现代货币循环理论与互联银行的稳定性

（50）我们强调金融和非金融世界之间的直接平行关系，资本比率发挥着物理容量约束的作用。（m） 我们利用上述观察结果得出LVGEs的修正版本（15）。虽然描述sw动力学的第一个方程保持不变，但λwbecomesdλw的第二个方程=IfνfKf- α- β- ξAλwdt（51）=Дf（1- νf）CrνfKf- α- β- ξAλwdt，或符号上的dλw=Дf（1- νf）CrνfKf- Cλwdt。（52）（n）通过使用等式（4）和（31），我们可以将价格水平P表示为租客消费、Cr、就业、λw和其他重要经济变量的函数。这些方程表明CR（1- νf）sf=λwθwNwP。（53）因此，我们可以将P表示为以下P=Cr（1- Γf）sfλwθwNw。（54）4.3主要方程在本节中，我们总结了主要的动态MMC方程和相应的约束Dcr=κC\'\'Cr- Cr公司dt+σCCrdWC（t），dDr=δbbnir+（δrf- δrb）nif- δrbξ（左后+左前）-（δff-Дf）Cr（1-Дf）+dt，dLr=-ξLr公司+-δbbnir- （δrf- δrb）nif+δrbξ（左后+左前）+（δff-Дf）Cr（1-Дf）+dt，dDf=δffnif+（δff-Дf）Cr（1-Дf）+dt，dLf=-ξLf公司+-δffnif-（δff-Дf）Cr（1-Дf）+dt，dKf=ДfCr（1-Дf）- ξAKfdt+σKKfdWK（t），dKb=-δbb（ξ（Lr+Lf）+nir+nif），（55）其中nir，f=rDDr，f- rLLr，f，(R)Cr=αδbbnir+（δrf- δrb）nif+δrfCr（1-Дf）+ ανfKf，νf=ΦД+ДCr（1-νf）νfKf+ДDfKf+ДLfKf.（56）式（30）中引入的系数ν可以通过NewtonRaphson方法或通过定点迭代找到。第一次迭代通常是有效的，因此，大约≈ ΦД+ДCr（1- Φ（ν））νfKf+ДDfKf+ДLfKf.

（57）物理和财务能力约束为Yf=min（Yf，νfKf）(-循环流化床）+=(-CFb）+Iνb（Lr+Lf）-Kb<0(-CFf）+=(-CFf）+Iνb（Lr+Lf）-Kb<0。（58）此外，dθw=αθwdt，dNw=βNwdt，dsw=-A.- bλw-ωλuswdt+σs√swsfdWs（t），dλw=ДfCr（1-νf）νfKf- C-ωsfλwdt+σλ√λwλudWλ（t），P=Cr（1-νf）sfλwθwNw。（59）综上所述，我们提出了随机尺度不变MMC方程（55）、（56）的封闭系统。通过构造，这些等式保持了生产、消费和投资之间的平衡。此外，事实证明，修改后的LVGE仅起辅助作用，对于从最基本的层面理解货币循环而言，并不是必要的。这一有趣的特性是由于这样一种假设，即投资完全由利润驱动。如果将容量利用纳入到图中，那么MMC方程和LVGE就会相互关联。MMC方程的代表性解如图8所示。图8靠近此处。在现代社会，大量的钱必须存入银行，银行扮演着记录保持者的独特角色。储户实际上成为了银行的无担保初级债权人。如果一家银行违约，通常会导致部分存款被销毁。为了避免出现这种令人不安的情况，银行必须保持充足的资本缓冲和充足的流动性。此外，存款的保险额度达到一定的门槛。

