预期缺口下的投资组合优化：等值线图

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英文标题：
《Portfolio Optimization under Expected Shortfall: Contour Maps of
  Estimation Error》
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作者：
Fabio Caccioli, Imre Kondor, G\\\'abor Papp
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  The contour maps of the error of historical resp. parametric estimates for large random portfolios optimized under the risk measure Expected Shortfall (ES) are constructed. Similar maps for the sensitivity of the portfolio weights to small changes in the returns as well as the VaR of the ES-optimized portfolio are also presented, along with results for the distribution of portfolio weights over the random samples and for the out-of-sample and in-the-sample estimates for ES. The contour maps allow one to quantitatively determine the sample size (the length of the time series) required by the optimization for a given number of different assets in the portfolio, at a given confidence level and a given level of relative estimation error. The necessary sample sizes invariably turn out to be unrealistically large for any reasonable choice of the number of assets and the confidence level. These results are obtained via analytical calculations based on methods borrowed from the statistical physics of random systems, supported by numerical simulations.
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中文摘要：
历史响应误差等值线图。构造了在风险度量期望短缺（ES）下优化的大型随机投资组合的参数估计。此外，还提供了投资组合权重对ES优化投资组合的收益率和VaR微小变化的敏感性的类似图，以及ES的随机样本和样本外和样本内估计的投资组合权重分布结果。等高线图允许在给定置信水平和给定相对估计误差水平下，定量确定组合中给定数量不同资产的优化所需的样本量（时间序列的长度）。对于资产数量和置信水平的任何合理选择而言，必要的样本量总是不切实际的大。这些结果是通过基于借鉴随机系统统计物理方法的分析计算获得的，并得到了数值模拟的支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_under_Expected_Shortfall:_Contour_Maps_of_Estimation_Error.pdf (740.79 KB)

2022-5-23 12:04:47 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 等值线 Optimization Quantitative

预期缺口下的投资组合优化：估算误差等值线图Fabio Caccioli1,2，Imre Kondor3,4和G’abor Papp1-伦敦大学学院，计算机科学系，伦敦，WC1E 6BT，UK2-系统风险中心，伦敦经济和政治科学学院，伦敦，UK3 Parmenides Foundation，Pullach，Germany4-投资和公司金融系，匈牙利布达佩斯Corvinus大学和匈牙利布达佩斯物理研究所绘制了历史响应误差等值线图。构建了在风险度量预期缺口（ES）下优化的largerandom投资组合的参数估计。此外，还提供了投资组合权重对收益率微小变化的敏感性以及ES优化投资组合的VaR的类似图，以及ES的随机样本和样本外和样本内估计的投资组合权重分布结果。等高线图允许在给定的置信水平和给定的相对估计误差水平下，定量确定投资组合中给定数量不同资产的优化所需的样本量（时间序列的长度）。对于资产数量和信心水平的任何合理选择而言，必要的样本规模都是不切实际的。这些结果是通过分析计算获得的，这些计算方法借鉴了随机系统的统计物理，并得到了数值模拟的支持。1简介风险度量和投资组合优化是投资组合理论的两个互补方面。

两者都假设未来在统计上与过去相似，但虽然riskmeasurement试图预测现有投资组合的风险，但optimization试图选择投资组合的组成，以便在给定的预期回报水平下最小化风险（或在给定的风险水平下最大化回报）。在大型机构投资组合的情况下，这两项任务都需要大量的输入数据，即大量的观察收益样本。风险度量和优化的固有困难在于，这些大样本量通常很难在实践中实现。特别是在投资组合选择方面，样本量不仅要比一个样本量大，而且要比投资组合的规模（以不同资产的数量衡量）大，这一事实进一步加剧了这种困难。为了获得超过资产数量在数百或数千的大型机构投资组合规模的样本，需要较高的抽样频率或较长的回溯期，最好两者兼而有之。回溯期的长度受到缺乏平稳性的考虑的限制：投资组合中的一些资产可能是长期不存在的公司股份，经济和货币环境可能发生了变化，可能引入了新的监管限制，等等。至于抽样频率，它受到投资组合实际上可以重新平衡的频率的限制，因此我们在下文中假设投资组合经理使用此类低频（每周或每月）数据。

