市场冲击博弈中纳什均衡的高频极限

然而，上述结果适用的函数τ取决于所有模型参数，尤其是N。因此，如果我们的二次交易成本函数被原函数附近的比例交易成本所取代，我们不能期望在以下章节中获得的限制结果仍然有效。实际上，在极限N内↑ ∞, 均衡策略的个别交易可以成为任意交易，因此二次交易成本和比例交易成本之间的差异变得至关重要。3均衡策略和成本的高频限值介绍：=lNtTmθ=0θ=0.05θ=θ*=0.2520 40 80 100 1200.700.720.740.760.78图1：预期成本E【CTN（ξ|η）】作为交易频率N的函数，θ=0，θ=0.05，θ=θ*= 如果ρT=1，x=y=1，则为1/4。重整化策略sv（N）t：=1-ntXk=1vkand W（N）t=1-ntXk=1周，0≤ T≤ T、 式中，v=（v，…，vN+1）>和w=（w，…，wN+1）>如（3）所示。为了保持符号的简单性，我们不会明确表示v、w和许多其他量对N的依赖关系。我们的第一个主要结果将处理V（N）和W（N）的渐近性。定理3.1（策略的渐近性）。

重整化策略V（N）和W（N）的行为如下↑ ∞.（a） 如果θ>0，则V（N）=1和V（N）t-→e3ρT6ρ（T- t） +4个- 4e3ρt2e3ρT（3ρT+5）- 1，0<t≤ T、 （b）对于θ=0，我们定义函数f±，g±：[0，T]→ R byf±（t）：=2e6ρT（3ρT+5）+e3ρT+3ρT+7-1.±3e3ρ（T-t） ±6e3ρ（2T-t） ++e6ρt6ρ（T- t） +4个+ 3ρ（T- t） +2e3ρt+4e3ρt- 4e3ρ（T+T）+3,g±（t）：=2e6ρT（3ρT+5）- 3e3ρT- 3ρT- 7.-1.±3e3ρ（T-t） ±6e3ρ（2T-t） ++e6ρt6ρ（T- t） +4个- 3ρ（T- t）- 2e3ρT- 4e3ρt- 4e3ρ（T+T）- 3..然后V（N）=1，对于0<t≤ T序列（V（2N）T）N∈NHA正好是两个簇点f+（t）和f-（t） ，和（V（2N+1）t）N∈NHA正好是两个簇点g+（t）和g-（t） 。（c） 如果θ>0，则w（N）t-→ρ（T- t） +1ρt+1，0≤ T≤ T、 （d）对于θ=0，我们定义了函数Д±，ψ±：[0，T]→ R乘以Д±（t）：=1+ρ（t- t） ±e-ρ（T-t） 1+ρt+e-ρT，ψ±（T）：=1+ρ（T- t） ±e-ρ（T-t） 1+ρt- E-ρT.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0V（50）tt0。2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0V（50）tt图2：对于小但非零的θ（左）和大θ（右），V（75）t（蓝色）到V（红色）的收敛。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0W（50）ttД+Д-0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0V（50）ttf+f-图3：θ=0时，蓝色的W（50）（左）和V（50）（右），以及红色的定理3.1（b）和（d）中相应的振荡极限。那么W（N）T=0，对于0≤ t<t序列（W（2N）t）N∈Nhas正好是两个簇点Д+（t）和Д-（t） ，和（W（2N+1）t）N∈Nhas正好是两个簇点ψ+（t）和ψ-（t） 。注意，上述定理（a）和（c）部分中的极限与θ>0的特定值无关。从以下结果的（A）部分可以看出，预期成本的渐近性也会产生类似的影响。定理3.2（预期成本的渐近性）。

