不平等的统计模型

为了描述这种不稳定的情况，对于1≤ M≤ N、 letAm=α+··+αmm，（2.21），因此Amis是经济中最富有的m户家庭的平均相对财富增长率。定理2.4。假设回复率为α+·+·αk≥ 0，对于某些k<N，存在一些m<N，因此am=max1≤K≤NAkand Am>Alfor l 6=m.（2.22）在这种情况下，排名靠前的家庭成员的子集存在稳定的财富分布SW（1），w（m），以及该顶级家庭所占的总财富份额→∞θ（1）（T）+··+θ（m）（T）=1，a.s.（2.23）家庭顶层人口财富的稳定分布w（1），w（m）用定理2.3描述，参数αkde定义为不同等级家庭财富增长率相对于该组家庭持有的总财富增长率的时间平均极限（与方程（2.16）相同，但用u（t）替换为w（1）+····+w（m）的增长率）和波动参数σ，σm-1改变。这部分富裕家庭形成了一个独立的稳定分布，最终在经济中拥有所有财富。在这一分化过程中，这一最顶层的家庭成员逐渐与其他人口分离，因此最终群体之间不再有更多的流动性。正如我们将在第3节中解释的那样，定理2.4的不同情景实际上可能与美国财富分配的当前轨迹有关。这个定理描述了一种特别明显的分歧形式，其中一些富人家庭的财富持有量增长速度超过了经济体的总财富。事实上，即使所有家庭的财富增长率相同，财富分布也不稳定，因此没有哪个家庭的增长速度比其他任何家庭都快。

就基于rank的相对增长率αk而言，这意味着α=···=α，因此所有反转率都等于零。Fargione et al.（2011）和Fernholz and Fernholz（2014）都对这种特殊情况进行了详细分析，后者表明，在这种情况下，财富随着时间的推移变得越来越集中，最高财富份额的时间平均极限θ（1）收敛到1。不太可能但也可能存在两个或两个以上的最大值，因此对于某些L6=m，Am=Alf。在这种情况下，仍然存在一个不同的家庭子集，尽管等式（2.23）必须更改为时间平均限值。该发散子集由平均相对增长率最大的最小家庭子集组成。参见Fernholz和Fernholz（2014）的证明。关于这个迁移率结果的证明，参见附录B中定理2.4的证明。3实证应用我们希望对几个应用使用第2节的实证方法。这种方法的优点之一是，它可以复制任何经验分布。在本节中，weestimate the nonparametric model using the detailed new uss wealth distribution data of SAEZ and Zucman（2014），使用Saez和Zucman（2014）的美国财富分布新数据对非参数模型进行估计。然后，我们使用这个估计模型来分析不平等的未来趋势，并在对未来的不同假设下考虑累进资本税的分配效应。3.1估算模型在本文中，我们将经济中的家庭数量N设置为一百万。这一数字平衡了现实主义需求与在合理时间内执行计算和模拟的需求。此外，随着经济中家庭数量的增加，我们的所有结果都没有根本改变。根据定理2.3中的方程式（2.20），对于所有k=1。

N- 1.限制→∞TZT对数θ（k）（t）- 对数θ（k+1）（t）dt=σk-4（α+···+αk），a.s.（3.1）该方程建立了通过对数θ（k）（t）的时间平均极限测量的不等式之间的简单关系- log^θ（k+1）（t），基于秩的回复率，-αk和基于银行的波动率σk。如第2节所述，我们假设等式（3.1）大致描述了财富份额θ（k）的真实版本。理想情况下，我们将使用有关单个家庭财富持有量随时间变化的详细面板数据来估计数量α和σk，然后确认这些估计复制了观察到的财富份额θ（k）。当然，这是一组关于美国家庭财富持有情况的全面面板数据。美国还不存在。考虑到这些数据的局限性，我们选择使用财富份额θ（k）和基于排名的波动率σkt的估计值来推断基于排名的波动率αkvia方程（3.1）的值。我们使用了Saez和Zucman（2014）的财富份额数据，因为其非常详细，尤其是对于topshares。然而，应注意的是，本节所述的模型估算程序可适用于任何财富分配。这是Fernholz（2002）的方法，他表明类似的模型准确地复制了美国股票总市值的分布。该过程的第一步是生成基于秩的波动率σk的估计值。根据方程（2.17），这些波动率对应于过程对数θ（k）的二次变化的时间平均限值- logθ（k+1），用于衡量财富分布中相邻家庭的相对财富持有量。没有研究直接估计美国家庭财富持有量，但有研究估计劳动力收入的波动性和资本收益的特殊成分。

