使用OCMat从0D到1D空间模型

在正则系统存在多重平衡的情况下，这一点尤其正确。因此，最优系统和正则系统的分岔之间不存在一一对应关系。唯一最优平衡在b=0.75的情景I中，稳定路径数值分析的重要性尤为明显。在图2中，我们可以看到，在标准系统中存在三个平衡点（两个鞍座和一个不稳定焦点），而最优系统仅由一个全局稳定平衡点组成。差异阈值b=0.65时，标准系统的平衡数量和性质保持不变，但最佳系统由两个局部稳定的平衡组成，由差异阈值PI分离，见图3。因此，平衡的局部稳定性分析必须得到相应稳定流形的全局分析的支持。即使可以解析地实现firsttask，也只能在极少数情况下解析地计算稳定路径。通常，特别是在我们的情况下，我们必须求助于数值方法来解决后一项任务。场景II的差异点c=3.5，典型系统显示两个鞍座和一个不稳定节点（见图4a）。计算稳定路径并比较目标值，我们发现不稳定平衡是一个阈值（见图4b）。这种不稳定平衡将两个局部稳定平衡的吸引区域分开，这两个平衡对应于两个鞍座（参见图。

4c）。第二种情况（c=3.0825）产生了定性相同的结果，未进行描述。4具有空间差异的浅水湖模型Maxu（·，·）Z给出了将浅水湖模型（16）扩展到空间分布模型类的建议inBrock和Xepapadeas【2008年】∞E-ρtZOhmln（u（x，t））- cP（x，t）dx dt（19a）s.t。tP（x，t）=u（x，t）- bP（x，t）+P（x，t）1+P（x，t）+DxP（x，t）（19b）nP（x，t）|Ohm= 0（19c）P（x，t）| t=0=P（x），x∈ Ohm = [-五十、 L] R、 （19d）与Brock和Xepapadeas【2008】相反，我们制定了Neumann条件方程（19c）的问题，即所谓的零flux边界条件，而不是周期性边界条件。从解释的角度来看，我们假设湖泊连续位于一排，并且有0个。55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.80.20.40.60.811.21.41.61.8b | P | CSS0CSS-（a） 平衡分岔图2。4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40.40.50.60.70.80.911.11.21.3c | P |（b）平衡分岔图图1：表示满足SPP和 表示不满足SPP的平衡。第一行中的图显示了分叉参数与（绝对）状态值的关系。在第二行中，绘制了平衡范数与分岔参数的关系图。面板（a）（ρ=0.03，c=0.5，变化b）表明存在两个分离的平衡分支。在区间[0，0.727]存在三个平衡。面板（b）（ρ=0.3，b=0.55和变化的c）表明存在一个平衡分支。

在区间[2.566，3.556]中存在三个平衡。0 0.5 1 1.5-7.5-7.-6.5-6.-5.5-5.-4.5-4.-3.5-3.-2.5PλCSS0CSS-（a） 州-成本0.5 1 1.5-72-71-70-69-68-67-66-65-64PJ（b）状态-目标值0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.4P˙P OSS0（c）最优系统图2：对于ρ=0.03、c=0.5和b=0.75，正则系统（a）中存在三个平衡。最优系统（c）只包含一个全局最优平衡点。在面板（a）中，表示规范系统的鞍座 不稳定的焦点。在图（c）中，o表示全球稳定平衡。0 0.5 1 1.5-12-11-10-9-8.-7.-6.-5.-4.-3PλCSS0CSS-（a） 州-成本0.5 1 1.5-81-80-79-78-77-76-75-74-73-72-71-70PsPJ（b）状态-目标值0 0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3PsP˙P OSS0ITP（c）最优系统图3：对于ρ=0.03、c=0.5和b=0.65，标准系统（a）中存在三个平衡。最优系统（c）由两个局部最优平衡点组成。吸引盆地由一个差异阈值点（Skiba点）PI分离，在PI处有一个不连续的动力学。在面板（a）中，表示规范系统的鞍座 不稳定的焦点。在图（c）中，表示局部稳定平衡。0 0.5 1 1.5-25-20-15-10-50PλCSS0CSS-（a） 州-成本0.5 1 1.5-35-30-25-20-15-10-5PJ（b）状态-目标值0.5 1 1.5-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.3P˙P OSS0OSS-（c） 最佳体系图4：对于ρ=0.3、c=3.5和b=0.55，规范体系（a）中存在三个平衡。最优系统（c）由两个局部最优平衡点组成。吸引盆地由最优不稳定平衡^Pu分离。在面板（a）中，表示规范系统的鞍座， 不稳定的节点。在面板（c）中，表示局部稳定的最优平衡和 表示最优不稳定节点。湖外无水流。

