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我们经常在论文中这样假设：调节变量Z会削弱X与Y的倒U型关系。
为验证该假设，我们需要构建如式(1)所示的模型。
Y = 0+ 1X + 2X2 + 3XZ + 4X2 Z + 5Z（1)
在式（1）中，Y表示因变量，X表示自变量，Z表示调节变量，XZ表示自变量与调节变量的乘积项。
对正Ｕ（倒Ｕ）型关系的调节作用应关注三个方面：
一是曲线拐点是否发生偏移，如果 1 4- 2 3大于0，表明拐点随调节变量增加而右移，反之则左移；
二是曲线是否变得陡峭或平缓，如果 4显著为正，表明倒Ｕ型曲线变得平缓，正Ｕ型曲线变得陡峭； 4显著为负，表明倒Ｕ型曲线变得陡峭，正Ｕ型曲线变得平缓；
三是曲线是否发生翻转（shape-flip），如果翻转临界点 - 2 / 4介于调节变量的取值范围内，正（倒）U型曲线会翻转成倒（正）U型曲线（Haans等，2016）。
绝大多数文献只会讨论前两点，最后一点很少涉及。
为了形象地说明翻转现象，我们对该式子的相关系数进行取值，如式（2)所示：
Y=400+14.8X-0.21X2-2.4XZ+0.03X2Z（2）
当调节变量Z=3，Y= 400+7.6X-0.12X2，是典型的倒U型曲线；
当调节变量Z=7时，Y= 400-2X；是斜率为负的直线；
当调节变量Z=11时，Y= 400-11.6X+0.12X2，是典型的正U型曲线；
随着调节变量Z的增大，倒U型曲线的形状逐渐变得平缓，直到翻转为正U型曲线，这种现象被称为曲线翻转，英文叫shape-flip。反之亦然。
02 怎么判定翻转？当发现X与Y之间存在倒或正U型关系时，曲线的形状就极有可能因为调节变量的作用，从倒（正）U形翻转成正（倒）U形，我们需要对其进行判定，判定流程为：
1.计算翻转临界点：Zturn point= − 2 / 4；
结合上述倒U型曲线翻转的实例，我们会发现，翻转临界点的出现会使X2消失，Y函数变成一次方程，曲线变成直线，也就是式（1）Y = 0+ 1X + 2X2 + 3XZ + 4X2Z + 5Z中的 2X2与 4X2Z 相加要等于0，则需要Z取值为 − 2 / 4。
2.如果翻转临界点处于调节变量的取值范围内：Zturn point∈[Zmin，Zmax]，则曲线发生翻转，反之则不翻转。
03 出现翻转了怎么办？不少文献汇报了翻转结果，但是极少数文献对翻转的原因进行了解释。
正如Haans等（2016）所言，这让文献错过了将形状翻转进行理论化的机会
对于主效应假设，如果假设X和Y之间存在U型关系，但当Z具有有意义的值时，形状翻转为倒U，那么主效应假设不再适用于整个数据范围。
Haans等（2016）在对SMJ期刊1980-2012年的110篇非线性假设的文献进行回顾，其中有30篇文献考察了调节变量对曲线关系的影响，30篇文章中有11篇（37%）的形状翻转发生在文章的Z范围内。对于这8篇文章，形状翻转发生在Z的第20-80百分位之间或Z减去或加上一个标准差之间。
除了一篇文章之外，其余7篇都没有认识到曲线翻转的后果。Mihalache等（2012年：1491页）使用一个简单的斜率分析来评估主效应假设是否适用于平均值以下和以上的一个标准差之间的z值。他们发现，当Z在其平均值加上一个标准差时，Y在X上的简单斜率没有统计学意义，因此不能在Z的相关范围内支持倒u型。事实上，曲线翻转发生在这个z值附近，这样倒U曲线就变成了线性的。其余7篇在Z范围内发生形状翻转的文章没有讨论主效应假说的后果。
04 翻转的意义何在？第一，曲线翻转对调节假设的检验有影响。
首先，转折点在曲线翻转后跳到一个完全不同的位置。
其次，在形状翻转前后，曲线会以相反的方式改变其形状。
如上图所示，曲线首先变平，但在形状翻转后变陡。如果我们假设转折点会向左偏移，并随着Z的增加而变平，那么这两种假设都不适用于整个数据范围。虽然一些发生形状翻转的文章报告了“混合的结果”，或认为“这些发现在很大程度上符合”他们的适度假设，但这样的陈述并没有捕捉到翻转的后果。
因此，任何发现曲线明显扁平或变陡的文章，无论是否假设，都应该评估形状翻转是否在调节变量的取值范围内发生。如果情况确实如此，那么对所有假设的后果都需要加以解决。
第二，形状翻转对理论和实践有许多影响，但它的潜力在最近的文献中被忽视了。
曲线翻转并不会削弱研究的贡献。相反，如果翻转现象在理论上是合理的且可以解释清楚的话，就有可能会提升研究的有趣性，产生许多有意义的理论见解，因为X和Y之间的关系取决于调节变量。例如，虽然可能存在一个最大值或最优水平的X，但在形状翻转之后，就存在一个最小值。这对X和调节变量的战略价值都有深远的影响。
例如，X是影响组织Y绩效的前因，当X处于极值点时，绩效Y能实现最大值。如果一个关键的偶然事件(Z)导致倒U型曲线翻转为正U型曲线，此时，同样的X可能会使绩效Y产生最小值。
Haans等（2016）在对SMJ期刊1980-2012年的110篇非线性假设的文献进行回顾，其中有30篇文献考察了调节变量对曲线关系的影响，在这其中，又有11篇文献出现曲线翻转的情形，但未有一篇文献在假设提出部分对曲线翻转进行理论推导和预测。Haans等（2016）期望后续研究能够从在理论化和实证检验中考虑这一现象。
参考资料：
1.Haans R F J, Pieters C, He Z L. Thinking about U: Theorizing and testing U‐and inverted U‐shaped relationships in strategy research. Strategic management journal, 2016, 37(7): 1177-1195.
2.Mihalache O R , Jansen J J J P , Bosch F A J V D , et al. Offshoring and firm innovation: The moderating role of top management team attributes[J]. Strategic Management Journal, 2012, 33(13):1480-1498.
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