欧式Black-Scholes-Merton模型的李对称性分析

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英文标题：
《Lie Symmetry Analysis of the Black-Scholes-Merton Model for European
  Options with Stochastic Volatility》
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作者：
A. Paliathanasis, K. Krishnakumar, K.M. Tamizhmani and P.G.L. Leach
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We perform a classification of the Lie point symmetries for the Black--Scholes--Merton Model for European options with stochastic volatility, $\\sigma$, in which the last is defined by a stochastic differential equation with an Orstein--Uhlenbeck term. In this model, the value of the option is given by a linear (1 + 2) evolution partial differential equation in which the price of the option depends upon two independent variables, the value of the underlying asset, $S$, and a new variable, $y$. We find that for arbitrary functional form of the volatility, $\\sigma(y)$, the (1 + 2) evolution equation always admits two Lie point symmetries in addition to the automatic linear symmetry and the infinite number of solution symmetries. However, when $\\sigma(y)=\\sigma_{0}$ and as the price of the option depends upon the second Brownian motion in which the volatility is defined, the (1 + 2) evolution is not reduced to the Black--Scholes--Merton Equation, the model admits five Lie point symmetries in addition to the linear symmetry and the infinite number of solution symmetries. We apply the zeroth-order invariants of the Lie symmetries and we reduce the (1 + 2) evolution equation to a linear second-order ordinary differential equation. Finally, we study two models of special interest, the Heston model and the Stein--Stein model.
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中文摘要：
我们对随机波动率为$\\ sigma$的欧式期权的Black-Scholes-Merton模型的Lie点对称性进行了分类，其中最后一个由一个带有Orstein-Uhlenbeck项的随机微分方程定义。在该模型中，期权的价值由一个线性（1+2）演化偏微分方程给出，其中期权的价格取决于两个自变量，即标的资产价值S$和一个新变量y$。我们发现，对于任意函数形式的波动率，$\\σ（y）$，除了自动线性对称和无穷多个解对称外，（1+2）演化方程总是允许两个Lie点对称。然而，当$\\ sigma（y）=\\ sigma\\u{0}$且期权价格取决于定义波动率的第二个布朗运动时，（1+2）演化并没有简化为Black-Scholes-Merton方程，该模型除了线性对称和无穷多个解对称外，还允许五个Lie点对称。我们应用李对称的零阶不变量，将（1+2）发展方程化为线性二阶常微分方程。最后，我们研究了两个特别有趣的模型，赫斯顿模型和斯坦-斯坦模型。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Lie_Symmetry_Analysis_of_the_Black-Scholes-Merton_Model_for_European_Options_wit.pdf (330.4 KB)

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关键词：Merton模型 SCHOLES Merton choles Black

具有随机波动性的欧洲期权Black-Scholes-Merton模型的Lie对称性分析*1，K Krishnakumar+2，KM Tamizhmani2和PGL Leach§3,4,5科学研究所，智利南部大学巴尔迪维亚分校，本地治里大学数学系，Kalapet Puducherry 605 014，德班理工大学数学系和系统科学研究所，德班4000，邮政信箱133 4，南非共和国夸祖鲁-纳塔尔大学数学、统计和计算机科学学院，私人书包X540 01，德班4000，南非共和国塞浦路斯大学数学和统计系，莱夫科西亚1678，塞浦路斯10月21日，2018年摘要我们对具有随机波动率σ的欧式期权的Black–Scholes–Merton模型的Lie点对称性进行了分类，其中最后一个由带有Orstein–Uhlenbeck项的随机微分方程定义。在该模型中，期权的价值由一个线性（1+2）演化偏微分方程给出，其中期权的价格取决于两个自变量，即标的资产的价值s和一个新变量y。我们发现，对于任意函数形式的波动率σ（y），（1+2）演化方程除了自动线性对称和有限个解对称外，还总是具有两个谎言点对称。然而，当σ（y）=σ且期权价格取决于波动率定义的第二个布朗运动时，（1+2）演化不会简化为Black–Scholes–Merton方程，该模型除了线性对称和有限数量的解对称外，还允许五个Lie点对称。

我们应用李对称的零阶不变量，将（1+2）发展方程简化为线性二阶常微分方程。最后，我们研究了两个特别感兴趣的模型，赫斯顿模型和斯坦-斯坦模型。关键词：Lie点对称性；金融数学；随机波动率；Black-Scholes-Merton方程MSC 2010:22E60；35Q911简介欧洲期权的Black-Scholes-Merton模型基于股票价格的一些Ansatz。具体而言，股票价格的过程具有连续性的特点，它能够利用交易成本进行连续对冲，并具有恒定的波动性[1、2、3]。*paliathanasis@na.infn.it+krishapril09@gmail.comkmtmani54@gmail.com§leach@ucy.ac.cyIn在Black–Scholes–Merton模型中，金融资产的价格由随机微分方程的解给出，其中，WT是一个B-rownian运动，期权的值u=u（t，S）由（1+1）演化方程的解给出，σSu，SS+rSu，S- ru+u，t=0（2），其中t是时间，S是标的资产的当前价值，例如股票价格，r是安全投资的回报率。当T=T时，选项的值取决于终端条件的满足情况，u（T，S）=u（S）。最后，σ是模型的波动率。布莱克-斯科尔斯-默顿模型假设波动率σ为常数。然而，在实际问题中，σ不是常数。模型的一个可能的推广公式（2）是考虑波动率取决于时间t和股票价值S，即σ=σ（t，S）。

