最优多次停车的解析递推方法：Canadization

过程（exp（Φ（α）Xt-αt））t≥0是一个鞅（见[32]中的（3.11）），因此我们可以证明（如[32]证明的第一部分，定理3.12所示），即eΦ（α）Xt∧T+y-α（t∧T+y）= 1，t≥ 0。（2.17）此处，左侧的被积函数在t中以可积随机变量为界，即Φ（α）Xt∧T+y-α（t∧T+y）=e（Φ（α）-1） Xt公司∧T+yeX（α）T∧T+y≤ e（Φ（α）-1） Xt公司∧T+yeX（α）∞≤ e（Φ（α）-1） yeX（α）∞,（2.18）最优多重停止、CANADIZATION和相位型拟合7，其中最后一个不等式成立，因为Φ（α）>1和Xt∧T+y≤ y a.s.由于缺乏积极的跳跃。因此，在（2.17）中应用支配收敛，给定1=EeΦ（α）XT+y-αT+y{T+y<∞}= eΦ（α）叶河-αT+y{T+y<∞}i、 （2.19）在{T+y<∞}. 这就完成了证明。由于外稃2。过程X必然向上爬行，因此XT+a=aon{T+a<∞} 带x的PX下≤ a、 我们可以写ev（n）a（x）=（e-Φ（α）（a）-x） φ（n）（a），x<a，φ（n）（x），x≥ a、 （2.20）备注2.1。可以看出，阈值水平从下方以log K为界，并且随着剩余停车机会的减少而增加，即log K<a*N≤ ··· ≤ A.*. 文献[41]表明，当折射时间δ被推广为独立的、同分布的随机变量时，这种单调性也成立，前提是它们独立于X，并且Xδ允许密度。它们还表明存在一个极限a*∞:= 画→∞A.*N≥ 日志K.3。递归分析公式如前一节所述，最优策略的表征大大简化了问题。然而，在实践中，由于（2.12）中Xδ的分布通常未知，因此无法解析地获得该解。

因此，最大的障碍是计算expectationExE-αδv（n-1） （Xδ）, 2.≤ N≤ N、 （3.1）为了避免这种差异，我们采用了Carr[14]的Canadizing技术和近似（3.1），用一些独立的Erlang随机变量η（M，λ）替换常数δ，或用参数λ替换M个独立、相同分布的指数随机变量的等效和。在此，我们设置λ=λ（M）：=M/δ。（3.2）那么，η（M，λ）≈ 用强大数定律计算大M的δ。换言之，我们解决了最优多次停止问题的随机化版本，以近似折射时间恒定的问题。对于具有随机折射时间的最优停止问题，需要修改滤波；具体构造见【16】。然而，如【16，41】所述，该技术细节不会影响最佳停车策略的最终阈值结构。在这一节中，我们将展示具有随机折射时间的值函数可以通过用尺度函数编写的预解测度来获得。8 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.ZHANG3。1、第一步。我们首先构建基本案例。鉴于n=1的（2.20），因为φ（1）≡ φ、 a的价值*通过（2.14）分析得出。

