将波动率微笑纳入马尔可夫函数模型

（2.14）注EN+1t（·）=EN+1（·| FXt），其中FXt是X在[0，t]上生成的信息。以X（t）=XT为条件，随机变量X（s）如下，对于s≥ t、 均值为Xt且方差为τ（u）du的正态概率分布。给定X（t）=xt的X（s）的概率密度函数用φ（X（s）| X（t）=xt表示，并可表示为φ（X（s）| X（t）=xt）=exp(-（X（s）-xt）Rstτ（u）du）q2πRstτ（u）du。（2.15）o假设2终端掉期利率Sn（Tn，x），对于所有n=1，N、 在MF中建模的是x.2.2.2的严格单调递增函数吗？备注：从现在起，我们将使用附录A.2中定义的简化符号。利率模型应该能够描述未来收益率曲线的分布，其基本数量是贴现债券。对于百慕大互换期权的定价，使用互换马尔可夫函数模型更为方便，该模型已校准至基础欧洲互换期权。粗略地说，根据关系式（见方程式A.4和A.2），Sn（Xn）=Dn（Xn）- DN+1（Xn）Pn（Xn）=1- DN+1（Xn）PN+1k=n+1αk-1Dk（Xn），（2.16）我们应确定Dk（Xn）的功能形式，如图2.1所示，以使Sn（Xn）符合其市场分布。

实际上，我们只需要确定数字贴现债券DN+1（Xn）的函数形式，图2.1中的阴影状态变量，因为所有其他贴现债券的函数形式可以通过方程2.14和2.15确定，Dk（Xn）=DN+1（Xn）EN+1Tn[DN+1（Xk）]=DN+1（Xn）Z∞-∞DN+1（y）φ（y | Xn）dy，（2.17），其中φ表示Xn=Xn上Xkconditional的概率密度函数。关于推导，请参考附录C.1.2.2马尔可夫函数利率模型7图2.1：我们感兴趣的状态变量（N=10）。综上所述，给定一个特定的X（t）过程，我们确定了N+1（Xn）的函数形式，从而将模型校准为欧洲互换期权的市场价格。2.2.3 Black-Scholes数字映射让我们举例说明从Xnto DN+1（Xn）的映射，假设终端交换率Sn（Tn）为对数正态分布，因此不考虑smile。为了相对简单的支付，我们通过数字交换进行映射。这就是为什么它被称为“数字地图”。由于上面的对数正态假设，这里的数字映射称为“Black-Scholes数字映射”。数字贴现债券DN+1（Xn）（n=n，…，1）的函数形式是通过从Tn到T的反向归纳过程来确定的。首先，数字接收器互换期权在时间0时的值，具有罢工K和到期Tn，即DSNn（0；K），由DSNn（0；K）=Pn（0）Φ（log（K/Sn（0））+σnTn'σn给出√Tn）。（2.18）如附录A.1所述（见方程式A.11），连续罢工的数字掉期期权值意味着基础掉期利率的终端密度。在Black-Scholesworld中，这被假定为对数正态分布。另一方面，期权的价值可以在终端度量QN+1asDSNn（0；K）=DN+1（0）EN+1[I{Sn（Xn）<K}Pn（Xn）DN+1（Xn）]下表示。

（2.19）有关数字交换选项的详细信息，请参阅附录A.1。有关详细信息，请参阅附录A.1。注意，如果我们想根据市场微笑校准模型，这是我们在数字地图中唯一应该更改的地方。更具体地说，我们使用另一个期权定价模型的数字掉期公式来简化市场分布。8马尔可夫函数模型2根据第2.2.1节中的假设2，我们得到Sn（Xn）是Xn的严格单调递增函数，这意味着我们可以反转函数以得到{Sn（Xn）<K}的某个Xn<=> {Xn<Xn}。因此，DSNn（0；K）可以重写为DSNn（0；K）=DN+1（0）EN+1[I{Xn<Xn}Pn（Xn）DN+1（Xn）]，（2.20），我们用新符号^ DSNn（0；Xn）代替原始符号DSNn（0；K）。应用鞅性质toPn（Xn）DN+1（Xn），我们将得到^ DSNn（0；Xn）=DN+1（0）EN+1[I{Xn<Xn}EN+1Tn[Pn（Xn+1）DN+1（Xn+1）]]=DN+1（0）Zxn-∞[Z]∞-∞Pn（y）DN+1（y）φ（y | z）dy]φ（z）dz，（2.21），其中φ表示Xn的概率密度函数+1条件Xn=Xn，φ表示Xn的概率密度函数。注：Pn（Xn+1）DN+1（Xn+1）的函数形式可通过方程式A.3确定。因此，DSNn（0；xn）可以至少在数值上评估xn的不同值，其对应于市场上观察到的K的不同值。等于2.18和2.21，我们得到Sn（xn）=K=Sn（0）exp(-\'\'σnTn+\'\'σnpTnΦ-1（^DSNn（0；xn）Pn（0）））。（2.22）当Xn是Xn的某个值时，我们推广了方程2.22，得到了sn（Xn）的函数形式。Sn（Xn）=Sn（0）exp(-\'\'σnTn+\'\'σnpTnΦ-1（^DSNn（0；Xn）Pn（0）））。（2.23）然后，可以通过重写方程2.16DN+1（Xn）=1+Sn（Xn）Pn（Xn）DN+1（Xn），（2.24）来确定DN+1（Xn）的函数形式，其中Pn（Xn）DN+1（Xn）已在方程2.21.2.2.4数值解中计算。实际上，MF模型是在晶格上求解的。