我们将使用这些估计来构建RelativeWalth控股的波动性估计。为了得出这些估计值，请考虑家庭财富持有量、资本收入、劳动收入和消费之间的动态关系。如果我们让λi、ci和ridenote分别为家庭i=1的税后劳动收入、消费和税后申报过程，N、 然后，每个家庭的财富随时间的变化由dwi（t）=wi（t）ri（t）dt+（λi（t）给出- ci（t））dt=wi（t）ri（t）+λi（t）- ci（t）wi（t）dt。（3.2）因此，为了估计对数家庭财富持有量的波动性，我们需要估计特殊税后投资回报和税后劳动收入减去消费（储蓄）的特殊波动性，后者的波动性相对于总财富持有量进行表示。初级住房和私人股本的所有权是受特殊风险影响的不可参保投资的有据可查的例子。继Angeletos（2007年）、Benhabib等人（2011年）、Fernholz（2015年）和许多不断增长的宏观经济文献以特质资本收益风险为特征之后，我们将特质投资回报的标准差设定为0.2。该值来自Flavin和Yamashita（2002年）、Case和Shiller（1989年）对初级住房所有权的实证分析，以及Moskowitz和Vissing Jorgensen（2002年）对私募股权的实证分析。衡量税后劳动收入中特质波动的波动性——相对于总财富持有量而言，消费减少更为困难。事实上，没有直接衡量这种波动性的研究。出于我们的目的，我们希望对这种波动性进行低估计和高估计，因为它取决于家庭财富持有量，因此在财富分布中会有所不同。

为了构建这些估计值，我们首先遵循Guvenenet等人（2015年），并将原木劳动收入变化的标准偏差设定为0.5。我们将该数据与Diaz GimKenez等人（2011年）报告的2007年消费者金融调查的收入和财富持有数据相结合，构建劳动收入相对于财富持有的波动性估计值，我们假设其等于税后劳动收入减去消费相对于总财富的特殊波动性。有意地，这些估计可能会夸大真实的波动性，因为他们假设劳动力收入的所有波动都是特殊的，并且会导致劳动力收入减去消费的相应波动（消费没有变化）。如果我们将劳动力收入消费相对于总财富持有量的特殊波动的估计标准差添加到特殊投资回报的估计标准差0.2中，则我们获得了基于秩的可用性σk的高估计值。这些高估计值在表1的第三列中报告。我们还应考虑σk的低估计值，其中我们假设劳动收入减去消费的特质波动不存在，因此基于等级的波动率等于√0.2+0.2=0.28。这些较低的估计值在表1的第二列中报告。综上所述，σkC的低估计和高估计是基于秩的波动率的一系列合理值。这一大范围反映了存在的实质性不确定性，即过程θ（k）的真实波动性- θ（k+1），衡量财富分布相邻家庭的相对财富持有量。

然而，尽管存在这种不确定性，这些σkvery的低估计和高估计可能为这些参数的真实值提供下限和上限。事实上，所有可用的经验证据都表明σkar的真实值高于我们的低估计值，低于我们的高估计值。更准确地估计这些基于等级的波动率的未来工作将有助于缩小这一范围。估计模型和匹配美国财富分布的最后一步是输入横截面均值回归的值-α-库辛方程（3.1）。通常，这很简单，因为N的系统- 1方程（3.1）以及α+····+αN=0的事实产生了一个解。在这种情况下，问题在于没有财富份额数据来报告经济体θk中每个家庭的财富持有量。更准确地说，这些估计是通过将劳动收入减去消费相对于财富持有总量的特质波动的估计方差与异质投资回报的估计方差相加得出的，乘以2，然后取平方根。这意味着σkalso的这些估计意味着逆转率的一系列合理值-αk，因为这些值是使用σk和财富份额θ（k）的估计值推断出来的。事实上，Saez和Zucman（2014）的数据只报告了美国少数家庭的财富持有情况。为了填补缺失的财富份额数据，我们假设财富的帕累托分布类似于帕累托分布，其中帕累托分布的参数在不同的家庭成员子集之间以与数据匹配的方式变化。事实上，正如Saez和Zucman（2014）所报告的那样，我们发现，通过改变三个家庭子集的帕累托参数，可以实现与2012年美国财富分布的近乎完美匹配。