对于x，y∈ R和N≥ 2，设ξ（N）∈ X（X，TN）和η（N）∈ X（y，TN）是相应的均衡策略。（a） 如果θ>0，则为极限↑∞EhCTN（ξ（N）|η（N））i=（x+y）36e6ρT（8ρT+13）- 60e3ρT- 3.2e3ρT（3ρT+5）- 1.+十、- y2（ρT+1）+（x- y） 16（ρT+1）。（b） 如果θ=0，则Limn↑∞EhCT2N（ξ（2N）|η（2N））i=（x+y）6e6ρT+32e6ρT（3ρT+5）+e3ρT+3ρT+7+十、- YE-ρT+ρT+1,安德林↑∞EhCT2N+1（ξ（2N+1）|η（2N+1））i=（x+y）6e6ρT- 3.2e6ρT（3ρT+5）- 3e3ρT- 3ρT- 7.+十、- Y-E-ρT+ρT+1.-4-2 0 2 4-4-2024图4（x，y）的区域∈ [-5，5]×[-5，5]，其中θ=θ时的预期成本极限E【CTN（ξ（N）|η（N））】*= 如果θ=0，ρT=0.69（蓝色），ρT=3（绿色），ρT=6（橙色），则1/4严格低于预期成本的下限。根据上述定理中所述的成本限制，我们现在可以用数学上严格的方式证明，增加交易成本水平θ有时可以降低所有市场参与者的预期成本。下面的推论和图3对此进行了精确说明。推论3.3。设x=y，ρT>log（4+√62/2）/3≈ 0.69。那么θ>0时的预期成本限制se[CTN（ξ（N）|η（N））]严格低于θ=0时的预期成本限制。在我们的分析中，我们考虑了高频极限N↑ ∞ 同时将所有其他模型参数，尤其是ρ作为常数。事实上，人们可能会认为，交易频率的增加也有助于形成一个更具弹性的市场。也就是说，ρ可能随N增加。注意，对于某些常数c，推论3.3只需要ρ>c形式的条件。因此，如果将框架替换为ρ随N增加的变量，我们可以预期推论3.3的结论是稳健的。

此外，在【28】中观察到，对于固定和固定N，只要θ保持足够小，预期成本E【CTN（ξ（N）|η（N））]可以是θ的递减函数。我们模型中的二次交易成本也可以解释为二次交易税，θ≥ 0作为税率。推论3.3表明，这种税有时可以让每个人都变得更好，还可以产生一些额外的税收。为了更详细地分析税收收入和额外成本之间的权衡，我们引入以下定义。定义3.4。如果N∈ N、 税率为θ，ξ（N）∈ X（X，TN）和η（N）∈ X（y，TN）是相应的均衡策略，总税收为trn：=θξ（N）>ξ（N）+θη（N）>η（N）总成本定义为asCN（θ）：=E【CTN（ξ（N）|η（N））】+E【CTN（η（N）|ξ（N））】，总税收成本定义为CTN：=CN（θ）- CN（0）。总税收成本的渐近行为由定理3.2可知。对于总税收的渐近行为，我们有以下结果。结果表明，税收收入与税率θ在总体上是独立的，并且在总税收成本中占主导地位；另请参见图5。从这个意义上说，在我们的模式中，征收小额交易税是有益的。20 40 60 80 1000.020.040.060.080.100.12TRNTCNFigure 5：总税收，TRN和总税收成本，TCN，N=2，100，x=1，y=1/2，ρT=1，θ=θ*= 1/4。推论3.5。

对于θ>0和初始位置x，y∈ R、 TRN公司-→（x+y）9（1+2e3ρT）8（1- 2e3ρT（5+3ρT））+（x- y） 8（ρT+1）为N↑ ∞.此外，lim infN↑∞（TRN- TCN）=（x+y）2e3ρT+13（ρT+3）+2e6ρT（3ρT+5）- e3ρT（12ρT+19）1.- 2e3ρT（3ρT+5）3ρT+e3ρT+2e6ρT（3ρT+5）+7如果x 6=-y、 4连续时间内的纳什均衡鉴于上一节的收敛结果，很自然地会问，所获得的限制是否可能与我们模型的连续时间扩展中的纳什均衡有关。为此，我们现在介绍主模型的连续时间版本。第三作者的博士论文【34】首次陈述了本节陈述及其证明的先前版本。4.1可接受策略和纳什均衡的定义我们首次定义了连续时间内的可接受策略。文献[16、18、27、24、3、1]中对此类策略有各种定义；这里我们使用了[24]中的一个，其中策略是右连续的，但可能在时间t=0时立即跳转，因此需要一个起始值Z0-= z立即在时间t=0之前。定义4.1。A战略（Zt）t≥0-如果满足以下条件，则称为可接受：o（Zt）t≥0适用于过滤（Ft）t≥0；o功能t 7→ Ztis P-a.s.右连续且有界；o功能t 7→ Zthas有限和P-a.s.有界总变化；o存在T>0，因此对于所有T，Zt=0 P-a.s≥ T我们用初值Z0表示所有可容许策略Z的类-= z和时间范围T byX（z，[0，T]）。如果两个代理使用可接受的策略X和Y，则受影响的价格SX，Yis定义为asSX，Yt=St+Z[0，t）e-ρ（t-s） dXs+Z[0，t）e-ρ（t-s） dYs，其中积分是Stieltjes积分。