在不深入探讨银行业性质不同方面的细微差别的情况下，我们提到了上个世纪写的几本书和论文，这些书和论文反映了各种相关问题，如熊彼特（1912）、豪（1915）、克莱因（1971）、储蓄（1977）、希利和林德利（1977）、戴蒙德和戴维希（1983）、法玛（1985）、塞尔吉尼亚·怀特（1987）、赫弗南（1996）、联邦储备银行（2005）、沃尔夫（2014）。为银行系统的内部工作提供一个简单的图形表示非常有用。我们从一家银行的简单案例开始，或者相当于整个银行系统。我们假设该银行没有满负荷运营，因此满足了条件（22）。如果认为有信用价值的新借款人接近该银行并申请一笔规模合理的贷款，则该银行通过同时在其账簿上创建存款（借款人的资产）和借款人的匹配负债（银行的资产）来发放贷款。打个比方说，银行“凭空”创造了一笔钱。当然，当贷款还清时，过程是相反的，钱也会被“销毁”。假设由于银行资本增加的往返过程，贷款利息高于存款利息。整个过程相对简单，如图9所示。首先，该银行拥有20个资产单位、15个负债单位和5个权益单位。然后，它向信誉良好的借款人借出2套住房。目前，该公司拥有22个资产单位和17个负债单位。因此，创建了2个新货币单位。如步骤3（a）所示，如果借款人带息偿还债务，则银行累计资产20.5个单位，一般为15个单位。在发达经济体，现金与银行存款的比例很小。

然而，当有非常大面额的纸币时，它们经常被用来代替银行账户。如果借款人违约，资金也会被销毁。然而，在这种情况下，银行的资本金自然会减少。负债和5.5个权益单位。如果借款人违约，如步骤3（b）所示，那么银行最终将拥有20个资产单位、17个负债单位和3个权益单位。在这两种情况下，2个货币单位被销毁。图9靠近此处。Werner一步一步地执行这一过程，并在最近的论文中描述了他的经历（Werner 2014）。值得注意的是，就单一银行而言，贷款活动仅受银行资本能力的限制，流动性并不重要。我们现在考虑两个（或可能更多）银行的更复杂情况。在这种情况下，有必要将流动性纳入其中。为此，我们还必须将中央银行纳入金融生态系统。我们假设银行将其部分资产以现金形式持有，这代表了中央银行的一项负债。货币创造过程包括三个阶段：（a）有信誉的借款人向第一银行申请贷款，该银行从其现金储备中拨款，从而将其流动性降低到预期水平以下；（b） 然后，借款人将资金存入第二家银行，第二家银行将该存款转换为现金，从而增加其流动性，使其高于预期水平；（c） 第一家银行与第二家银行接洽，以借入其超额现金。如果第二家银行认为第一家银行值得信贷，它将出借多余的现金，从而在自己和第一家银行之间建立联系。或者，如果第二家银行拒绝向第一家银行贷款其多余的现金，第一家银行必须向中央银行借款，将其经营性资产作为抵押品。

因此，央行通过向信用良好的借款人提供流动性来润滑商业车轮。它向商业银行贷款的意愿，反过来决定了它们向企业和家庭贷款的意愿。当借款人偿还贷款时，过程正好相反。当I银行向新借款人发放2个货币单位贷款时，货币创造过程就开始了，导致两家银行的资产负债表发生以下变化：外部资产interbank assetcash外部负债interbank liabilities interbank liabilities equity step IBank I Bank II19 246 93 420 253 75 5 step IIBank I Bank i21 246 91 620 273 75 5 step IIBank I Bank i21 246 113 420 275 75 5（60）。该过程如图10所示。我们让读者来分析金钱湮灭的过程。图10靠近此处。在这里，现金被理解为中央银行分类账中的电子记录。综上所述，与非银行企业相比，非银行企业的资产负债表可以通过资产a、负债L和权益E之间的简单关系来充分描述，a=L+E，（61）如图11a所示，典型商业银行的资产负债表除了外部资产和负债外，还必须包含更多细节，如银行间资产和负债以及现金，同时代表银行资产和中央银行负债，见图11b。图11靠近此处。在第4节中，我们定量描述了供需驱动的经济系统。在这个体系中，货币与其他商品同等对待，贷款需求和借贷活动的动态在供需平衡框架中得到理解。企业和家庭对贷款的需求不断增加，导致银行放贷更多。话虽如此，我们应该强调，银行创造新贷款的能力并不是有限的。