周期性边界条件指的是环形湖泊。Brock和Xepapadeasargue认为，他们使用周期性边界条件来排除端点条件引起的影响。无论如何，由于这一点没有触及我们的论点，即有必要分析最优控制系统的全局行为，因此我们在这方面更改了模型公式。使用第2.2节中提出的（FDM）离散化，我们发现Maxu（·），。。。，联合国（·）Z∞E-rtG（P（t），PN（t），u（t），uN（t））dt（20a）s.t.˙Pi（t）=ui（t）- bPi（t）+Pi（t）1+Pi（t）+D（Pi-1（t）- 2Pi（t）+Pi+1（t））（20b）P（t）- P-1（t）=PN+1（t）- PN编号-1（t）=0，t≥ 0（20c）Pi（0）=Pi，0>0（20d），其中xi=iN，i=0，N、 D：=DN2LPi（t）：=P（xi，t），ui（t）：=u（xi，t）Pi：=P（xi，·），ui：=u（xi，·）G（P，…，PN，u，…，uN）：=NN-1Xi=1g（Pi，ui）+g（P，u）+g（PN，uN）g（Pi，ui）：=ln（ui）- CPI将Pontryagin极大值原理应用于等式。（11） 产生正则系统˙Pi（t）=uoi（t）- bPi（t）+Pi（t）1+Pi（t）+D（P）i（t）（21a）˙λi（t）=ciPi（t）+λi（t）ρ+b-2Pi（t）（1+Pi（t））- D（λ）i（t）（21b）Pi（0）=Pi，0>0，i=0，N（21c）uoi（t）=-2λi（t）i=0，N-λi（t）i=1，N- 1（21d）ci：=（c i=0，N2c i=1，…，N- 1D（P）i（t）：=D（P（t）- P（t））i=0D（Pi-1（t）- 2Pi（t）+Pi+1（t））i=1，N- 1D（PN-1（t）- PN（t））i=ND（λ）i（t）：=D（λ（t）- 2λ（t））i=0D（2λ（t）- 2λ（t）+λ（t））i=1D（λi-1（t）- 2λi（t）+λi+1（t））i=2，N- 2D（λN-2（t）- 2λN-1（t）+2λN（t））i=N- 1D（λN-1（t）- 2λN（t））i=在附录B中，解释了OCMat中模型（20）的实施细节。4.1标准/最优系统的平衡标准系统方程（17）的CSS与标准系统方程（21）推论4.1的FCSS之间存在密切关系。Let（^Pd，^ud）∈ R2N+2be FOSS则（^Pd，1/（2u））是正则系统方程（17）的平衡。推论4.2。

设（^P，^λ）为正则系统方程（17）的平衡。然后，^Pd：=（^P，…，^P）和^λd：=（2^λ，^λ，…，^λ，2^λ）是FCS。推论4.3。设（^P，^λ）为正则系统方程（17）的鞍。然后对于足够小的^D（^Pd，^λD）∈ 推论4.2中定义的R2N+2为FCSS。PCS通常不能用解析方法计算，因此我们必须求助于数值方法。利用推论4.2，我们可以用等式（17）的平衡来开始等式（21）的分岔分析。PCS从分叉曲线的分支点出现。Grass和Uecker【2015】使用pde2path进行了相应的分岔分析，pde2path是一个用于椭圆PDE分岔分析的MATLAB软件包，参见Uecker等人【2014】和Dohnal等人【2014】。由于实际模型（16）是具有有限状态数（N+1）的0最优控制模型，因此等式（21）的分歧分析是使用CL MATCONT的修改版本进行的。我们分析了表1中规定的两种不同情况。第一种情况，图5a中描述了与b相关的相应分叉分析。黑色曲线表示FCS的分叉曲线。这些曲线的形状与图1a中0D模型对应的分叉曲线相同。对于较低的分支，我们还发现了四个分支点o, PCS的分支发出（红色、绿色、品红和青色）的地方。沿着PCS的分岔曲线，我们发现了额外的分岔点，并计算了相应的分岔曲线（棕色、深绿色和橙色）。因此，对于b=0.65，我们总共发现两个FCS（对应于0D模型中的寡营养和富营养平衡），一个FCS-,十三个PCS-和一个PCS。

