最优多次停车的解析递推方法：Canadization

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英文标题：
《An analytic recursive method for optimal multiple stopping: Canadization
  and phase-type fitting》
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作者：
Tim Leung and Kazutoshi Yamazaki and Hongzhong Zhang
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  We study an optimal multiple stopping problem for call-type payoff driven by a spectrally negative Levy process. The stopping times are separated by constant refraction times, and the discount rate can be positive or negative. The computation involves a distribution of the Levy process at a constant horizon and hence the solutions in general cannot be attained analytically. Motivated by the maturity randomization (Canadization) technique by Carr (1998), we approximate the refraction times by independent, identically distributed Erlang random variables. In addition, fitting random jumps to phase-type distributions, our method involves repeated integrations with respect to the resolvent measure written in terms of the scale function of the underlying Levy process. We derive a recursive algorithm to compute the value function in closed form, and sequentially determine the optimal exercise thresholds. A series of numerical examples are provided to compare our analytic formula to results from Monte Carlo simulation.
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中文摘要：
研究了由谱负Levy过程驱动的呼叫类型支付的最优多重停止问题。停止时间由恒定折射时间分隔，贴现率可以为正或负。计算涉及列维过程在恒定视界上的分布，因此通常无法通过解析方法获得解。受Carr（1998）提出的成熟度随机化（Canadization）技术的启发，我们使用独立、同分布的Erlang随机变量来近似折射时间。此外，为了将随机跳跃拟合到相位型分布，我们的方法涉及对根据潜在Levy过程的标度函数编写的预解测度的重复积分。我们推导了一个递归算法来计算封闭形式的值函数，并依次确定最佳运动阈值。通过一系列数值算例，将我们的解析公式与蒙特卡罗模拟结果进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> An_analytic_recursive_method_for_optimal_multiple_stopping:_Canadization_and_pha.pdf (1.19 MB)

2022-5-22 02:06:24 上传

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关键词：ATION Canad IZA ADI TIO

最优多重停车的解析递归方法：CANADIZATION和PHASE-TYPE FITTINGTIM LEUNG、KAZUTOSHI YAMAZAKI和HONGZHONG ZHANGABSTRACT。研究了由谱负L'evy过程驱动的呼叫类型支付的最优多重停止问题。停止时间由恒定折射时间分隔，而非集中度可以是正的或负的。该计算涉及到L'evy过程在恒温线上的分布，因此通常无法通过分析获得解。受卡尔（Carr）[14]的成熟度随机化（Canadization）技术的启发，我们使用独立、同分布的Erlang随机变量来近似折射时间。此外，通过将随机跳变设置为相位型分布，我们的方法涉及到根据基础L'evy过程的标度函数编写的预解测度的重复积分。我们推导了一个递归算法来计算封闭形式的值函数，并依次确定最佳运动阈值。提供了一系列数值示例，将我们的分析公式与蒙特卡罗模拟的结果进行比较。JEL分类：G32、D81、C61数学学科分类（2010）：60G40、60J75、65C50关键词：最佳多次停止、折射时间、成熟度随机化、相位类型设置、L’evy过程1。导言一系列广泛的金融应用可以表述为最优多重停止问题。这些包括能源交付合同，如摇摆期权【12、13、51】、衍生品清算【25、36、37】、实物期权分析【15、17、19、44】，以及可能具有额外重新加载和暂停期权的员工股票期权【24、38、39】【18】。在许多此类应用中，连续停车时间由一个常数或随机周期分隔。

