债务抵押债券期限结构模型的单调性

h（·，xi）∈ 每个xi的H1、γ∈ 一、 赋予标准sk h kL2，γ：=nXi=1k h（·，xi）kL2，γ，k h kH1，γ：=nXi=1k h（·，xi）kH1，γ。它们成为希尔伯特空间。根据定理2.2，如果损失过程的每条路径{Lt，t存在HJMM方程的解，则CDO模型是无套利的≥ 0}并且它在0处是点态单调的，即r（t，0，xi）≥ r（t，0，xi+1），i=1，2。。。，N- 1，几乎所有t≥ 0.（3.20）我们还要求（3.14）中给出的（T，xi）-债券价格在T≥ 0并在xi增加∈ 一、 4主要结果的表述表征无套利单调CDO期限结构模型的四个条件要求（3.17）和（3.19）给出的变换G，F为局部Lipschitz，并满足H中的线性增长条件（LGC），其中H代表状态空间，即它等于L2，γnor H1，γn。精确地说，F，G是局部Lipschitz（LC），如果任何R>0存在≥ 0使得k F（t，x）- F（t，y）kH≤ CRk x公司- y kH，k G（t，x）- G（t，y）kH≤ CRk x公司- y kH（4.21）对于任何x，y∈ H使得k x kH，k y kH≤ R、 如果存在，则满足线性增长条件≥ 0使得K F（t，x）kH≤ C k x kH，k G（t，x）kH≤ C k x kH（4.22），对于任何x，y∈ H、 第一个结果与sp ace L2，γn有关。回想起来，sup{ν}代表L'evy度量的支持。定理4.1 Let（A1）- （A4）满足。假设F和G是局部Lipschitz变换，在L2，γn中线性增长。那么以下陈述成立。a） 对于损失过程的任何路径，空间L2，γn.b）中HJMM方程存在唯一的弱解，如果r=（r，r，…，rn），r≥ R≥ ...

≥ rn、t、z≥ 0，l∈ 一、 u型∈ supp{ν}，i=1，2。。。，N- 1保持（M1）gi（t，z，l，r）=gi+1（t，z，l，r），如果ri=ri+1，（M2）gi+1（t、z、l、r）- gi（t、z、l、r）U≤ 国际扶轮社- ri+1。andZ{| y|≥1} | y |ν（dy）<+∞, （4.23）那么HJMM方程的解在零处是逐点单调的。因此，由此产生的CDO模型是无套利的。c） 如果r=（r，r，…，rn），r≥ 0，t，z≥ 0，l∈ 一、 u型∈ sup p{ν}，i=1，2。。。，n保持（P1）gi（t，z，l，r）=0，如果ri=0，（P2）ri+gi（t，z，l，r）u≥ 0.再加上（M1），（m2）和（4.23），则得到的CDO模型是单调的。第二个结果与H1，γn值远期利率有关。定理4.2 Let（A1）- （A4）满足。假设F和G是局部Lipschitz变换，在H1，γn中线性增长。那么以下陈述成立。a） 对于损失过程的任何路径，HJMM方程在空间H1中存在唯一的弱解，γn.b）如果（P 1）和（P 2）保持不变，则HJMM方程的解在零处是逐点单调的，因此得到的CD O模型是无套利的。此外，该模型是单调的。定理4.1和定理4.2中的两点（a）都直接来自于最近的结果，即在局部Lipschitz条件和线性增长下，一般SPDE解的存在性，参见文献[2]中的定理4.1。第4.1节致力于直接说明HJMM方程的波动率G，以及（4.21）和（4.22）保持的L'evy过程的特征三元组，见命题4.5和命题4.6。这对条件（P 1）、（P 2）和（M 1）、（M2）对应于L2，γn中HJMM方程解的正性和耳蜗性。它们源自Milian结果的广义版本，参见[8]，该结果涉及由维纳过程驱动的一般SPDE。在HJMM方程的情况下，我们将介绍如何传递到L'evy过程。