货币（贷款）的创造过程受到银行体系资本能力Kb/νb的限制。一旦我们将货币流动嵌入供求框架，我们就可以将该模型扩展到在经济中发放贷款的多家相互关联的银行。这些银行相互竞争业务，同时帮助彼此平衡现金持有量，从而建立银行间联系。由于系统中潜在的违约传播，这些链接构成了风险。我们下一节的主要目标是开发一个节俭的模型，尽管如此，该模型足够丰富，可以对银行生态系统进行充分的定量描述。我们寻找一个可调参数尽可能少的模型，而不是一个可调校准参数过多的模型。6相互关联的银行系统考虑N家银行的外部和共同资产和负债，格式为+Xj6=iLji=Ai+^Aiand Li+Xj6=iLij=Li+^Li，i，j=1。。。，N、 （62）银行间资产和负债定义为^Ai=Xj6=iLji，^Li=Xj6=iLij。（63）相应地，单个银行的资本为EI=Ai+^Ai- 李-^Li。（64）我们可以使用以下资产和负债矩阵来表示银行资产和负债A=（Aij），Aii=Ai，Aij=Lji，L=（Lij），Lii≡ Li，i，j=1。。。，N、 （65）因此，就其本质而言，银行体系具有内在联系。Rochet和Tirole（1996）、Freixas等人（2000）、Pastor Satorras和Vespignani（2001）、Leitner（2005）、Eglo off等人（2007）、Allen和Babus（2009）、Wagner（2010）、Haldane和May（2011）、Steinbacher等人讨论了这种相互联系的各个方面。

（2014），莱德利（2013），赫德（2015），以及其他许多人。在以下小节中，我们指定了资产和负债的动态，这与借款人违约的可能性一致。6.1资产和负债动态。违约边界在最简单的情况下，资产和负债的动态由SDE系统控制，其形式为Dai（t）Ai（t）=udt+σidWi（t），dLi（t）Li（t）=udt，dLij（t）Lij（t）=udt。（66）其中u是增长率，不一定是风险中性的，是相关的布朗运动，σ是对应的对数正态波动率。在更一般的情况下，相应的动力学可以包含跳跃，如Lipton和Sepp（2009）或Itkin和Lipton（2015a，2015b）所述。继Lipton和Sepp（2009）之后，我们假设企业资产的动态由Dai（t）Ai（t）=（u）给出- κiλi（t））dt+σidWi（t）+eJi公司- 1.dNi（t），（67），其中Niare-Poisson过程独立于Wi，λi跳跃到达的强度，概率密度为$i（j）的Jiare随机跳跃幅度，以及κi跳跃补偿器，κi=EeJi公司- 1.. （68）由于我们对研究违约的后果感兴趣，假设Jiare负指数跳跃就足够了，所以i（j）=0，j>0，ie，ijj≤ 0，（69），θi>0。扩散过程以通常的方式相互关联，dWi（t）dWj（t）=ρijdt。（70）跳跃过程按照马歇尔·奥尔金（1967）的精神相互关联。Wedenote by∏（N）N个名称的所有子集的集合，空子集除外{}, π是一个典型的子集。对于每个π，我们将泊松过程nπ（t）与强度λπ（t）相关联。每个Ni（t）投影在Nπ（t）上，如下所示Ni（t）=Xπ∈π（N）{i∈π} Nπ（t），（71），λi（t）=Xπ∈π（N）{i∈π} λπ（t）。（72）因此，对于每家银行，我们假设存在系统性和特殊性跳跃来源。

实际上，有必要考虑∏（N）的N+1子集，即包含所有名称的子集，以及一次仅包含一个名称的子集。对于所有其他子集，我们将λπ=0。如果需要额外的风险因素，可以包括代表特定行业部门或国家的额外子集。引入违约的最简单方法是遵循默顿的想法（默顿1974），并考虑在t=t时的最终结算过程，参见Webber和Willison（2011）。然而，鉴于银行业务的高度监管性质，很难证明这样的设置是合理的。因此，我们倾向于按照Black和Cox（1976）的精神对问题进行建模，并引入连续默认边界∧i，用于0≤ T≤ T，定义如下≤ ∧i=（RiLi+^Li-^Ai≡ ∧<i，t<t，Li+^Li-^Ai≡ ∧=i，t=t，（73），其中Ri，0≤ 国际扶轮社≤ 1是回收率。我们可以认为∧ias是外部和相互责任的函数，L={Li，^Li}，∧i=ψi（L）。如果第k家银行在中间时间t违约，则其余银行的资本将耗尽。我们通过应用以下函数改变幸存银行的指数化→ i=φk（i）=i、 i<k，i- 1 i>k.（74）我们还引入了反函数ψk，i→ i=ψk（i）=i、 i<k，i+1 i≥ k、 （75）相应的资产和负债矩阵A（k），L（k）采用形式（k）=A（k）ij（t）, A（k）ii（t）=Aψk（i）（t），A（k）ij（t）=Aψk（j），ψk（i）（t），L（k）=L（k）ij（t）, L（k）ii（t）=Lψk（i）（t）- Lψk（i），k（t）+RkLk，ψk（i）（t），L（k）ij（t）=Lψk（i），ψk（i）（t），t>t，i，j=1。。。，N- 1.（76）AI给出了相应的默认边界≤ ∧（k）i=（Rψk（i）L（k）i+^L（k）i-^A（k）i, t<t，L（k）i+^L（k）i-^A（k）i，t=t.（77）i 6=j。