在文献中，尤其是摆动选项中，此计时约束通常称为折射周期。在实物期权分析中，折光期可以解释为在做出投资决策后建造基础设施所需的时间。在本文中，我们讨论了一种解析递归方法来解决由L'evy过程驱动的折射最优多重停止问题。本文主要研究最优多重映射问题的计算方面。相关研究表明，最优策略是阈值型的。此版本：2018年9月17日。2 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang因此，最优停止问题减少到找到这些阈值。然而，阈值的确定仍然涉及计算恒定折射周期结束时函数的期望值，这通常是不明确的。在现有文献中，蒙特卡罗模拟方法通常用于评估这些期望（参见[8，45]等）。然而，在实践中，这种方法的计算代价很高，甚至在运行时间方面不可行。此外，对于多次停止，需要知道整个预期未来回报函数（相对于基础过程的起点），以便向后确定这些函数以及早期阶段的最佳阈值水平。模拟方法通常涉及计算任意多个起点的这些期望值，这增加了计算负担并限制了其适用性。在这方面，重要的是以闭合形式近似这些函数，以便有效地进行反向归纳。我们分析的一个关键特征是，未来现金流折现率可以是负的，也可以是正的。

负贴现率可以适应许多应用，例如股票贷款[11，49]，以及投资成本增长快于无风险利率的实物期权问题。在这些情况下，可以解释为有效贴现率为负。正如Black[9]所言（参见其中的参考文献），通常认为名义短期利率必须保持为正，但实际利率可能为负，特别是在低收益率制度下。因此，我们的框架允许以负的实际利率或实际利率贴现现金流。在我们的模型中，基本过程是一个光谱负L'evy过程，最近在数学金融中得到广泛应用。负跳跃可以模拟阿纳斯特价格的突然下跌。这些过程适用于信贷风险的结构模型，并在[20、26、35、40、47]中研究的到期日变为零时产生信贷利差的非零限制值。谱负L'evy过程的一些最新应用包括永久美式和异或期权的定价【1，6】、最优股息问题【7，33，43】和资本强化时机【21】。对于谱负模型下的相关最优多重停止问题，我们提到了具有常数折射时间的aswing-put期权的[51]，以及具有更一般的无折射时间支付函数的[50]。对于具有更一般过程的模型，Leung等人。

[41]研究由具有一般随机折射时间的双边L'evy过程驱动的折射最优多重停止问题，Christensen和Lempa[16]考虑了由具有指数折射时间的一般马尔可夫过程驱动的类似问题。受卡尔（Carr）[14]提出的成熟度随机化（Canadization）方法的启发，我们通过将每个常数折射时间替换为一个独立的Erlangandom变量，或独立的、相同分布的指数分布时间的有限和，来提供分析近似。我们的方法涉及到预解测度的重复积分，预解测度是由潜在的谱负L'evy过程的尺度函数写成的。关于在有限时间期限美式期权定价中应用的随机方法，我们请读者参考[28，34]；最近关于所谓的维纳-霍普夫模拟的工作中也使用了类似的想法【31，23】。BouchardOPTIMAL MULTIPLE STOPPING、CANADIZATION和PHASE-TYPE FITTING 3等人【10】分析了一种成熟度随机化算法，并将其应用于随机控制问题，应用于不确定波动率下的最优单停和动态对冲。为了应用随机化方法，在对预解测度应用积分后，必须保留闭式表达式。当基础L'evy过程的拉普拉斯指数具有有理形式时，这就满足了，在这种情况下，标度函数可以写成指数（可能是复杂的）的有限和（见[30]）。这里，我们关注的是相位型L'evy过程[2]，它构成了一类重要的L'evy过程，具有有理变换的拉普拉斯指数。原则上，任何光谱负L'evy过程都可以用这种形式的L'evy过程来近似（我们称之为相位类型拟合）。

特别是，Egami和Yamazaki[22]给出了一系列数值实验，用相位型L'evy过程的标度函数来近似一般谱负L'evy过程的标度函数。对于应用于具有完全单调L'evy密度的CGMY过程的超指数拟合方法，请参见【3】。基于这些动机，我们将相位类型设置和随机化方法相结合，以有效地计算最优多重停止问题的解。具体地说，给定一个一般的光谱负evy过程，我们首先通过相位型L'evy过程来近似它，然后通过使用独立、相同分布的Erlang随机变量随机化常数折射时间来近似解。我们将证明所得的近似值函数是以闭合形式编写的，相关参数是递归计算的。我们的目标是从数值上评估我们方法的有效性，尤其是由于（i）跳跃分布的相位类型拟合和（ii）折射时间随机化而导致的值函数的准确性。关于第（i）部分，虽然理论上已知相型分布类在所有正值分布类中都是稠密的，但目前还不存在一种单一算法，可以生成保证收敛到期望分布的相型分布序列（除非其密度完全单调）。关于折射时间随机化，关于随机化方法的相关收敛结果，请参考[10]和[42]。在相关研究[28]中，进行了详细的数值实验，以证实当L'evy过程为亚纯类时，pricingAmerican看跌期权的收敛性。