事实上，棕色和深绿色分支由两条具有空间对称平衡的明显分叉曲线组成。第二种情况，图5b描述了与c相关的分叉分析。FCSS的黑色分叉曲线由一个分支组成，显示出两个分支和六个分支点o. 这六个分支点由PCS的三条分支曲线（红色、品红和绿色）连接。红色和绿色曲线由两个空间对称的分支组成。从品红PCSS分叉曲线中，又发出两条PCSS分支（棕色和橙色）。在第4.4节中，我们考虑了c=3.5和c=3.0825的两种特殊情况。在第一种情况下，存在两个FCS（对应于0D模型中的寡营养和富营养平衡），一个FCS-, 10个PCS-和两个PCS。在后一种情况下，存在两个FCS，一个FCS-和四个-.4.2第一种情况下的最佳解决方案以两种情况为例具体情况b=0.75和b=0.65的大多数结果已在Grassand Uecker【2015】中讨论过。因此，我们只做了一个简短的总结，并将重点放在使用OCMat更容易获得的一些方面。对于b=0.75，存在一个FOSS，在结构上再现了相应0D模型的结果。对于b=0.65，主要结果是，作者可提供此修改版本。0.6 0.62 0.64 0.66 0.68 0.7 0.72 0.74 0.760.20.40.60.811.21.41.6^Pd，oFSS0^PdHSS0^Pd，eFSS0^PdFSS0b | | Pd | 2 FSS0FSS-BPHSS0HSS-（a） 第一种情况b，ρ=0.03，c=0.52.6 2.8 3 3.2 3.4 3.60.30.40.50.60.70.80.911.11.21.3^PdHSS0^Pd，eFSS0^Pd，oFSS0^Pd，eFSS0^Pd，oFSS0^Pd，oFSS0^PdHSS-^PdHSS-c | | Pd | 2（b）第二种情况c，ρ=0.3，b=0.55图5：正则系统方程（21）的分岔分析如（A）和（b）所示。

符号：o表示满足SPP的平衡， 不满足SPP和o 平衡流形的分支点。FOSS曲线为黑色，HOSS曲线为彩色。沿着红色HOSS曲线出现两次分叉，这些分叉之间的HOSS候选符合SPP。o没有一个PCS是最优的。o这两个FCSSA是最佳的。o相应的景点盆地由差异阈值流形分隔开。o在Grass和Uecker【2015】中，我们计算了一个同质和模式的差异阈值点。同质差异阈值与模型（16）中差异阈值的值一致。接下来，我们详细解释了收敛到满足SPP的平衡的解的计算。随后解释了检测差异阈值的必要步骤。OCMat中的计算详情见附录B.4.3 A局部最优模式平衡。为了证明PCS（^PdPCSS，^λdPCSS）是一个最优平衡，见图5a，我们必须证明不存在其他解（Pd（·），ud（·）），Pd（0）=产生更大目标值的PdPCSS。存在满足SPP的其他两个平衡，即两个FCS，寡营养（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和富营养FCS（^Pd，eFCSS，^λd，eFCSS）（见图5a）。对于这些平衡中的每一个，都可能存在Pd（0）=^Pdpcss的路径，并收敛到贫营养/富营养平衡。为了确定这些路径，我们考虑相应的同伦问题等式（25），其中x分别从平衡点（^Pd，oFCSS，^Pd，oFCSS）和（^Pd，eFCSS，^λd，eFCSS）开始被^pdpcs代替。4.3.1与平衡溶液的比较这些计算结果如图6所示。图6a说明了“嵌入”等式。