以这种方式更改帕累托参数相当于假设家庭等级与家庭财富持有量的对数-对数图由三条具有不同斜率的连接直线组成。图1显示了与2012年美国财富分布最接近的此类图。该图显示了对数财富份额θ（k）的值与对数银行k的值。一旦家庭财富份额θkare设置，基于排名的回归率-通过求解N的系统αkareinfer- 1方程式（3.1）。在标准帕累托分布的情况下，如图1所示的对数图显示为单条直线，斜率等于帕累托参数的倒数。我们的方法略为一般，倾向于将财富的稳定分布限制为帕累托分布或对数正态分布，因为它允许模型更紧密地复制财富的经验分布。这种提高的准确性和灵活性突出了该模型的一个优点。此外，即使我们将财富的稳定分配限制为共同分配，我们的基本定性结果仍保持不变。3.2美国财富分布现状和未来上一小节所述的模型估算过程可适用于任何经验财富分布。此过程生成基于排名的版本率的隐含值-αkusing wealth共享数据和波动率σk的估计值。因此，如果我们使用2012年美国。

Saez和Zucman（2014）的财富份额数据——最近一年，这些数据与我们在表1中报告的σkas的高低估计值一起，更具体地说，0.01%的最高家庭有一条直线，这条直线与另一条直线相连，0.01-10%的最高家庭有不同的斜率，这条线与第三条直线相连，对于最底层90%的家庭来说，这条线具有不同的坡度。这种分布相对于2012年美国财富的真实分布产生了略高于0.5%的总体绝对误差。虽然可以在更多的家庭中改变这种斜率，但我们的方法在不改变模型的基本结果或预测的情况下平衡了简单性和准确性。然后，这将为基于排名的回复率生成低值和高值。这些逆转率与2012年美国稳定的财富分布完美匹配。然而，正如Saez和Zucman（2014）的财富份额数据所表明的那样，2012年美国财富分配不太可能保持稳定。事实上，稳定的分布是指财富份额不会随时间呈上升或下降趋势，但这些数据表明，自20世纪80年代中期以来，美国0.01%和0.01-0.1%的顶级家庭所占的财富份额一直保持稳定。我们的方法提供了几种解决这些稳定性问题的方法。最重要的是，可以使用第2节的经验方法估计未来稳定的财富分布。为了估计未来的稳定分布，我们首先观察经济中各种财富份额的变化率，然后相应地调整基于等级的相对增长率αk。

例如，如果我们观察到前1%家庭所占的总财富份额以每年1%的速度增长，那么我们必须将前1%家庭的αK值增加1%。对于所有其他家庭子集，也必须根据其在总财富中的份额随时间的变化进行类似的调整。然后，当前财富分布正在向未来稳定分布转变，由这些调整后的相对增长率αk所隐含的基于等级的回归率来确定。这种经验估计策略的优势之一是，它只取决于顶级财富份额随时间变化的速率，而不依赖于对未来的任何假设这些变化的根本原因。这些参数αkis调整背后的逻辑很简单。在稳定分布中，第k个最富有家庭的财富相对于整个经济的增长率等于αk。由于这种分布是稳定的，第k个最富有家庭所持有的财富份额θ（k）应以每年0%的速度增长。如果我们观察到θ（k）增长了1%，那么这意味着我们对αkis的估计太低了1%。事实上，如果我们对αKw的估计是正确的，那么财富的分布将是稳定的，因此任何观察到的不稳定都意味着这些估计必须进行调整。为了估计美国未来财富的稳定分布，我们应该使用均值回归的估计-αk对于2012年稳定的美国财富分布，由于该程序产生了两组100万个不同的αk值，我们无法在本文中直接报告这些估计值。当然，更直接的方法是直接使用面板数据测量相对增长率。

不幸的是，由于缺乏全面的财富持有面板数据集，这一点无法实现。调整这些估计值，以考虑不同的财富份额转型情景。我们考虑四种这样的情况。首先，我们简单地假设2012年美国的财富分配是稳定的。尽管如上所述，鉴于在过去几十年中观察到的顶级财富份额的变化，这种稳定的情况是不现实的，但这仍然是一个需要考虑的有用的基线情况。在第二种情况下，我们假设顶层0.01%的家庭所持有的财富份额每年增加1%，而底层90%的家庭所持有的财富份额每年减少0.5%。在这种情况下，没有其他家庭改变其在总财富中的份额。第三种情况假设，顶层0.01%和0.01-0.1%的家庭持有的总财富份额每年分别增加1.5%和0.5%，而底层90%的家庭持有的总财富份额每年减少1%。最后，在第四种情况下，我们假设最高0.01%和0.01-0.1%的家庭持有的总财富份额分别以每年3%和1%的速度增长，而最低90%的家庭持有的总财富份额则以每年1.5%的速度下降。这种调整基于排名的相对增长率αkt以确定调整后的回归率并估计美国未来财富稳定分布的过程可以应用于观察到的财富份额随时间的任何变化。