这意味着样本量（时间序列T的长度）总是有限的，而机构投资组合的维度N（不同资产的数量）通常非常大，条件N/T 1在实践中，几乎总是违反可靠和稳定估计的必要性。在本文中，我们将考虑N和T都非常大，但其比率是有限的情况。风险度量和优化都需要一个度量，一个风险度量。在Markowitz的原始投资组合优化理论[1]中，风险度量被选择为回报数据的波动性，与观察到的时间序列的方差相一致。如果用方差来衡量风险，这同样会对较大的负向和正向波动进行惩罚。从投资者的角度来看，对损失和收益的对称处理被认为是不合理的，因此，马科维茨（Markowitz）[2]很早就以最小方差的形式引入了只关注损失的下行风险度量的概念。几十年后，在1987年10月黑色星期一的金融危机和80年代末90年代初美国储蓄和贷款业的崩溃之后，人们认识到，真正致命的危险潜伏在损失分布的远尾，这种灾难性事件的概率远远高于根据正态分布估计的概率。风险价值（VaR）在80年代末开始偶尔出现，试图抓住这种尾部风险。它被摩根大通（J.P.Morgan）的每日风险报告采用为衡量标准，后来通过其风险度量方法得到广泛推广，在一定时期内成为一种行业标准。

1996年，VaR被国际监管机构采纳为“官方”风险度量标准后，VaR的地位进一步提升[4]。风险价值（VaR）是利润和损失分布的高分位数，投资组合损失的阈值不会超过概率α。在实践中，该置信水平的典型值被选择为0.90、0.95或0.99。尽管VaR具有不可否认的优点，但它很快就受到了批评，因为它缺乏次加性，这违反了多元化原则，也因为它没有说明VaR分位数以外的分布行为。通过对风险度量问题的公理化方法，Artzner等人[5]引入了连贯度量的概念，通过构造，这些度量没有这些缺点。一致性度量的最简单代表是预期短缺（ES），即高于高分位数的平均风险，可以选择等于VaR阈值。因此，ES也被称为条件VaR或CVaR。作为条件平均值，ES不仅对分位数以上的总质量很敏感，而且对其分布也很敏感。这一点以及P flug[6]和Acerbi及Tasche[7，8]所证明的连贯性使其在理论家中广受欢迎，但在实践者中也越来越受欢迎。最近，它也被法规[9，10]所接受，该法规设想ES的置信水平为0.975。如今，VaR和ES是两种最常用的风险度量。

因此，研究它们的统计特性非常重要，尤其是在典型的高维环境中。对于大型投资组合而言，缺乏足够的数据对于任何风险度量都是非常严重的，在下行风险度量（如VaR和ES）的情况下，这种情况尤其严重，因为下行风险度量丢弃了除高分位数以外的大多数观察数据。Danielsson和Zhou最近对该问题的风险度量方面进行了全面的处理【11】。我们在这里的目的是研究互补问题：投资组合选择问题。如果我们知道回报的真实概率分布，那么确定投资组合的最佳组合（最佳投资组合权重）并计算预期缺口的真实值就很简单了。然而，回报率的真实分布是未知的。我们在实践中可能只有一个有限的样本，必须根据这些信息估计最佳权重和ES。由此产生的权重和ES将偏离其“真实”值（将在一个非常大的固定样本中获得），预计偏差越大，样本的长度T越短，投资组合的维度N越大。此外，在不同的样本中，我们将获得不同的估计：样本上存在ES和最佳权重的分布。如何应对由于数据相对稀缺而产生的估计误差？在实际操作中，如果一个人确实必须接受一个有限大小的样本，那么可以使用交叉验证或引导法[12]。

在目前的理论工作中，我们选择了一个替代过程来模拟历史估计：我们考虑一个简单、易于管理的过程，而不是未知的基础过程，例如多元高斯过程，其中真实的ES很容易获得，从而为比较奠定了坚实的基础。然后，我们计算从该基础分布中提取的大量长度为T的随机样本的ES，平均这些随机样本的ES，并最终将该平均值与其真实值进行比较。这一练习将让我们了解给定维数N和样本量T之前的估计误差有多大，并且我们可以预期，在具有非平稳厚尾现实生活过程的ES下，对投资组合的优化将避免比高斯过程更严重的估计误差。换句话说，我们期望平稳高斯基础过程的估计误差比实际过程的估计误差低。这个程序当然可以通过数值模拟来执行。然而，获得ES优化的分析结果是非常重要的，我们不知道有任何使用概率论或统计学标准方法的分析方法可以应用于该问题。然而，借用随机系统理论的方法，特别是复制方法[13]，在高斯不确定性过程的特殊情况下提供了必要的工具，这些是我们将在这里应用的方法。为了简单起见，我们还将假设收益率是独立的、同分布的正态变量，尽管可以放宽独立性和同分布的假设，并且仍然可以进行计算，而不必从根本上改变结论。