（25b）。绿色歧管从富营养状态^Pd、EFC开始，蓝色歧管从富营养状态^Pd、OFCSS到模式状态^PDPCS。在κ从零延续到一的过程中，初始状态位于这些流形中。在图中。6b和6c显示了κ=0.5的溶液路径的状态及其范数（绿色和蓝色）。此外，还描述了平衡解的状态和范数。图6d至6f显示了κ=1的最终结果，还包括控制路径图。此外，图6g和图6e揭示了共状态的值以及因此Pd（0）=^Pdpcsass的三种溶液的控制是不同的。图6h显示了状态共状态空间中的切片流形（见定义A.1）。每个标记×表示一个连续步骤。在图6e中，绘制了沿切片流形的目标值，即根据初始点的（范数）绘制了目标值。我们发现，κ=1的最终解具有更高的目标值，而富营养化的解收敛到FCSS，从而控制了其他解。另一方面，曲线的梯度表明它们最终相交。这种交点表征了一个差异阈值点（0D模型参见图3b）。4.3.2差异阈值点的检测和延续。为了沿着切片流形找到目标值的可能交点，我们必须确保切片流形具有可比性，并且必须检查它们是否相交（见定义a.2）。例如，图6h中所示的片状流形是不可比较的，这仅仅是因为流形{Pd，oFCSS+（1- α） （^PdPCSS-^Pd，oFCSS）：α∈ R} {^Pd，eFCSS+（1- α） （^PdPCSS-^Pd，eFCSS）：α∈ R} 。是不同的。参见图6a），其中绿色和蓝色曲线描绘了这些歧管的（部分）。

只有当切片流形具有可比性且具有非空交点时，这意味着对应于切片流形交点的解从相同的初始状态开始，然后可以比较它们的目标值。无论如何，由于解从^PdPCSS开始并收敛到FCSSis，我们可以用x（0）=^PdPCSS+（1）开始同伦BVP（25- κ） （^Pd，oFCSS-^PdPCSS）。在这种情况下，歧管{^Pd，oFCSS+（1- α） （^PdPCSS-^Pd，oFCSS）：α∈ R} {^PdPCSS+（1- κ） （^Pd，oFCSS-^PdPCSS）：κ∈ R} 。微小重合，切片流形具有可比性，见图7a。此外，切片manifoldsintersect和相应的目标值曲线在不同阈值点pdi，1处相交（见图7d）。在图7b和图7e中，示出了相应的状态Pde、o（·）和控制路径ude、o（·））。对三个两个FCS和PCSS重复相同的程序，我们发现PCSS不是最优的，我们再次发现进一步的差异阈值PdI，2。图7c和图7f中描绘了相应的解决方案。看看我们如何在PdI 1和PdI 2之间找到差异阈值是一个有趣的问题。让我们回顾一下，我们通过n+1维空间（Pd，J（Pd（0）））中两个n维流形（n=n+1状态数Pd）的交点发现了差异阈值点。一般来说，这会产生一个n- 1=N维歧管。对于离散化N=50，其维数太大，无法恢复整个差异阈值流形（在原始PDE问题中，维数实际上增加到了整数）。无论如何，我们可以沿着线性连接PdI，2+（1）搜索差异阈值点- κ） （PdI，1- PdI，2）。结果显示在嵌入图7e的动画中。

附录A.2.2给出了该问题数值解的相应BVP。-10-5051000.510.60.811.21.4xiuPd0，u（a）初始分布歧管-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（b）κ=0.50 20 40 60 80 1000.50.60.70.80.911.11.21.31.4t | Pd | 2（c）κ=0.5时的状态范数-10-505100501000.60.811.21.4xitPd（d）κ=1时的状态路径-10-505100501000.10.150.20.25xitud（e）κ=10 20 40 60 80 1000.50.60.70.80.911.11.21.31.4t | Pd | 2（f）κ=10 20 40 60 80 1004567810t |λd | 2（g）κ=10.6 0.8 1 1.2 1.44567910 | Pd | 2时状态的范数| |λd | | 2（h）切片歧管0。6 0.8 1 1.2 1.4-79-78-77-76-75-74-73 | | Pd | | 2J（i）切片Manifold的目标值图6：该图显示了从atPd（0）=PDPcss开始并收敛到寡营养和富营养FCS的连续过程的步骤。颜色是指营养（蓝色）、寡营养（绿色）和图案（品红）溶液。在（a）中，描述了通过延拓的初始分布的流形。对于continuationparameterκ=0.5，状态路径和相应的范数如（b）和（c）所示。最终结果如（d）（状态路径），（e）（控制路径），（f）（共状态路径）和（g）（规范）所示。在（h）中，相应的切片流形显示在状态共状态空间中。