正如【24】中所述，我们对两人环境下清算成本的定义将由离散时间近似值驱动。为此，让X∈ X（X，[0，T]），Y∈ X（y，[0，T]），和N∈ N应给出。对于tNk：=千吨/吨∈ TN，我们定义了以下离散化交易ξN：=X- X0-和ξNk：=XtNk- XtNk公司-1对于k={1，2，…，N}；ηN：=Y- Y0-和ηNk：=YtNk- YtNk公司-1对于k={1，2，…，N}。然后ξN∈ X（X，TN）和ηN∈ X（y，TN）。此外，对于每个N∈ N let（εNk）k∈{0,1，…，N}是独立于σ（St）的i.i.d.Bernoulli（）分布随机变量序列≥0英尺）。根据定义2.2，我们得到，CTN（ξN |ηN）：=xS0-+NXk=0（ξNk）- SξN，ηNtNkξNk+εNkξNkηNk+θ（ξNk）,CTN（ηN |ξN）：=yS0-+NXk=0（ηNk）- SξN，ηNtNkηNk+（1- εNk）ξNkηNk+θ（ηNk）.在下面的引理中，我们得到了预期清算成本的收敛性。它的证明类似于[24，引理1]，因此省略了。引理4.2。作为N↑ ∞, 我们有[CTN（ξN |ηN）]-→EZ[0，T]Z[0，T]e-ρ| t-s | dXsdXt+Z[0，T]Z[0，T）e-ρ（t-s） dYsdXt+Xt∈[0，T]Xt公司Yt+θXt∈[0，T](Xt）.显然，通过交换前面引理中X和Y的角色，我们得到了预期成本E[CTN（ηN |ξN）]的收敛性。基于这个引理，我们现在可以陈述以下定义。定义4.3。给定初始资产头寸x，y∈ R和T>0，X的清算成本∈ X（X，[0，T]）给定Y∈ X（y，[0，T]）定义为asC（X | y）=Z[0，T]Z[0，T]e-ρ| t-s | dXsdXt+Z[0，T]Z[0，T）e-ρ（t-s） dYsdXt+Xt∈[0，T]Xt公司Yt+θXt∈[0，T](Xt）。我们现在可以在这个连续时间环境中定义纳什均衡的概念。定义4.4。

对于给定的时间范围[0，T]和初始资产头寸x，y∈ R、 纳什均衡isa对（X*, Y*) X（X，[0，T]）×X（y，[0，T]）中的策略*|Y*) ] = infX公司∈X（X，[0，T]）E[C（X | Y*) ] 和E[C（Y*|十、*) ] = infY公司∈X（y，[0，T]）E[C（y | X*) ].4.2纳什均衡的存在性和不存在性以下结果给出了连续时间纳什均衡存在性、唯一性和特征化问题的完整解。它特别指出，所有初始位置x，y都存在纳什均衡∈ R如果且仅θ等于临界值θ*= 1/4；在这种情况下，纳什均衡是唯一的，并且由定理3.1中导出的θ>0的均衡策略的连续时间限制给出。定理4.5。设ρ>0，T>0，x，y∈ 应给出R。（a） 对于θ=θ*= 1/4，存在唯一的纳什均衡（X*, Y*) 在适应策略的类X（X，[0，T]）×X（y，[0，T]）中。最优策略X*和Y*是确定性的和给定的*t=（x+y）Vt+（x- y） WT和y*t=（x+y）Vt-（十）- y） Wt，（5），其中vt=e3ρT6ρ（T- t） +4个- 4e3ρt2e3ρT（3ρT+5）- 1如果t∈ [0，T]和V0-= 1，Wt=ρ（T- t） +1ρt+1如果t∈ [0，T），W0-= 1，WT=0。（b） 对于θ6=θ*, 当且仅当x=y=0时，纳什均衡才存在，在这种情况下，纳什均衡是唯一的，均衡策略完全消失。从定理4.5（A）来看，一个自然的问题是，如定理3.2中观察到的θ>0时，离散时间预期成本的收敛是否可以解释为向连续时间均衡成本的收敛。以下推论以肯定的方式回答了这个问题。推论4.6。对于x，y∈ R、 让X*和Y*如（5）所示，假设θ=θ*= 1/4。