一阶条件为0=φ′（a）- Φ（α）φ（a），（3.3），允许a给出的唯一解*= 对数Φ（α）KΦ（α）- 1.（3.4）很容易检查这是否等同于平滑条件v（1）′（a*+) = v（1）′（a）*-).现在我们从atu（1,0）（x）开始：=v（1）（x）=（φ（x），x≥ A.*,φ（a*)E-Φ（α）（a）*-x） ，x<a*,（3.5）并导出expectationEx的分析表达式E-αη（M，λ）v（1）（Xη（M，λ））（3.6）作为n=2时（3.1）的近似值。最初的任务是计算指数时间范围的情况，u（1,1）（x）：=ExE-αη（1，λ）v（1）（Xη（1，λ））= λZ∞E-（λ+α）tExv（1）（Xt）dt=Mxu（1,0），（3.7），其中，对于任何可测f，我们定义（无论何时存在）Mxf：=λZRΘ（λ+α）（x，dy）f（y）（3.8），对于预解测度Θ（q）（x，dy）：=Z∞E-qtPx{Xt∈ dy}dt，y∈ R和q>0。（3.9）已知在光谱负L'evy过程的情况下，该预解测度允许密度，并且可以用所谓的标度函数来表示。修复q≥ 0，（q-）标度函数，W（q）：R→ [0，∞),（3.10）为零(-∞, 0），在[0，∞), 其特征是Laplacetransform:Z∞E-sxW（q）（x）dx=ψ（s）- q、 s>Φ（q），（3.11），其中（3.12）Φ（q）：=sup{λ≥ 0：ψ（λ）=q}。最佳多重停止、canadizing和相位型拟合9根据[32]的推论8.9，预解测度Θ（q）（x，dy）具有密度θ（q）（y- x） 关于Lebesgue测度，其中θ（q）（z）：=Φ′（q）e-Φ（q）z- W（q）(-z） ，z∈ R、 （3.13）因此，在λ+α>0的条件下，可以使用比例函数重写（3.7）。通过进一步添加更多独立、相同分布的指数随机时间范围，可以重复应用此操作。事实上，对于任何2个≤ M≤ M和x∈ R、 （3.14）u（1，m）（x）：=ExE-αη（m，λ）v（1）（Xη（m，λ））= λZ∞E-（λ+α）tEx[u（1，m-1） （Xt）]dt=Mxu（1，m-1） =···=Mmxu（1,0）。3.2。多个步骤。

现在（3.1）由u（1，M）（x）近似，我们可以近似φ（2）（x），如（2.13）中的φ（2）（x）：=φ（x）+u（1，M）（x）。（3.15）使用此近似，我们可以获得*, 说ea*, 按一阶条件0=eφ（2）′（a）-Φ（α）eφ（2）（a），并获得v（2）：u（2,0）（x）的近似值≡ ev（2）（x）：=（eφ（2）（x），x≥ ea公司*,eφ（2）（ea）*)E-Φ（α）（ea*-x） ，x<ea*.（3.16）与第一步类似，对于任何1≤ M≤ M、 u（2，M）（x）：=ExE-αη（m，λ）ev（2）（Xη（m，λ））= Mxu（2，m-1） =···=Mmxu（2,0），（3.17），它给出了n=3时（3.1）的近似值。继续以这种方式，我们可以导出由φ（n）（x）：=φ（x）+u（n）定义的近似值-1，M）（x），（3.18）个*N∈ arg{a∈ R:eφ（n）′（a）- Φ（α）eφ（n）（a）=0}，（3.19）u（n，0）（x）≡ ev（n）（x）：=（eφ（n）（x），x≥ ea公司*n、 eφ（n）（ea*n） e类-Φ（α）（ea*N-x） ，x<ea*n、 （3.20）u（n，m）（x）：=ExE-αη（m，λ）ev（n）（Xη（m，λ））= Mmxu（n，0），1≤ M≤ M、 （3.21）最后，ev（N）（x）是多重停车问题的理想近似值。在本文的其余部分，我们让ea*:= A.*为了便于标记。10 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.ZHANG4。光谱负相位型酪蛋白为了执行前一节中描述的算法，重要的是可以分析地完成后向电导。也就是说，在应用（3.8）中的运算符M之后，必须保留闭式表达式。在本节中，我们将表明，如果我们关注以下形式（4.1）的相位类型L'evy过程，这是可能的。从[2]的命题1可知，对于任何光谱负L'evy过程X，存在一系列光谱负相型L'evy过程X（n），在空间D[0]中收敛到X，∞)具有左极限的实值右连续函数（c\'adl\'ag）；这意味着X（n）→ Xin分布（见【2】中的备注1和【27】中的推论VII 3.6）。