有一个大偏差型泛函。

对于最大化的实际资本增长率θ>0，利益最大化的投资者的预期增长率保护了最大化的预期增长率θ。备注3.1。在θ<0的情况下，问题（Pθ）可以类似于θ>0的情况来解决。θ=0的情况被单独视为极限情况θ→ 0.在[4]中提出了一种算法，用于寻找最优投资策略Hθ以及相应的最大值Jθ，标记为ρ（θ）。为了展示与这些投资问题有关的主要结果，作者引入了θ的以下符号≥ 0和x∈ Rn:Kθ（x）：=infh∈χ、 1Th=1θ+ 1hT∑Th- hT（A+αx）, （3.2）其中（A+αx）表示分量为（A+αx）i=（Ai+nXp=1αipxp）的向量。他们还做出了以下假设：假设3.1。χ=rN假设3.2。limkxk→∞Kθ（x）=-∞ 对于θ>0。这里k·k是Rn中的标准值。假设3.3。矩阵∧∧为正定义。假设3.4。矩阵∑∧为零。备注3.2。（i） 注意，如果∑∑为正定义，则假设3.2由假设3.1（ii）隐含。假设3.1-3.4对以下结果有效，但假设3.2不是必需的（见[5]，第4节）。以下两个定理包含了关于问题（Pθ）解的关键结果。定理3.1。[4] 假设3.1-3.4。对于θ>0的固定值，让Hθ（x）表示（3.2）中的最小选择器，即isKθ（x）：=θ+ 1Hθ（x）T∑THθ（x）- Hθ（x）T（A+αx）.那么投资过程hθ对于问题（Pθ）是最优的，其中T≥ 0hθ（t）=Hθ（X（t））。（3.3）定理3.2。[4] 假设3.1-3.3，考虑θ>0的固定值的问题（Pθ）。设hθ（t）满足定理3.1。然后（1）对于所有v>0 x∈ Rnwe haveJθ（v，x；hθ（·））=limt→∞-2θT-1ln E[E](-θ/2）ln V（t）| V（0）=V，X（0）=X]：=ρ（θ）。6 G.S.Kambabaeva和O.S。

ROZANOVA（2）常数ρ（θ）是唯一的非负常数，它是以下方程的解（ρ（θ），v（x；θ））的一部分：ρ=（B+βx）Tgradxv（x）-θnXi，j=1v（x）xiv（x）xjn+mXk=1λikλjk++nXi，j=1v（x）xixjn+mXk=1λikλjk- Kθ（x），v（x）∈ C（Rn），limkxk→∞v（x）=∞, ρ=常数。（3.4）仍需考虑θ=0对应的情况。这是使投资组合的预期增长率最大化的经典问题，即对数效用函数下的增长率（参见Karatzas[25]）。这个问题被标记为（P）并表示为：最大化函数j（v，x；h（·））=lim inft→∞T-1根据定义1.3，在所有可容许投资过程h（·）类上的n E[ln V（t）|V（0）=V，X（0）=X]，其中V（t），X（t）由等式（2.3）、（2.2）描述。结果表明，要求解（P），需要做三个额外的假设：假设3.5。对于每个θ≥ 0（3.2）中定义的函数Kθ（x）为二次形式Kθ（x）=xTK（θ）x+K（θ）x+K（θ），其中K（θ），K（θ）K（θ）是仅取决于一个θ的适当尺寸的函数。假设3.6。对于每个θ≥ 0矩阵K（θ）是对称的负定义。假设3.7。组分为βjpin（2.2）的n×n矩阵β是稳定的。备注3.3。（i） 假设3.5满足，例如，矩阵∑∑t非奇异且χ=Rn。（ii）根据【3】假设，3.5表示limθ→当i=1,2,3时，0Ki（θ）=Ki（0）。为了建立风险中性问题（P）和风险敏感问题（Pθ）之间的关系，θ>0，我们考虑以下方程：ρ（0）=（B+βx）Tgradxv（x）+nXi，j=1v（x）xixjn+mXk=1λikλjk- K（x），v（x）∈ C（Rn），limkxk→∞v（x）=∞, ρ（0）=常数。（3.5）以下两个结果是正确的：定理3.3。[4] 假设3.3-3.7。然后（P）的最优策略如定理3.1中的θ=0，以及定理3.2中的最优目标值ρ（0）=ρ（θ）中的θ=0。