然后C（X*|Y*)等于定理3.2（a）中离散时间预期成本的极限。4.3唯一性和一阶条件在本节中，我们分析了连续时间中的纳什均衡。特别是，我们将证明纳什均衡的唯一性，证明确定性策略类中的纳什均衡也是更大的适应策略类中的纳什均衡，并提供纳什均衡中最优策略的一阶条件，扩展了[18]中推导的Fredholm积分方程。对于容许策略X和Y，我们定义了以下表达式，C（X，Y）：=EZ[0，T]Z[0，T]e-ρ| t-s | dYsdXt,C（X，Y）：=EZ[0，T]Z[0，T）e-ρ（t-s） dYsdXt公司, C（X，Y）：=EXt公司∈[0，T]Xt公司年初至今.然后，EC（X | Y）=C（X，X）+C（X，Y）+C（X，Y）+θC（X，X）。（6） 证明纳什均衡唯一性的第一步是映射X 7的严格凸性→E[C（X | Y）]，在下面的引理中建立。引理4.7。给定T>0，ρ>0，θ≥ 0，初始资产头寸x，y∈ R与容许策略∈ X（y，[0，T]），泛函E[C（X | y）]相对于X是严格凸的∈ X（X，[0，T]）。证据Letα∈ （0，1）和X，X∈ X（X，[0，T]）是两个不同的容许策略。自函数7起→ E-ρt正定义在Bochner意义上，我们得到c（X- 十、 X个- 十） =EZ[0，T]Z[0，T]e-ρ| s-t | dXs型- Xs型DXt公司- Xt公司> 0；（7） 见【18，提案2.6】。因此，C（αX+（1- α） X，αX+（1- α） X）<C（αX+（1- α） X，αX+（1- α） X）+α（1）- α） C（X- 十、 X个- 十） =αC（X，X）+（1- α） C（X，X）+2α（1- α） C（X，X）+α（1- α） C（X，X）- 2α（1- α） C（X，X）+α（1- α） C（X，X）=αC（X，X）+（1- α） C（X，X）。此外，C（X，Y）和C（X，Y）在X中显然是一个函数，而C（X，X）是凸的。结果如下（6）。我们现在可以建立纳什均衡的唯一性。提案4.8。