对于每个浮动重置日期Tn，我们从中选择2m+1个Xnfrom值-m×σXnto m×σXn，或等效-M×nto M×N步长n、 见图2.2，其中m=m×（间隔长度中的步数等于1σXn）n=σXn间隔长度中的步数等于1σXn（2.25）=qRTnτ（u）d间隔长度中的步数等于1σXn，σXn表示Xn的标准偏差。2.3波动率函数和终端相关性9图2.2:Xn的晶格（N=10）。MF模型的实现在很大程度上依赖于使用数值积分例程评估期望值。Pelsser【18】介绍了所采用的数值积分，其概述如下：o通过应用Neville算法将多项式拟合到网格上定义的支付函数；o根据高斯分布解析计算多项式的积分。2.3波动率函数和终端相关性2。3.1波动率函数和终端相关性百慕大掉期期权的价格强烈依赖于基础掉期利率Sn（Tn）的联合分布或终端相关性。通过对log Sn（Xn）进行一阶泰勒展开，我们可以得到以下线性近似值。它的精度足以使Xnclose为零，其中大部分概率质量集中。对数序号（Tn、Xn）≈ 对数Sn（Tn，x）| x=0+Xn 对数序号（Tn，x）x | x=0=常数1+常数2×Xn。（2.26）因此，对于n<k，我们大约有corr（log Sn（Tn），log Sk（Tk））≈ 更正（Xn（Tn），Xk（Tk））。（2.27）问题反过来转化为发现过程X（t）的自相关。Pelsser[19]受到Hull-White模型的启发，该模型的短速率过程r（t）遵循dr（t）=（θ（t）- ar（t））dt+σdW（t）。

（2.28）该方法的详细说明见附录B。有关Neville算法的详细信息，请参阅“C++中的数字配方”[21]第3.1节。本节基于Pelsser[16][19]。您将在第3.2.3.10节马尔可夫函数模型2中看到这种近似的有效性检查。通过一些代数，我们根据平均回归参数a，通过关系corr（r（t），r（s））推导出短期利率的自相关结构=qtsif a=0qe2at-1e2as-1如果a 6=0，（2.29）对于t<s。如果我们将方程2.13中的X（t）过程的波动函数设置为τ（t）=eat，（2.30），我们将得到过程X（t）Corr（X（t），X（s））的自相关的等效表达式=qtsif a=0qe2at-1e2as-1如果a 6=0，（2.31）表示t<s。因此，参数a可以解释为过程x（t）的平均回归参数。我们可以从方程2.31中看出，增加均值回归参数a会降低不同流动日期Tn的X（Tn）值之间的自相关性。因此，增加均值回归参数会降低终端掉期利率Sn（Tn）之间的自相关性。2.3.2由于其他外来资产的流动性不佳，均值回归参数的估计利率衍生品包含共同终端掉期利率的终端相关性信息，我们只能通过历史数据分析来估计终端相关性。当n<k时，对数Sn（Tn）和对数Sk（Tk）的相关性等同于它们的对数差异logSn（Tn）Sn（0）和logSk（Tk）Sk（0）的相关性。这是因为现在已知Sn（0）和Sk（0），除以它可以算是一种规范化。一种方法是通过分析logst+Tn（t+Tn）st+Tn（t）和logst+Tk（t+Tk）st+Tk（t）的最新历史时间序列来估计相关性。

