作为市场不平衡度量的最优交易策略

巴顿·马尔基尔（Barton Malkiel）对此持更为怀疑的态度：“在……由学生掷硬币得出的模拟股票图表中，有头部和肩部的形状、三重顶部和底部，以及其他更为深奥的图表模式”[142，p.131]。一位图表师发现一个地层非常看涨。然而，马尔基尔并不坚持认为市场是一个完美的随机游走。技术分析师需要面对基于遗传编程、神经网络、支持向量机和相关向量机、概率主成分分析、，贝叶斯优化（作为克服过度匹配的一种方法）[17]弗拉基米尔·瓦普尼克（Vladimir Vapnik）和莱克西·切沃涅基斯（Alexey Chervonenkis）[226]的工作奠定了坚实的理论基础。这里的任务是形式化模式和信号的算法定义，并自动识别它们，以进行客观的统计分析。13.4计算机生成的随机游走与a-b-c-process随机游走与价格的可见相似性可能会产生误导。利用技术放大这两个时间序列的隐藏差异是很有价值的。一个公平的共抛出，经过充分研究的伯努利试验，可以用一个统一的伪随机数生成器来模拟[121]。正态发生器[24]可用于模拟Bachelier的正态和Samuelson的对数正态时间序列。对于正规生成器，如果时间步长发生变化，则方差必须与布朗运动的时间步长成比例。对于恒定步长，可以将其缩放为一个合适的值。图17中用于生成数据的Bachelier\'s模型的有限差分方程为图17：Bachelier模型：价格和嵌入，并发现了b增量的相关维度。PZCN 1320130328=714，Pi=Pi-1+Pi，i=2。

，NZCN 13=19611，Pi=-0.001937775+0.52755×法线发生器（α=0，u=1），t=0，ti=int（t+3.8548i）；int将数字截断为较低的整数。模拟b增量和价格链取决于生成器的种子。是21325476。如果给出了生成算法，那么呈现种子是有意义的。绘制了19611个点（ti，Pi），图17左上角。虽然价格对于图表绘制者来说看起来很现实，但该模型无法再现真实a-b-c过程的许多重要特性，图18左上图：价格及其增量的离散性、限价、会话内b增量随时间变化的分布、稍后讨论的b增量的非高斯特性、波动性集群。它忽略了a增量的变化分布，并隐含了相同分布的独立正态b增量。13.5计算相关积分作者希望引起人们对两个时间序列的相关积分和维数的注意。对于时间序列x。。。，XN数据细分图18:ZCN13 20130328：价格和嵌入，并找到b增量的相关维度。大小为m的块：（x，…，xm），（xm+1，…，x2m），其中忽略了与n不匹配的少量额外点。m为嵌入尺寸。Anorm，点之间的距离，计算为N（N-1） uniques配对。然后，计算距离小于某些r的对的分数c（N，m，r）=N（N- 1） NXi=2iXj=1指示器（| ~ xi，~ xj |<r）。如果条件为真，指示器返回一，否则返回零。ThelimN公司→∞C（m，r）被称为相关积分。对于较小的r依赖性，C（m，r）vs.r通常是幂律，关联维数ν是ν=limr→0ln C（m，r）ln r。我们感谢Peter Grassberger、Itamarprocccia【71】、【72】、Floris Takens提出这些概念和公式。

N（N）的评估-1） 距离适合N≈ 20000和m≥ ES会话可能会收到50万次滴答声。这将创建无法管理的1250亿个唯一对。James Theiler发明了盒子辅助算法[217]，其复杂性达到O（N logN）。作者的C++程序gptd1和gptd实现了这两种可能性。伪随机均匀数和正态数链的计算值高达1000000点（gptd）。边坡井与嵌入尺寸一致。变化方差在双对数坐标中移动曲线，但不会改变坡度。实际b增量产生的关联维数比嵌入的关联维数低。b增量的离散性造成了分离点的水平平台，使ν的计算复杂化。在图表上，给出了最陡斜坡的尺寸。图17和图18强调了区分伪随机和实际价格增量的其他属性。14关于极限理论的一条评论称，价格变化是许多隐藏的随机因素的总和。因此，如果数字趋于一致，则它们可能遵循高斯或其他稳定定律[128][94][95][65，第76页，第86页]，[143]，[50]。稳定律是不可整除概率分布的一个子类，对极限定理很重要【58】【65，pp.73-100】【141】。不完全可分非稳定定律的一个例子是不完全伽马函数给出的分布【65，p.13】。14.1“非高斯原子”a-b-c分类意味着两个交易价格的差异是b增量和c增量的总和，方程17。交易之间的时间是a增量和c增量持续时间的总和，方程式16。例如，2013年5月30日最后一次和第一次ZBM13交易价格的差异P- P=141.68750- 141.71875=-0.03125=-δ是N=105350 b增量的总和。