给定T>0，ρ>0，θ≥ 0和初始资产头寸x、y∈ R、 在适应策略的类X（X，[0，T]）×X（y，[0，T]）中最多存在一个平衡。证据我们使用了与[28，引理3.3]和[29，引理4.1]相似的推理。我们假设在X（X，[0，T]）×X（Y，[0，T]）中存在两个不同的纳什均衡（X，Y）和（X，Y）。然后我们定义α∈ [0，1]Xα：=αX+（1- α） X和Yα：=αY+（1- α） Y.我们进一步letf（α）：=EhC（Xα| Y）+C（Yα| X）+C（X1-α| Y）+C（Y1-α| X）i.根据引理4.7和两个纳什均衡（X，Y）和（X，Y）不同的假设，f（α）在α中是严格凸的，因此在α=0时具有唯一的最小值。下面是thatlimh↓0f（h）- f（0）h=df（α）dαα=0+≥ 另一方面，我们有ddαα=0E[C（Xα| Y）]=C（X- 十、 X）+C（X- 十、 Y）+C（X- 十、 Y）+2θC（X- 十、 X）。取E[C（Yα| X）]，E[C（X1）的导数-α| Y）]和E[C（Y1-α| X）]，以相同的方式给出SDF（α）dαα=0=-C（X- 十、 X个- X）- C（Y- Y、 Y型- Y）- C（Y- Y、 Y型- Y）- 2θC（X- 十、 X个- 十） +C（Y- Y、 Y型- Y）< -C（X- 十、 X个- X）-C（Y- Y、 Y型- Y）-C（X- 十、 Y型- Y） <0，这与（8）相矛盾。下面的引理将允许我们在搜索纳什均衡时专注于确定性策略。它类似于[28，引理3.4]。引理4.9。确定性策略类Xdet（x，[0，T]）×Xdet（y，[0，T]）中的纳什均衡也是适应策略类x（x，[0，T]）×x（y，[0，T]）中的纳什均衡。证据Let（X*, Y*) ∈ Xdet（x，[0，T]）×Xdet（y，[0，T]）是确定性策略类中的纳什均衡。对于任何策略X∈ X（X，[0，T]），我们有c（X（ω）| Y*) ≥ C（X*|Y*) 对于P-几乎所有ω∈ Ohm.因此我们得到E[C（X | Y*)] ≥ C（X*|Y*) 当且仅当C（X | Y）相等时*) = C（X*|Y*) P-a.s.这表明X的最优性*在自适应策略的类X（X，[0，T]）中。

类似地，我们得到了Y的最优性*在自适应策略的类X（y，[0，T]）中。这就完成了证明。现在，我们推导出了类X（X，[0，T]）内E[C（X | Y）]最优性的一阶条件以及给定Y∈ X（y，[0，T]）。第一个结果是以下命题，对于价格影响指数衰减的特殊情况，该命题扩展了[18，定理2.11]，其中，对于Y=0和θ=0，X的最优性∈ Xdet（x，[0，T]）用Fredholm积分方程表示。提案4.10。设x，y∈ R和Y∈ 给出Xdet（y，T）。然后是战略X*∈ Xdet（x，[0，T]）使清算成本C（x | Y）比x最小∈ Xdet（x，[0，T]），当且仅当存在常数η∈ 因此，对于所有t∈ [0，T]，Z[0，T]e-ρ| t-s | dX*s+Z[0，t）e-ρ（t-s） dYs公司+Yt+2θ十、*t=η。（9） 证明。首先假设X*将清算成本C（X | Y）减至最小∈ Xdet（x，[0，T]）。我们的目标是∈ [0，T]和定义Z∈ Xdet（0，[0，T]）乘以Zs={s≥t}-{s≥t} 。初始值为Z0的容许策略Z-= 0通常称为“往返”。X的最优性*意味着函数f（α）：=C（X*+ αZ | Y）=C（X*, 十、*) + C（X*, Y）+C（X*, Y）+αC（Z，Z）+θC（X*, 十、*)+ αC（Z，X*) + αC（Z，Y）+αC（Z，Y）+2αθC（Z，X*) + αθC（Z，Z）（10）在α=0时具有最小值。这里我们使用了分解（6）。因此，0=df（α）dαα=0=C（Z，X*) + C（Z，Y）+C（Z，Y）+2θC（Z，X*)=Z[0，T]e-ρ| t-s | dX*s-Z[0，T]e-ρ| t-s | dX*s+Z[0，t）e-ρ（t-s） dYs公司-Z[0，t）e-ρ（t-s） dYs公司+年初至今-Yt+2θ十、*T- 2θ十、*t、 因此，如果我们让η：=Z[0，t]e，那么，（9）如下-ρ| t-s | dX*s+Z[0，t）e-ρ（t-s） dYs公司+Yt+2θ十、*t、 相反，我们现在假设X*∈ Xdet（x，[0，T]）满足（9），并证明x*是最佳的。为此，我们采取任意的“往返”Z∈ Xdet（0，[0，T]）。