更精确地说，我们在第5.2节的定理5.3中证明，（M1），（m2）等价于r的单调性，即对于每个t≥ 0r（t、z、xi）≥ r（t，z，xi+1），i=1，2。。。，N- 1、（4.24）适用于几乎所有z≥ 0，而（P 1），（P 2）对r的正性，则每个t≥ 0r（t、z、xi）≥ 0，xi∈ 一、 （4.25）适用于几乎所有z≥ 这里的一个微妙之处是CDO模型无套利所需的零解的逐点单调性。实际上（3.20）并不遵循（4.24）。我们称之为L2，γ中解的点态单调性问题，并通过提供以下条件来解决。命题4.3假设变换F，G:L2，γn→ （3.19），（3.17）的L2，γngiven为局部Lipschitz，满足线性增长条件。设Z满足Z{| y |>1}| y |ν（dy）<+∞. （4.26）和溶液r（t），t≥ （3.16）中的0取L2，γnbe单调值。然后对于每个z≥ 0，i=1，2。。。，N- 1个支架（t、z、xi）≥ r（t，z，xi+1），几乎所有t≥ 这个结果清楚地暗示了r在0处的单调性，因此定理4.1中的陈述（b）如下。很明显，（4.24）和（4.25）意味着债券价格的单调性，所以（c）在定理4.1中成立。注意，在定理4.2中，我们不需要（M1）或（m2）。当然，从定理4.1（b）可以看出，如果（m1）和（M2）保持不变，那么H1，γn值解在零处也是单调的，因为r（t，·，xi）是连续的。然而，从H1中元素的连续性来看，γn证明了条件（p1）和（p2）意味着r在0处的单调性，而m在相应的CDO模型的耳蜗上同时是单调的。

更准确地说，我们证明了下面的命题4.4让r（t），t≥ 0是HJMM方程在h1，γn空间中的正解。那么债券价格P（t，t，xi）在t中递减，在xind中递增，r（t，0，xi）在xion集中递减{xi:Lt≤ 十一}。这意味着定理4.2的断言（b）。在第4.2节中，我们进一步评论了条件（p1）、（p2）、（M1）、（M1），并给出了满足这些条件的函数系统的一个示例。第5.2节详细介绍了HJM方程解的单调性、正性和逐点单调性问题。在这里，我们从米利安定理开始，并将其用于HJMM方程，证明了定理5.3中条件（p1），（p2），（M1），（M1）的有效性。然后，我们证明了一系列辅助结果，从而证明了命题4.3和命题4.4.4.1的局部Lipschitz条件和线性增长。在这里，我们给出了（4.21）和（4.22）在L2，γnand H1，γn中保持的充分条件。对于空间L2，γnw我们需要以下正则性条件来满足GLipschitz条件存在一个常数C>0，使得（LC）| gi（t，z，l，r）- gi（t、z、l、r）|≤ C k r- r k、t、z≥ 0，l∈ 一、 r，\'r∈ 注册护士。有界条件存在'g:R+-→ R+使得（B1）| gi（t，z，l，R）|≤ \'g（z），t，z≥ 0，xi，l∈ 一、 r∈ Rn，K：=K？g kL2，γ<+∞.线性增长条件存在一个常数C>0，使得（LGC）| gi（t，z，l，r）|≤ C k r k，t，z≥ 0，xi，l∈ 一、 r∈ 注册护士。对于空间L2，γnwe有以下结果。命题4.5假设波动率G满足（LC）和a）（B1）以及其中一个条件a）gi≥ 0，i=1，2。。。，n、 支持{ν} [-1、+∞) 安德烈+∞| y |ν（dy）<+∞,b） Z{| y|≥1} 是的√γyν（dy）<+∞,其中K在（B1）中定义。B） （LGC），gi≥ 0，i=1，2。。。，n和Z是这样的，q=0，supp{ν} [0+∞), andZ公司+∞（| y |∨ | y |）ν（dy）<+∞.