他们的样本具有平均值-2.97×10-7=-9.50×10-6δ，标准偏差6.72×10-3=0.215δ，偏度0.194，峰度26.3。表4给出了经验概率质量分布。假设高斯（u=-9.5×10-6δ，σ=0.215δ）单位间隔的概率，如[-7.5、，-6.5]，中心位于第一列。分布相当对称。最后一列中为χ检验评估的峰度和天文总和证明了这些b增量的高斯假设的荒谬性，另见[192，第35页]。构成会话内价格变化的b增量不会隐藏。它们不是数学抽象，而是经验上不可分割的“非高斯分布”，限制了自相似性的范围[148]和无限可分性。14.2第一来源的智慧i.i.d.变量的有限方差保证非高斯分量接近高斯和。不同数量的总和Nj- 1折衷了金额的比较。违反i.i.d.特性的情况甚至可以是表4：b增量ZBM13，2013年5月30日，在STDEV m m/N Gaussian，p（m-Np）Np-7-32.6 2 1.90×10-54.4×10-2018.6×10-6-27.9 2 1.90×10-51.2×10-1443.2×10-5-23.3 2 1.90×10-51.4×10-972.7×10-4-18.6 1 9.49×10-67.0×10-601.4×10-3-14.0 14 1.33×10-41.5×10-311.2×10-2-9.30 59 5.60×10-41.5×10-122.2×10-1-4.65 1808 0.0172 0.010 5400 101598 0.964 0.98 26.21 4.65 1770 0.0168 0.010 4872 9.30 65 6.17×10-41.5×10-122.7×103 14.0 18 1.71×10-41.5×10-312.1×104 18.6 7 6.64×10-57.0×10-606.6×105 23.3 1 9.49×10-61.4×10-976.8×106 27.9 2 1.90×10-51.2×10-1443.2×107 32.6 0 4.4×10-2014.6×108 37.2 1 9.49×10-66.6×10-2671.4×10P105350 1 1 1.4×10找到极限分布的更严重障碍。《经典》的观点是[65，p。

13] （俄罗斯版的作者翻译）：“如果引用了关于随机变量在一个系列中的分布规律的同一性的假设，那么寻找可能的极限定律V（z）…的任务就变得毫无内容了：极限定律可以是绝对任意的……要求→ ∞ 哈桑有一个虚幻的含义：例如，它并不阻止一个求和ξnk可以发挥主导作用。“图19展示了两种不同的行为，回答“I.I.D.，还是非I.I.D”，这是问题所在。“左|右b增量的样本统计为大小N=261 | N=240，平均值0δ| 0δ，标准偏差0.196δ| 1.75δ，偏斜度0 |-0.0984，峰度26.3 | 8.34，滴答262 | 241，经过的秒数82 | 1。在“连锁反应”中，标准偏差大九倍，峰度小三倍，几乎达到事务计数的持续时间短82倍。值18.7<χ1-0.01（f=16- 3=13）=27.688<956不允许对左侧采用高斯假设，也不允许对右侧分布采用高斯假设。有趣的是，左侧的样本峰度26.3偏离高斯3的幅度大于右侧的8.34。关于极限定理的结论不能机械地得出。需要研究收敛速度，并注意范围/时段内b增量分布的变化、主导价格波动、涨跌幅的存在以及可能的价格依赖性。图19:2013年5月30日星期四ZBM13交易。价格，过滤成本为75美元的MPS，数量，累计数量，到达速度与交易指数（非比例时间）。