然而，值得注意的是，这些结果并不直接适用于我们的情况，因为我们处理的是折射时间随机化的多重最优停止问题。此外，支付函数（调用类型）没有边界。出于这些原因，对我们的方法进行数值评估是很重要的。在本文中，通过一系列数值例子，我们表明我们的方法能够准确有效地计算值函数序列和最佳运动阈值。此外，运行时分析表明，该方法明显快于蒙特卡罗模拟方法，蒙特卡罗模拟方法采用欧拉方法来近似恒定折射时间下一阶段的期望值函数。另一方面，随着级数和RLANG分布形状参数的增加，通常的机器双精度可能无法计算值函数中的4个T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang参数。除此之外，我们的封闭式公式通过与模拟值的比较得到证实，并允许更有效的计算。论文的其余部分组织如下。第2节回顾了谱负L'evy过程的最优多重停止问题以及最优策略在上交叉时间方面的特征。第3节介绍了我们的随机化方法，并使用预解测度粗略地推导了解析值函数。第4节讨论了相位类型拟合的应用，并给出了计算随机问题值函数参数的反向归纳公式。在第5节中，我们对所提出的方法进行了数值评估。2、前期准备(Ohm, F、 P）是承载谱负L'evy过程X=（Xt）t的概率空间≥0

Wede FINE F：=（Ft）t≥0作为X生成的已完成过滤，T是所有值的集合[0，∞]-有价值的Fstopping次数。我们将px表示为概率，exa表示初始值X=X的期望∈ R、 特别是，当X=0时，我们去掉px和Ex中的下标。通过L'evy-Khintchine公式，X可以由ψ（s）给出的拉普拉斯指数表征：=log EesX= cs+σs+Z(-∞,0）（esz- 1.-sz1{-1<z<0}）π（dz），s≥ 0，（2.1），其中∏是带支撑的L'evy测量(-∞, 0）满足可积性条件r(-∞,0）（1∧z） ∏（dz）<∞. 当且仅当σ=0 andR时，它具有有界变差路径(-1,0）| z |∏（dz）<∞ ; 在这种情况下，我们将（2.1）写成ψ（s）=ecs+Z(-∞,0）（esz- 1） ∏（dz），s≥ 0，（2.2），ec：=c-R(-1,0）z∏（dz）。我们排除以下情况：-X是一个从属函数（即X具有单调递减路径a.s.）。这个假设意味着，当X是有界变化时，ec>0。此外，我们在整篇文章中假设Xt允许密度；如果σ>0或L'evy测量的绝对连续部分具有有限质量，则保证满足该要求（参见例如[48]）。假设2.1。我们假设P{Xt∈ dx}<< 所有t>0的dx。我们考虑顺序停止（练习）机会的问题，其中每次练习的收益为φ（x）：=ex- K、 x个∈ R、 （2.3）对于某些常数K>0。相关的最优多重停车问题定义为（2.4）v（N）（x）：=sup~τ∈T（N）Ex“NXn=1e-ατnφ（Xτn）11{τn<∞}#, 十、∈ R、 N个∈ N、 最佳多次停车、CANADIZATION和相位型拟合5在这里，优化是停车时间的总体递增顺序，以这样的方式，任何两个连续的停车时间都被折射周期δ>0隔开。换句话说，可容许策略集由t（N）给出：={~τ=（τN，…，τ）∈ TN：τn+1+δ≤ τn，n=n- 1.