然而，由于计算差异需要较长的滞后时间，该方法得出的估计值具有较大的标准偏差（见【16】）。因此，我们转而分析具有较短滞后的时间序列，即logst+Tn（t+u） st+Tn（t）和LOGST+Tk（t+u） st+Tk（t），其中u表示滞后大小。如果U→ 0，我们实际上是在分析具有微小滞后的时间序列，即d log st+Tn（t+u）和d log st+Tk（t+u）。如果我们坚持对数正态假设，即（dSTn（u）=σnSTn（u）dWn，N+1udSTk（u）=σkSTk（u）dWk，N+1u，（2.32），通过应用It^o引理，我们将得到（d log STn（u）=σndWn，N+1u-σndud log STk（u）=σkdWk，N+1u-σkdu，（2.33）有关推导，请参考附录C.2。有关推导，请参考附录C.2。本节基于Pelsser【16】。注：我们使用小写字母s表示掉期利率的时间序列，因为它们是市场报价。2.4马尔可夫函数下的百慕大互换期权定价11如果我们应用Girsanov变换，即我们设置（dWu=dWn，N+1u-σndudWu=dWk，N+1u-σkdu，（2.34）其中wu和wu表示新度量下的布朗运动，我们将得到（d log STn（u）=σndWud log STk（u）=σkdWu。（2.35）让我们表示Wu和Wubyρ之间的瞬时相关性，即dWudWu=ρdu。（2.36）那么我们感兴趣的相关性可以表示为asCorr（logSTn（Tn）Sn（0），logSTk（Tk）Sk（0））=Corr（Wu（Tn），Wu（Tk））=ρrTnTk。（2.37）因此，问题转化为瞬时相关性ρ的历史估计。实际上，我们可以通过选择最小的可能滞后大小来近似估计ρu、 也就是说，有一天。

这种方法的有效性取决于对数正态假设的有效性，以及通过历史估计每日相关性来近似瞬时相关性的有效性。2.4马尔可夫函数下的百慕大掉期期权定价在本节中，我们首先讨论评估美国式期权的一般反向归纳法，然后说明MF框架下的定价程序。2.4.1离散时间模型中的美式期权定价让我们在掉期/掉期期权上下文中表达所有内容。假设我们在某个风险中性度量值Q下，以B（t）为基数，允许美国掉期期权在任何浮动重置日期Tn（n=1，…，n）行使。然后，时间Tn的美式交换期权BSN（Tn；K）的值可按如下方式向后计算【24】，BSN（Tn；K）=ESNN（Tn；K）BSN（Tn-1.K） B（Tn-1） =最大值{ESNn-1（Tn-1.K） B（Tn-1） ，EQTn-1[BSN（Tn；K）B（Tn）]}（2.38）BSN（0；K）=B（0）EQT[BSN（T；K）B（T）]。有关Girsanov定理的详细信息，请参阅Bjork[3]第11章。在真实世界度量和风险中性度量下，瞬时相关性ρ是相同的，因为这两种度量下的动力学仅因漂移项而不同。应用于一组离散时间点的美式期权实际上仍然是百慕大期权，因此我们在这里使用符号BSN。12马尔可夫函数模型2，其中欧洲掉期期权到期时的支付额TnisESNn（Tn；K）=max{SV（Tn；K），0}，（2.39），其中SV（Tn；K）是时间Tn时的掉期价值（见a.1节的符号）。2.4.2百慕大掉期期权定价与MF模型图2.3：MF模型的LIBOR“树”。假设N=4，数字映射后有LIBOR“树”，如图2所示。3，我们可以计算相应的掉期价值“树”和期权估值“树”，分别如图2.4和2.5所示。