两个连续的时间间隔07:28:39-07:30:00和从07:30:01开始的一秒钟包含262和241个刻度，但看起来非常不同。15离散分布评论多项式分布假设固定K>2个事件，概率p，pK，其中pki=1pi=1。它推广了二项式分布p，p=1-p、 对于sth会话，Ks=b-增量最大值-b-增量min+1，其中b增量以δ表示，经验频率近似psi。因为B增量可以是负、零或正，Ks=K-,s+K0，s+K+，s，其中K0，s=1，如果K-,s> 0和K+，s>0。在使用限制打开会话之前Pslim>0和以前的结算价格Ps-1设置>Pslim，Pslim up=Ps-1集+Pslim，Pslim down=Ps-1集合- Pslim，Ksmax=2Pslimδ+1，K-,smax=K+，smax=Pslimδ，Ksmax=K-,smax+1+K+，smax。（42）表5:ZBM13的b增量，2013年5月30日，07:28:39-07:30:00和07:30:01InδmmGaussian，pGaussian，p（m-Np）Np（m-Np）Np-7 0 2 1.82×10-2419.28×10-54.75×10-239-6 0 2 1.46×10-1737.35×10-43.81×10-17118.9-5 0 2 5.96×10-1174.23×10-31.56×10-1140.955-4 0 1 1.27×10-711.77×10-23.31×10-692.48-3 0 8 1.46×10-375.38×10-23.81×10-351.87-2 0 12 9.81×10-150.119 2.56×10-129.60-1 5 17 0.00537 0.192 9.24 18.40 251 154 0.989 0.225 0.197 1851 5 13 0.00537 0.192 9.24 23.72 0 11 9.81×10-150.119 2.56×10-1210.83 0 10 1.46×10-375.38×10-23.81×10-350.6574 0 5 1.27×10-711.77×10-23.31×10-690.1335 0 5.96×10-1174.23×10-31.56×10-1141.026 0 2 1.46×10-1737.35×10-43.81×10-17118.97 0 1.82×10-2419.28×10-54.75×10-2390.02238 0 1 1.16×10-3208.51×10-63.03×10-318P261 240 1 18.7 956通常，堪萨斯州 Ksmax，K-,s K-,smax，K+，s K+，smax。打开后，K-,s、 rmin，i=Ps，ri- Plim向下δ，K+，s，rmax，i=Plim向上- Ps，riδ，Ksmax=K-,s、 rmax，i+K+，s，rmax，i+1。

（43）限制PSLIM表示理论极限：b-增量，rmax，i=K+，s，rmax，iandb增量，rmin=-K-,s、 rmin，i.这些等于2Pslimδ或-2.Pslimδ表示当前的跌停或涨停价格。作者没有在一个交易日内看到价格从跌停到涨停的差距，也没有看到价格从跌停到涨停的差距。有时会出现开盘价与限价之间的差距。Pork Bellies曾因连续进行几次限时而闻名。对于无限制的期货，理论上下一个b增量rmin，i=-Ps、riδ和b增量、rmax、iis无限制。表16列出了最小和最大偏差以及范围和时段内的发生次数。就绝对值而言，所有这些都小于理论极限，并且K会因会话而异。当分布几乎对称时，K-,sis很少完全等于K+，s。极端值只出现了几次，N计为数千，对偏度有显著影响。它们对于触发止损单的风险更为关键，因为相关频率与高斯分布一样不可忽略。多项式分布并不有趣，除非Ks，K-,s、 K+，允许由另一种分布类型控制的随机变量，并与一元随机变量相结合，选择增量的正负号。另一种方法是找到一个负责b增量绝对值（包括其极值）的分布，并将其与变量选择符号相结合。15.1 Zipf Mandelbrot、Riemann和Hurwitz Zeta分布作者回顾了Zipf Mandelbrot Q>0∧ S>0[147，pp.198 218]，其中Zipf情况为Q=0，P DFZM（k）=（k+Q）-SPNi=1（i+Q）-S、 秩k=1，N、 Riemann zeta[96，第35页]，[65，第82页]，[133，第821页，等式。

