欧式Black-Scholes-Merton模型的李对称性分析

此外，正如我们在导言中所讨论的，单因素模型与Black–Scholes–Merton方程一样是最大对称的。另一方面，f（y）=f表示波动率σ为常数。然而，在σ定义的空间中，第二个布朗运动^Zt与布朗运动wt相互作用，并修改了Black-Scholes-Merton模型。然而，在相关性ρ消失的情况下，即ρ=0，方程式（11）不会简化为方程式（2），而只有当Orstein–Uhlenbeck过程相同为零时，即β=0，α=0。否则，价格u取决于Orstein–Uhlenbeck过程。通过应用zeroth阶李不变量，我们继续推导等式（11）。此外，我们还研究了每个约化方程的李对称性。3群不变解在这一节中，我们应用李对称来简化方程（11）。我们研究了两种情况，f（y）=f，并且f（y）是任意函数。为了进行约简和后续方程以给出原始问题的解，在李对称向量和终端条件之间应该有一个约束。然而，由于初始条件可以从不同的选项中修改，因此我们在不考虑终端条件的情况下进行还原。关于Black–Scholes–Mer-ton方程（2）的不变量解，参见[34]。3.1任意函数f（y）对于任意函数形式的f（y），如上所述，方程（11）除了有限个解对称外，还允许三个Lie-po-int对称。最后一个不能用于减少。因此，我们不考虑他们。此外，u不依赖于一个独立变量的解是不可接受的解，也就是说，静态解不受关注。

因此，我们使用对称向量Y=X+κXu，Y=X+κXuand Y=X+cX+κXu进行约化。考虑对称向量Ygivesu（t，S，y）=exp[κt]v（S，y）（28）的李不变量，其中v（S，y）满足方程0=f（y）Sv，SS+ρβSf（y）v，Sy+βv，yy+rSv，S+α（m- y）- βρu- rf（y）v、 y型- （r）-κ） v（29）对于该方程，除了线性对称和有限数量的解对称（我们称之为平凡对称）外，方程允许向量场Y=SS、 这是一个简化的对称。因此，应用Yto方程（2 9）可得出二阶常微分方程βw，yy+2α（m- y） +2βf（y）ρκf（y）- u+rw、 y型+κ- 1.f（y）+2（rκ- r+κ）w=0（30），其中w=w（y）和U（t，S，y）=Sκexp[κt]w（y）（31）方程（30）是一个线性二阶微分方程，众所周知，它是最大对称的，并且在特殊线性（sl）代数sl（3，r）李代数下是不变的。类似地，如果我们用Y进行约化，则约化方程允许李对称X、Xv、Xb，最后，方程（31）和约束方程（30）再次给出解，考虑李对称向量Yto方程（30）的应用。我们有u（t，S，y）=exp[kt]v（z，y），z=S exp[-ct]（32），其中0=zf（y）v，zz+2ρβf（y）v，zy+βv，yy+2（r-c） zv，z+2α（m- y）- βρu- rf（y）v、 y型- （r）- κ） v（33）人们很容易发现，这个方程只允许李对称，zz、 除了平凡对称，它是一种约化对称。

因此，系统向量（z）的零阶不变量的应用z+κvv） 方程（33）给出了形式方程（31）和约束方程（30）的解。我们继续确定常数f（y）的群内变量解。3.2常数波动率f（y）=f，方程（11）允许六个Lie点对称，加上解对称的有限个数。此外，方程（11）是一个（1+2）演化方程，并且，为了将其简化为一个普通的微分方程，我们必须应用两个李对称的零阶不变量。