有人提出σ是平均Orstein-Uhlenbeck过程的函数[4]。考虑σ=f（y），其中y由s-tochastic微分方程和Orstein–Uhlenbeckterm[5，6，7]给出：dyt=α（m- yt）dt+βd^Zt（3）新的Br-ownian运动^Zt可以与Wt相关，并表示为：^Zt=ρWt+p1- ρZt（4），其中Zt描述独立于wt的布朗运动，ρ是值为ρ的相关因子≤ 因此，修正了随机波动情况下的Black-Scholes方程（2），期权的u值由（1+2）演化方程给出^M+^M+^M+^Mu（t，S，y）=0（5），其中运算符^M，^M，^M，^M定义如下：^M=f（y）SS+rSs- r+t（6）^M=ρβSf（y）sy、 ^M=-β∧（t，S，y）y、 和（7）^M=βy+α（m- y）y（8）函数∧（t，S，y）为∧（t，S，y）=ρu- rf（y）+γ（t，S，y）p1- ρ（9）和u（t，S，y）满足时间t=t时的终端条件u（t，S，y）=u（S）。算子^m表示波动率σ=f（y）的Black–Scholes–Merton方程（2），^m表示欧式期权和波动率的两个布朗运动WT和^Zt之间的相关项，^m表示Orstein–Uhlenbeck过程项。最后术语^M，即所谓的premiumterm，表示波动率风险的市场价格[6]。方程（9）中的函数γ（t，S，y）是驱动波动性的风险溢价因子，遵循第二个布朗运动Zt，在绝对相关的情况下，即|ρ|=1，γ（t，S，y）在模型中不起任何作用。方程（9）的rhs端的第一项称为超额收益风险比[6]。

随机波动性的统计重要性已在[8]中得到证实。这项工作的目的是研究具有随机波动率的Black–Scholes–Merton模式l，方程（5），通过使用组不变变换的方法，特别是方程的李（点）对称性。李对称性的重要性在于，它们提供了一种系统的方法来促进微分方程的求解，因为它们提供了一阶不变量，可用于减少微分方程。此外，李对称可以用于微分方程的分类。此外，我们可以从允许的不变变换组中提取微分方程的重要信息，从而提取模型的重要信息。Gazizov和Ibragimovin首次将Lie对称性应用于金融建模。他们研究了Black-Scholes-Merton方程（2）的不变变换组，具有恒定的波动性，并证明了方程（2）将李代数的元素{A3,8]作为李对称⊕sA3,1}⊕s∞A（在穆巴拉克·亚诺夫分类方案中【10、11、12、13】）。这意味着方程（2）是最大对称的，根据Sophus L ie[14]的定理，在变量s{t，s，u}的空间上存在一个变换，其中方程（2）可以用热方程的形式表示。最后一个是一个重要的结果，因为物理科学的数学方法可以用于研究金融数学中的微分方程。

对于商品的单因素模型[15]也发现了类似的结果，这意味着三个不同的方程，即he at方程、Black–Scholes–Merton方程和商品方程的单因素模型，在数学水平上是等效的，即使它们描述了不同的主题。近年来，谎言理论在金融数学中有着广泛的应用。例如，[16]研究了Cox–Ingerso ll–Ross定价方程的群不变量，而[17]研究了非线性模型。就亚洲n期权而言，在[18]中进行了李对称分类。至于Black-Scholes-Merto n模型的推广，非自治模型的Lie对称性和简化过程可以在[19，20]中找到，而等式（2）的另一种推广（带有“源”）在[21]中进行了研究。此外，在[22，23]中，对与空间和时间相关的单因素商品模型以及非自治二维Black-Scholes-Merto n方程进行了对称性分析。有关李对称在金融数学中的其他应用，请参见实例[24、25、26]和其中的参考文献。随机波动率模型方程（5）是一个（1+2）演化方程。下面，我们进行对称分析并确定群不变解。特别是，我们将分析局限于风险溢价因子vanis不一定|ρ|=1的模式lin，并且从等式（9）中，只有表示风险回报率的术语仍然存在。此外，我们研究了两种具有仓促波动性的欧元期权模型，即赫斯顿模型[27]和斯坦-斯坦模型[28]。后者是两个布朗运动wt和^Zt之间没有相关性的模型，即方程（4）中的ρ=0。

