随机价格恢复下的动态最优执行策略

我们假设选择网格尺寸δt、δx和δξ，使网格数Nt、NxandNξ为自然数。我们定义了向量φk（ix，iξ）九∈{0，···，Nx}，iξ∈{0，····，Nξ}乘以φk（ix，iξ）=φtk（xix，ξiξ），从中我们得到矩阵形式的HJBQVI（12）：maxφk+1（ix，iξ）- φk（ix，iξ）δt+supl∈LδnλLhφk（ix-il，iξ）- φk（ix，iξ）+lsio+λΞ（ξiξ）hφk（ix，iξ）-（1）- φk（ix，iξ）+xixΔΞi，（13）supζ∈Zδ（xi-x） （φk（ix-ixζ，iξ+iξζ）- xixΓ（ζ）- φk（ix，iξ））= 0，其中il=dlδxe，ixζ=dζδxe，iξζ=dΓ（ζ）δΞe。我们现在引入常数h∈ R+满足H>δt+2λΞ（g（x））+λL,并将HJBQVI（13）转换为等效的定点问题φk=maxsupl公司∈Lδn'Llφk+'fl，ko，supζ∈Zδ（xix）nMζφk+kζo, （14） 其中，Llij=1.-Hδt+λΞ（ξiξ）+λL, i=j=（ix，iξ）λΞ（ξiξ）h，i=（ix，iξ），j=（ix，iξ）- 1） λLh，i=（ix，iξ），j=（ix- il，iξ）0，否则，\'fl，k（ix，iξ）=hδtφk+1（ix，iξ）+λΞ（ξiξ）xiixδΞ+λL,Mζij=1ni=（ix，iξ），j=（ix-il，iξ+iξζ）o，Kζ（ix，iξ）=xixΓ（ζ）。我们发现，由于因子h，它是以矩阵形式显示的收缩图，而Mζ是非扩张图。我们参考[Ied13，第3.2节]了解方程（14）中问题的求解过程。4数值结果在本节中，我们研究了通过前一节所述方法获得的最优策略的特征。根据恢复强度的类型和限制指令的限制，我们将本节分为四个小节。

在本节中，我们选择参数以获得最佳策略，如表1所示。参数描述值初始库存50δx最小交易量1（Xt的网格大小）δt时间步长的大小0.001δΞts价差的网格大小1θ市场影响幅度2θ市场影响指数1′λ价格恢复幅度1′λ价格恢复指数1表1：与执行策略相关的参数理解最佳行为的关键是市场影响取决于剩余时间和库存。我们能够捕捉到以下直觉：（i）随着时间的推移，特别是在接近终点时，利用市场秩序快速清算的动机变得越来越高；（ii）较低的库存和较大的市场影响会导致等待价格恢复；（iii）如果限价单可用，与等待价格恢复相比，最好对限价单进行报价。4.1无限制订单的强恢复强度我们首先考虑方程（2）中定义的强价格恢复强度的情况，并设置T=10、λL=0和lmax=0。请注意，在当前设置下，我们不允许使用limitorder策略。图1显示了最佳策略，其中每个面板在面板顶部指示的时间显示一个快照。红点表示等待价格回升是最优的，而蓝三角表示按照市场指令卖出一股股票，即最小交易量是最优的。因为我们禁止卖空，所以Ξ的最大值为g（x- Xt）。因此，在图1所示的三角区域计算最优策略。我们观察到，除了最后一个面板外，由红点填充的区域是主要的，该面板描述了接近终点的快照点。我们还注意到，蓝色三角形出现在Ξttakes一个较小值的区域。