我们将在本文后面简要讨论正态变量具有任意（但可逆）协方差矩阵的情况。高斯假设更为严重：如果我们放弃它，我们就无法再进行分析计算。然而，数值模拟仍然可行，我们将对独立学生分布回报的情况进行模拟（ν=3自由度，渐近下降，如x-4） ，以了解该分布的厚尾特征在估计误差方面有多大差异。（我们还将考虑ν=10的学生分布，以显示数值结果如何接近高斯情况。）正如预期的那样，尾部的大波动导致估计的ES恶化。这支持了我们的猜测，即在正态分布回报情况下发现的估计误差是其他更现实分布的估计误差的下界，因此，本练习有一个关于portfoliooptimization的一般信息。我们将要应用的分析技术使我们能够计算ES的相对误差和在随机高斯样本上平均的最优投资组合权重的分布，但不能提供关于这些数量在样本之间的影响程度的信息（至少不是没有大量额外影响）。在大型投资组合规模有限的情况下，预计预计预计缺口及其误差的分布将变得尖锐，ES和估计误差将独立于样本。为了获得这些估计在样本上的分布信息，我们将再次求助于数值模拟。

我们发现，对于几百个范围内的N，估计的ES在样本上的分布已经变得相当尖锐，因此样本平均值可以让我们很好地了解估计误差。然而，在一些特殊的临界点附近，在统计物理相关模型的情况下，这种“自平均”的严格数学证明的平均估计误差（见[14，15]）可能会超出任何界限，其波动也会出现分歧。正如我们已经提到的，缺乏有效信息会导致在任何风险度量下的最优权重和总体投资组合风险的估计出现较大错误。在方差作为风险度量的情况下，众所周知，如果我们希望获得良好的风险估计，样本量T必须远远大于投资组合的维数N。对于N和T都较大的情况，这些参数的相关组合变成宽高比r=N/T。对于N/T 1、我们将有一个良好的质量评估。当接近一个临界值时，对于方差优化而言，该临界值为N/T=1，样本到样本的函数变得越来越强，直到N/T=1时，平均相关估计误差变得非常大【16，17】。此时，协方差矩阵不再是正定义，优化任务变得毫无意义。我们可以将N/T=1视为发生相变的临界点。其他风险度量也出现了类似的临界现象。在ES的情况下，除了长宽比N/T之外，我们还有另一个控制参数，即置信限α。在0和1之间，每个α的N/T临界值不同，因此我们在α–N/T平面上有一个临界线。这条临界线将可以执行优化的区域与不可行的区域分开。

我们将这条线作为相边界。在i.i.d.正常基础收益的特殊情况下，ES的阶段基础在【18】中通过数值模拟部分跟踪，并在【19】中通过分析方法确定。图1.0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5αR图1：i.i.d.正常基础收益的ES相界。在相位基准以下的区域，ES的优化是可行的，估计误差是有限的。从下方接近相位基准，估计误差会发散，线上优化不再可行。方差优化中的相变有一个简单的线性代数起源：对于小于N的T，协方差矩阵的秩变得小于其维数。因此，这种转变总是尖锐的：只要T大于N，我们就会找到一个最优投资组合（尽管在临界点附近，它可能离“真正的”最优投资组合很远），而对于T≤ N没有解决方案。ofES的不稳定性稍微复杂一点：它源于两个方面。一个是通常缺乏有效数据，另一个是与ES作为一种风险度量是无限制的这一事实有关。如果在给定的样本中，其中一项资产（或资产组合）恰好支配其他资产（即在样本中的每个时间点产生的回报比其他任何资产都大），那么在最小化ES的指导下，投资者将被诱导在支配资产中占据非常大的长期头寸，并相应地在支配资产中做空，从而产生任意大的负ES，相当于任意大的增益。当然，优势关系可能完全是由于随机波动，在下一个样本中可能会消失，甚至逆转。