，1}。（2.5）在这里，我们以这样的方式标记τ是剩余n个停止机会时的停止时间。接下来，对于任何给定的贴现率α∈ R、 我们定义了过程x（α）t：=Xt- αt，t≥ 0，（2.6），这是一个光谱负的L'evy过程或从属函数的负。众所周知，运行supermumx（α）的极限∞:= sup0≤t型<∞X（α）是一个P指数随机变量，速率参数Φ（α）：=sup{λ≥ 0：ψ（λ）- αλ≤0}，（2.7）与约定thatX（α）∞= ∞ a、 s.wheneΦ（α）=0，thatX（α）∞= 0 a.s.当Φ（α）=∞. 因此，ifeΦ（α）>0，则期望值e[eX（α）∞] =1.-eΦ（α）-1<∞,（2.8）对于任何常数 ∈ （0，eΦ（α））。自λ7起→ ψ（λ）- αλ在[0]上是严格凸的，∞) 如果ψ（1）<α，则eΦ（α）>1在理论上为零。在这种情况下，我们可以选择^ > 1使得上述力矩生成函数是有限的，因此，对于K的正性，我们有（2.9）Ex“sup0≤t型<∞E-αtφ（Xt）+^#< ∞, 十、∈ R、 这是一个关键条件，因此问题的解决方案是非平凡的（参见，例如，[13，41，51]）。实际上，对于α<0的情况，我们可以稍微减弱条件（其中exp(-αt）K增长到完整），以适应给定ψ′（1）<0的情况ψ（1）=α（见[41]中的证明）。假设2.2。我们假设（i）ψ（1）<α或（ii）ψ（1）=α<0且ψ′（1）<0成立。这保证了值函数是有限的，并且允许非平凡的解决方案。最优策略由τ形式的上交时间序列给出*N： =T+a*N、 τ*n： =T+a*No θτ*n+1+δ+τ*n+1+δ，1≤ N≤ N- 1，（2.10）对于某些参数a*= （a）*n） 1个≤N≤n其中θ是时移运算符，t+a：=inf{t>0:Xt≥ a} ，a∈ R、 （2.11）6 T.LEUNG、K.YAMAZAKI和H.Zhang，按照通常的惯例 = ∞. Mordecki[46]证明了单停止问题阈值策略的最优性。

对于多阶段问题，同样的描述也适用，我们请读者参考[13，51]和作者的配套论文[41]进行证明。鉴于这些特征，最优策略的实施简化为确定*, 这是我们论文的主要目的。为此，我们首先递归重写（2.4）如下（参见[29，41]等）：（2.12）v（n）（x）：=supτ∈特克斯E-ατφ（n）（Xτ）11{τ<∞},式中（2.13）φ（n）（x）：=φ（x）+ExE-αδv（n-1） （Xδ）, n=1，2，N、 v（0）（x）：=0。假设（2.12）中的最佳停止时间为阈值类型，则*nca可以通过最大化候选阈值上的值函数来确定：a*N∈ arg最大值∈Rv（n）a（x），（2.14）（在x中均匀最大∈ R） ，其中v（n）a（x）：=Exhe-αT+aφ（n）（XT+a）11{T+a<∞}i、 a、x∈ R、 （2.15）以下引理对于正贴现率α是众所周知的≥ 0（见[32]，定理3.12）。假设不足2。2，我们将结果推广到α<0的情况。设Φ（α）：=sup{λ≥ 1：ψ（λ）=α}，（2.16），由假设2.2保证存在（假设ψ（1）≤ α） 因为ψ在[1]上是三次凸的，∞) .引理2.1。在假设2下。2，我们有E[E-αT+y{T+y<∞}] = 经验值(-Φ（α）y）表示y>0，否则等于1。证据我们将通过ψ的严格凸性来表示ψ（1）<α（因此Φ（α）>1）；ψ（1）=α的情况紧接着是单调收敛定理和Φ（·）的连续性。修复y>0。