8] ，[16，相关结果]P DFR（k）=k-SP公司∞i=1i-S=k-Sζ（S），k∈ N∧ s∈ R∧ S>1，Hurwitz zeta【42，相关结果】，【82】P DFH（k）=（k+Q）-SP公司∞i=0（i+Q）-S=（k+Q）-Sζ（S，Q），k∈ N∧S、 Q∈ R∧S>1∧Q>0和幂律分布[6，第29页]，[147，第30页]。simplewords是如何触发一项研究的，这很有趣。仲恺莱（ChungKai-Lai）的话【26，p.259】：众所周知，两个“大牌”之间的这种著名关系并没有引发任何重大问题【133】和【82】。作者应该认识到，他对最大利润战略的研究是由罗伯特·帕尔多（Robert Pardo）的话引发的【176，p.125】：衡量市场提供的潜在利润并不是一个被广泛理解的想法【190，前言】。Zipf-Mandelbrot定律假设最大秩N。虽然它可以设置为setbig，但这很不方便，因为绝对b增量的上界可能未知。Riemann-zeta分布的灵活性低于Hurwitzzeta分布。后者是精心设计的，因此可以从零级开始，并且有大量的零b增量。所有方程式均简化为P DF*（k） =-S ln（k+Q）- ln C公司*, 其中*是ZM、R、H或P-幂律。这是一条有点的直线方程（x=ln（k+Q）≈ ln（k），y=ln P DF*（k） ），如果Q→ 0或k Q、 ZM不能保证后者，其中k≤ N、 H在这一组中看起来最灵活。这些线表示幂律y=Cxa。弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）回忆（作者的俄语翻译）：从目击者的故事中，我知道Kolmogorov在湍流理论中的相似性定律不是由他从尺寸的考虑（用于今天的解释）中获得的，而是因为他用带有数千个实验数据的纸覆盖了Komarovka避暑别墅的地板“以及更早的”。。。我的结果没有被证明（VS：数学上），但正确，这更重要“[6，p。

29]。科马罗夫卡（Komarovka）是莫斯科郊外的一个俄罗斯小村庄，当时是全世界数学家的圣地。图20:2013年3月至6月交易的玉米、E-mini、黄金和原油期货的绝对增值频率的双对数依赖关系，以δ表示。图20上的点累积了大量的b增量。ForES mini于2013年6月7日达到614991。ZCN13和CLN13的行在会话之间分裂。ESM13和GCM13的点更接近一条近似线。“直线”倾向于在更大的范围内弯曲，这意味着频率高于预测值。近似线低估了风险，但优于高斯分布。一只眼睛表明抛物线比直线更合适。在计算EPDF之前，将会话的b增量结合起来，可以创建平滑的地块，如图21所示。ESM13绘图使用的刻度数等于27438059。这比表16中的数字要大，因为包括2013年6月21日的最后一次临时会议。在这些图上，添加了初始艺术单零增量。它们的数量可以忽略不计，等于会话的数量。此外，一个交易日范围内的ci增量被视为B图21：2013年3月至7月交易的合同的绝对增量频率的双对数依赖关系，以δ表示。所有课程的增量合并在一起。增量。这不能造成主要差异。GEM13与其他地块明显不同。与表16相比，以δ表示的NGN13 b增量除以10。对于本合同，报告报价中的最小变化等于0.01，而官方δ=0.001。抛物线比直线更好地逼近这些数据。

虽然这些曲线图显示了合理的相关性，但作者无法为所有会话组合的b增量频率找到合适的Q和S，以使结果满足Pearsongoodity of fit标准。对于从单个会话获得的b增量，这是可能的。特别是，表5中的1秒ZBM13 2013年5月20日数据完全符合Hurwitz Zeta分布表6。对称负δ和正δ组合在一类中。自由度数f=9-1.-2=6。相应的χ（6，0.02）=15.033，χ（6，0.01）=16.812，χ（6，0.001）=22.457【111】均大于实验值13.215。在我们的例子中，Riemann和Hurwitz zeta函数应该针对实参数S>1和（S>1，Q>0）进行计算。这项任务比计算复变元σ+t的黎曼-泽塔函数更简单√-1.σ、 t型∈ R、 对于σ=而言，这已成为一种竞争。2013年5月30日，ZBM13，表6：b增量的1500000001个值，Hurwitz Zeta分布，S=2.385873201，Q=1.510384234|δ| mmPmp=P DFHZ（|δ|）Np=pPm（m-Np）Np0 154 0.641666667 0.584630058 140.3112139 1.3354803261 30 0.125 0.173952889 41.74869328 3.3062542312 23 0.095833333 0.078165303 18.7596727 0.9584589173 18 0.075 0.042982386 10.31577261 5.7239872184 6 0.025 0.026656006 6 6.397441496 0.0246910815 2 0.008333333 0.017906011 4.297442571 1.2282287156 4 0.016666667 0.012733336 3.056000653 0.2916016287 2 0.008333333 0.009449749 2.2679397620.0316550378 1 0.004166667 0.007249441 1.739865873 0.314622821P240 1 0.953725178 228.8940428 13.21497997【139】，其中ζ（+t√-1） =0，无法证明黎曼假设，但对计算机科学有贡献。