换言之，我们应该确定V（Xn；K）DN+1（Xn）和BSN（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式，以便找出今天的期权值BSN（0；K）。数字贴现掉期价值SV（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式可通过图2.4：MF模型的掉期价值“树”确定。BSN（Tn；K）B（Tn）实际上是一个Q-超鞅，意思是eqtn[BSN（Tn+1；K）B（Tn+1）]6BSN（Tn；K）B（Tn）。Ln（Xn）由方程式A.1确定。显然，更方便的是得到SV（Xn；K）DN+1（Xn）和BSN（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式，而不是SV（Xn；K）和BSN（Xn；K）。2.4马尔可夫函数13反向归纳下的百慕大互换期权定价：SV（Xn+1；K）DN+1（TN+1）=SV（Xn+1；K）=ν[αN（r（Xn）- K） ]SV（Xn；K）DN+1（Xn）=EN+1Tn[SV（Xn+1；K）DN+1（Xn）]+Д[αn-1（r（Xn-（1）- K） ]DN+1（Xn）（2.40）SV（0；K）DN+1（0）=EN+1[SV（X；K）DN+1（X）]，其中，对于付款人掉期，ν为1，对于接收方掉期，则为-1。注：T时无现金交换。图2.5：MF模型的期权价值“树”。从TN到T，可以向后确定计价折扣期权值BSN（Xn；K）DN+1（Xn）的函数形式：如果TN不是行使日期，则我们有BSN（Xn；K）DN+1（Xn）=EN+1Tn[BSN（Xn+1；K）DN+1（Xn+1）]。（2.41）如果TN是锻炼日期，我们有BSN（Xn；K）DN+1（Xn）=最大{ESN（Xn；K）DN+1（Xn），EN+1Tn[BSN（Xn+1；K）DN+1（Xn+1）]}=最大{max[SV（Xn；K）DN+1（Xn），0]，EN+1Tn[BSN（Xn+1；K）DN+1（Xn+1）]}=最大{SV（Xn；K）DN+1（Xn），EN+1Tn[BSN（Xn n+1；K）DN+1（Xn+1）]}，（2.42），其中BSN（Xn+1；K）=0。现在我们可以获得今天的百慕大群岛期权值BSN（0；K）。BSN（0；K）=DN+1（0）EN+1[BSN（X；K）DN+1（X）]。（2.43）波动率整合3。1将波动率微笑纳入MF模型在MF模型中，微笑可以很自然地纳入。

这需要什么，isa模型才能在给定数量有限的市场报价的连续罢工中获得掉期期权价格。3.1.1隐含波动率的内插人们可能想到的第一种方法是保持Black-Scholes映射，并对市场报价进行内插/外推，以获得隐含波动率随罢工而变化的连续体，即σn（K）。然后，如果第2.2.1节中的假设2仍然成立，那么我们只需要在第2节中描述的映射过程中进行更改。将方程式2.23中的“σ”替换为“σn（Sn（Xn））。更准确地说，我们用数值方法求解以下方程，即Sn（Xn），Sn（Xn）=Sn（0）exp{-(R)σn（Sn（Xn））Tn+(R)σn（Sn（Xn））pTnΦ-1（^DSNn（0；Xn）Pn（0））}。（3.1）在参考文献【14】中，使用一种方法对与中间行权相对应的价格进行插值，以保持ATM欧洲掉期期权的价格。然而，正如Johnson【14】所指出的，这些平滑方法可能并不完全满足无套利约束。3.1.2不确定波动率替代差异模型另一种方法是将数字映射建立在包含smile的期权定价模型的基础上。换言之，我们使用另一个分布而不是对数正态分布来近似掉期利率的终端密度，这允许与市场中观察到的波动率有很好的契合。在本项目中，我们将使用Brigo Mercurio Rapisarda提出的不确定波动率置换扩散模型（以下简称UVDD）[6]。在对数正态情况下，σnis为常数。16波动率微笑的整合3在下文中，我们将首先描述置换差异模型，该模型是对数正态模型的最简单扩展，可以包括倾斜效应。

随后将介绍UVDDmodel。置换扩散模型（以下简称DD）我们在此设置中假设远期计量下掉期利率Sn（t）的动态如下，dSn（t）=σN（Sn（t）+mn）dWn，N+1t。（3.2）参数mn称为位移系数。根据等式A.6到A.7的相同推理，我们可以推导数字接收器接收值的闭合形式解，DSNn（0；K）=Pn（0）Φ（log（K+mnSn（0）+mn）+σnTnσn√Tn）。（3.3）类似地，欧洲掉期期权的值由ESNN（0；K）=ДPn（0）（（Sn（0）+mn）Φ（Дd+）给出- （K+mn）Φ（Дd-)) （3.4）d±=对数（Sn（0）+mnK+mn）±σnTnσn√Tn，其中，对于付款人欧洲掉期期权，Д为1，对于收款人欧洲掉期期权，则为-1。图3.1：各种位移系数值的隐含偏差。位移系数可用于生成隐含波动率的倾斜形状。位移系数的正值产生向下倾斜的倾斜，而负值产生向上倾斜的倾斜。后者是不现实的，不应使用。我们在图3.1中报告了各种位移系数值的隐含偏差。mn=0%的情况对应于通常的对数正态模型。我们使用了与附录E.1.1中的数据集I和附录E.2.3.1中的交易I相对应的市场数据，将波动率微笑纳入MF模型17。测试工具是在第五个浮动重置日到期的欧洲掉期期权，即T，货币掉期利率为5.45%。调整参数σ，使所有情况下的隐含ATM波动率相同。更准确地说，我们确定σ，使得UVDD ATM价格等于BS ATM价格。DD模型只能包含波动率偏斜，但市场数据表明，掉期期权的波动率报价通常是一个微笑形状[9]。