很明显∧（k）i=∧（k）i- ∧i=（（1- RiRk）^A（k）i，t<t，（1- Rk）^A（k）i，t=t.（78），以便∧（k）i>0，默认边界（自然）向右移动。6.2终端沉降条件为了制定Kolmogorov方程的终端条件，我们需要按照Eisenbergand Noe（2001）的精神描述t=t时的沉降过程。设~A（T）为终端外部资产价值的向量。由于预计在T时会达成全面和解，我们假设某一特定银行将向其债权人（包括外部银行和内部银行）支付其总负债的一小部分ωiof。如果其资产足以满足其义务，则ωi=1，否则0<ωi<1。因此，沉降可以用以下等式系统来描述Ai（T）+XjLjiωj，Li+^Li= ωiLi+^Li, （79）或等效Φi（~ω）≡ 最小值Ai（T）+XjLjiωjLi+^Li，1= ωi.（80）很明显，~ω是映射Φ（~ω），~Φ（~ω）=~ω的固定点。（81）Eisenberg和Noe证明了~Φ（~ω）是标准欧几里德度量中的非扩展映射，并给出了仅存在一个固定点的条件。我们假设满足这些条件，因此对于每个~A（T），都有一个唯一的~ω~A（T）这样才能解决问题。如果ω=~ 1，则不存在违约，否则一些银行会违约。设~I为长度N的状态指示符（0，1）向量。用D表示~我以下域d~我=~A（T）ωi~A（T）=1，Ii=1<1 Ii=0. （82）在该领域，如果Ii=1，则第i家银行存续，否则违约。例如，在域D（1，…，1）中，所有银行存续，而在域D（0，1，…，1）中，第一银行违约，而所有其他银行存续，等等。实际的终端条件取决于特定的工具欠考虑。如果我们对整组银行的生存概率Q感兴趣，我们有QT、 ~A= 1～A∈D（1，…，1）。

（83）对于第i银行的边际生存概率，我们有qT、 ~A= 1～A∈∪~I（I）D（~ I（I）），（84），其中~ I（I）是Ii=1的指示向量集。到目前为止，我们已经为一组相互关联的银行介绍了资产和负债的随机动力学。这些动态明确允许个别银行违约。我们的框架重用了最初在信贷衍生品背景下开发的重型机械。尽管这种方法在数学上非常严格，但它对于定量描述作为信贷制造商的金融部门是必要的。6.3通过格林函数的一般解本节在数学上具有相当大的挑战性，在一读时很容易跳过。我们的目标是表达一般感兴趣的数量，例如单个银行的边际生存概率，以及它们在正重要的N维相关跳跃扩散过程中的联合生存概率。通常，引入规范化的无量纲变量更方便。为此，我们定义了t=σt，Xi=σilnAi∧<i,(R)λi=λi∑，（85），其中∑=NYi=1σi！1/N.（86）因此，t=(R)t∑，Ai=国际扶轮社Li+^Li-^AieσiXi/σ。（87）缩放的默认边界具有formXi≤ Mi（t）=0≡ M<i，t<t，∑σilnLi（0）+^Li（0）-^Ai（0）Ri（Li（0）+^Li（0））-^Ai（0）≡ M=i，t=t.（88）生存域D（1，…，1）由D（1，…，1）={Xi>M=i}，（89）给出，因此，我们需要在正锥R（N）+中执行所有计算。~X=（X，…，XN）的动力学由以下方程dxi=-σi2∑+κi'λid't+dWi（'t）+∑iJidNi（'t）（90）≡ ξid't+dWi（'t）+ζiJidNi（'t）。下面，为了简洁起见，我们省略了条，并重写了公式。