论文计划如下。在第2节中，我们给出了微分方程Lie点对称的基本性质和定义，并对我们的模型进行了对称分类。我们发现，没有风险前置因子的方程（5）在{3A}opluss下总是不变的∞ALie代数。然而，当f（y）是常数时，方程（5）在更大的L ie代数下是不变性的。李对称在方程（5）中的应用可以在第3节中找到，其中我们使用李对称提供的零阶不变量来简化（1+2）演化方程，并导出不变量解。在第4节和第5节中，我们研究了欧佩恩期权的两种随机波动率模型，分别是Hestonmodel和Stein–Stein-mo-del。对于这两个模型，我们发现它们在李代数{3A}下都是不变的⊕s∞A、 我们应用李对称性来求解这两个模型的方程。对于Heston模型，闭式解用Kummer函数表示，而对于Stein–Steinmodel，闭式解用超几何函数表示。此外，我们还给出了这两个模型的一些数值解。最后，在第6节中，我们讨论了我们的结果并得出了我们的结论2李对称分析我们认为Black–Scholes–Merton方程具有由进化方程（5）控制的随机波动性，其中保费期限仅取决于风险回报率。

对于与时间无关的回报率，方程式（5）变为：0=f（y）Su，SS+ρβSf（y）u，Sy+βu，yy+（10）+rSu，S+α（m- y）- βρu- rf（y）u、 y型- ru+u，t（11）设Φ为一参数点变换的映射，例如Φ（u（t，S，y））=u′（t′，S′，y′）（12），具有极小变换（ε是小参数）t′=t+εξ（t，S，y，u）（13）S′=S+εξ（t，S，y，u）（14）y′=y+εξ（t，S，y，u）（15）u′=u+εη（t，S，y，u）（16）和ge-ne-ratorX=t′型εt型+S′εS+y′εy型+u′型εu（17）现在考虑u（t，S，y）是方程（11）的解，在Φ映射下，方程（12），u′（t′，S′，y′）也是方程（11）的解。然后，我们说，单参数点变换的有限变换Φ的生成器X是（方程11）的李（点）对称，并且方程（11）在映射Φ的作用下是可变的。

这意味着存在一个函数ψ，使得以下条件保持[29]X[2]（H）=ψH，mod（H）=0（18），或者，等价地，X[2]（H）=0（19），其中X[2]是变量{t，S，y，u，u，S，u，y，u，SS，u，Sy，uyy}空间中X的第二次投影/扩展。规范X【2】由以下公式定义X【2】=X+ηAiuA+ηAij其中ηAi，ηAijare由关系式ηAi=ηA，i+uB，iηA，B给出- ξj，iuA，j- uA，iuB，jξj，B（21）和ηAij=ηA，ij+2ηA，B（iuB，j）- ξk，ijuA，k+ηA，BCuB，iuC，j- 2ξk，（i | B | uBj）uA，k- ξk、BCuB、iuC、juA、k+ηA、BuB、ij- 2ξk，（juA，i）k- ξk，BuA、kuB、ij+2uB（、juA、i）k（22）表1:f（y）=f时方程（11）的L ie对称性的李括号。XI，XJ\'X'X'X'XXu'X0 0-a'X2f'X+F- 2r级Xuα'X'X0 0 0 2Xu0 0'Xα'X0 0 0 2αfXu'X-2f'X-F- 2r级Xu2Xu0 0 0 0'X-a'X0-2αfXu0 0 xu0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0偏微分方程李对称性存在的重要性在于，从关联的拉格朗日系统中，dxiξi=duAηa（23）零阶不变量，U[0]xk，uA, 可以确定哪些可以用来减少微分方程独立变量的数量。下面，我们对方程（11）的Lie对称性进行分类。函数f（y）由方程（11）允许李对称s的要求定义。

后一个要求可以被视为年龄计量选择规则，因为李对称性是由（伪）黎曼空间的同伦代数元素生成的，它定义了（1+2）演化方程（11）中的拉普拉斯算子。在我们的例子中，（pse-udo）黎曼流形分别由股票价格S和波动率σ的布朗运动Wt，^Zt定义。在进行对称性分析之前，我们注意到方程（11）是一个线性方程，这意味着它总是允许线性对称，Xu=uu和解的有限维abelia n子代数，Xb=b（t，S，y）u、 其中，函数b（t，S，y）是原始方程（11）[31]的解。2.1从对称条件方程（18）分类，我们得到一个由31个方程组成的S系统（对于系统的推导，我们使用Mathematica的符号包SYM[32，33]），其中系统的解给出了转换方程（12）的生成方程（17）的形式，将解决方案转化为解决方案。从后一个系统中，我们得到以下结果。对于任意函数f（y），方程（11）允许Lie对称性x=t、 X=SS（24）加上向量场Xu，Xb。李对称形式的代数是{3A}⊕s∞A、 当f（y）=f时，方程（11）允许李对称'X=t、 (R)X=SS、 (R)X=e-αty（25）(R)X=2英尺S+2βαfρy型+F- 2r级t+2英寸SUu（26）(R)X=eαt2fβρSS+βfY+ （2αf（y-m） +2β（u- r） ）uu（27）加上向量场Xu，Xb。李代数的李括号如表1所示。我们注意到，商品的双因素模型在相同的点变换代数下是不变量的[15，23]。这是一个预期结果，因为商品的双因素模型遵循单因素模型，其中第二个因素产品遵循Orstein-Uhlenbeck过程。